Theorem lpadlem3 32658

Description: Lemma for lpadlen1 32659. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadlen.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadlen.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadlen.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
lpadlen1.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
lpadlem3	⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)

Proof of Theorem lpadlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
2		lencl 14236	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		lpadlen.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
6	5	nn0zd 12424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℤ)
7		lpadlen1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))
8		fzo0n 13409	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (♯‘𝑊) ↔ (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅))
9	8	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅)
10	4, 6, 7, 9	syl21anc 835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) = ∅)
11	10	xpeq1d 5618	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = (∅ × {𝐶}))
12		0xp 5685	. 2 ⊢ (∅ × {𝐶}) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2794	1 ⊢ (𝜑 → ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∅c0 4256  {csn 4561   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218

This theorem is referenced by:  lpadlen1  32659  lpadright  32664