Theorem lpadlem3 35137

Description: Lemma for lpadlen1 35138. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen1.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
lpadlem3	⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem lpadlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14592	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12635	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
7		lpadlen1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
8		fzo0n 13731	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅))
9	8	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅)
10	4, 6, 7, 9	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅)
11	10	xpeq1d 5692	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = (∅ × {𝐶}))
12		0xp 5762	. 2 ⊢ (∅ × {𝐶}) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2816	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∅c0 4286  {csn 4591   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11119   ≤ cle 11263   − cmin 11460  ℕ₀cn0 12523  ℤcz 12610  ..^cfzo 13703  ♯chash 14388  Word cword 14572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12253  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-hash 14389  df-word 14573

This theorem is used by:  lpadlen1  35138  lpadright  35143