Theorem lpadlem3 32167

Description: Lemma for lpadlen1 32168. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen1.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
lpadlem3	⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem lpadlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 13922	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
7		lpadlen1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
8		fzo0n 13098	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅))
9	8	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅)
10	4, 6, 7, 9	syl21anc 837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅)
11	10	xpeq1d 5551	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = (∅ × {𝐶}))
12		0xp 5616	. 2 ⊢ (∅ × {𝐶}) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∅c0 4226  {csn 4520   class class class wbr 5030   × cxp 5520  ‘cfv 6333  (class class class)co 7148  0cc0 10565   ≤ cle 10704   − cmin 10898  ℕ₀cn0 11924  ℤcz 12010  ..^cfzo 13072  ♯chash 13730  Word cword 13903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7457  ax-cnex 10621  ax-resscn 10622  ax-1cn 10623  ax-icn 10624  ax-addcl 10625  ax-addrcl 10626  ax-mulcl 10627  ax-mulrcl 10628  ax-mulcom 10629  ax-addass 10630  ax-mulass 10631  ax-distr 10632  ax-i2m1 10633  ax-1ne0 10634  ax-1rid 10635  ax-rnegex 10636  ax-rrecex 10637  ax-cnre 10638  ax-pre-lttri 10639  ax-pre-lttrn 10640  ax-pre-ltadd 10641  ax-pre-mulgt0 10642

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4419  df-pw 4494  df-sn 4521  df-pr 4523  df-tp 4525  df-op 4527  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5441  df-so 5442  df-fr 5481  df-we 5483  df-xp 5528  df-rel 5529  df-cnv 5530  df-co 5531  df-dm 5532  df-rn 5533  df-res 5534  df-ima 5535  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6292  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7578  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7955  df-recs 8016  df-rdg 8054  df-1o 8110  df-oadd 8114  df-er 8297  df-en 8526  df-dom 8527  df-sdom 8528  df-fin 8529  df-card 9391  df-pnf 10705  df-mnf 10706  df-xr 10707  df-ltxr 10708  df-le 10709  df-sub 10900  df-neg 10901  df-nn 11665  df-n0 11925  df-z 12011  df-uz 12273  df-fz 12930  df-fzo 13073  df-hash 13731  df-word 13904

This theorem is referenced by:  lpadlen1  32168  lpadright  32173