Theorem lencl 14440

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14439	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14263	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  ℕ₀cn0 12381  ♯chash 14237  Word cword 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421

This theorem is referenced by:  wrdffz  14442  wrdnfi  14455  wrdsymb0  14456  wrdlenge1n0  14457  wrdlenge2n0  14459  wrdsymb1  14460  eqwrd  14464  wrdred1  14467  wrdred1hash  14468  ccatcl  14481  ccatlen  14482  ccat0  14483  ccatval1  14484  ccatval3  14486  elfzelfzccat  14487  ccatdmss  14489  ccatsymb  14490  ccatfv0  14491  ccatval21sw  14493  ccatlid  14494  ccatrid  14495  ccatass  14496  ccatrn  14497  lswccatn0lsw  14499  ccatalpha  14501  ccatws1lenp1b  14529  wrdlenccats1lenm1  14530  ccatw2s1len  14533  ccats1val2  14535  ccatws1n0  14540  lswccats1fst  14543  ccatw2s1p1  14544  ccat2s1fvw  14546  swrdnd  14562  swrdnd2  14563  swrdnd0  14565  swrdrlen  14567  swrdlen2  14568  swrdfv2  14569  swrdlsw  14575  swrdccat2  14577  pfxid  14592  pfxn0  14594  pfxnd0  14596  addlenpfx  14598  pfxtrcfv0  14601  pfxeq  14603  pfxtrcfvl  14604  pfxsuffeqwrdeq  14605  pfxccat1  14609  pfxcctswrd  14617  ccats1pfxeq  14621  ccats1pfxeqrex  14622  ccatopth2  14624  cats1un  14628  wrdind  14629  wrd2ind  14630  swrdccatin1  14632  swrdccatin2  14636  pfxccatin12lem2  14638  pfxccatin12lem3  14639  pfxccatin12  14640  pfxccat3  14641  swrdccat  14642  pfxccatpfx2  14644  pfxccat3a  14645  swrdccat3blem  14646  swrdccat3b  14647  pfxccatid  14648  ccats1pfxeqbi  14649  spllen  14661  splfv1  14662  splfv2a  14663  splval2  14664  revcl  14668  revlen  14669  revccat  14673  revrev  14674  repswsymball  14686  repswsymballbi  14687  cshw0  14701  cshwsublen  14703  cshwn  14704  cshwlen  14706  cshwidxmod  14710  2cshwid  14721  3cshw  14725  cshweqdif2  14726  cshw1  14729  scshwfzeqfzo  14733  revco  14741  ccatco  14742  cats1fvn  14765  cats1fv  14766  pfx2  14854  swrd2lsw  14859  2swrd2eqwrdeq  14860  ccat2s1fvwALT  14862  cshwshashnsame  17015  chnind  18527  chnub  18528  chnlt  18529  chnccats1  18531  chnccat  18532  chnrev  18533  chnpolleha  18538  chnpolfz  18539  gsmsymgrfixlem1  19339  gsmsymgreqlem2  19343  pmtrdifwrdellem2  19394  psgnuni  19411  psgnran  19427  efginvrel2  19639  efgsdmi  19644  efgsval2  19645  efgsp1  19649  efgsfo  19651  efgredlemf  19653  efgredlemg  19654  efgredleme  19655  efgredlemd  19656  efgredlemc  19657  efgredlem  19659  efgred  19660  efgcpbllemb  19667  frgpuplem  19684  frgpnabllem1  19785  pgpfaclem1  19995  psgnghm  21517  upgrewlkle2  29585  wlkcl  29594  wlkeq  29612  wlkv0  29628  wlklenvclwlk  29632  redwlklem  29648  wlkp1lem3  29652  wlkp1lem8  29657  wlkdlem1  29659  pthdlem1  29744  pthdlem2  29746  wlkiswwlks1  29845  wlkiswwlks2lem1  29847  wlkiswwlks2lem3  29849  wlkiswwlks2lem4  29850  wwlksm1edg  29859  wlklnwwlkln2lem  29860  wwlksnextbi  29872  wwlksnextproplem2  29888  wwlksnextproplem3  29889  rusgrnumwwlks  29955  clwwlkccatlem  29969  umgrclwwlkge2  29971  clwlkclwwlklem2a1  29972  clwlkclwwlklem2a2  29973  clwlkclwwlklem2a4  29977  clwlkclwwlklem2a  29978  clwlkclwwlklem2  29980  clwlkclwwlklem3  29981  clwlkclwwlk  29982  clwlkclwwlk2  29983  clwlkclwwlkfo  29989  clwwisshclwwslem  29994  erclwwlkref  30000  clwwlkn  30006  clwwlkwwlksb  30034  clwlknf1oclwwlknlem1  30061  clwwlknonex2lem2  30088  eupth2eucrct  30197  eucrctshift  30223  numclwlk2lem2f1o  30359  ccatf1  32930  pfxlsw2ccat  32931  ccatws1f1o  32932  ccatws1f1olast  32933  wrdt2ind  32934  splfv3  32939  gsumwrd2dccatlem  33046  gsumwrd2dccat  33047  cycpmfv1  33082  cycpmfv2  33083  cycpmco2f1  33093  cycpmco2rn  33094  cycpmco2lem3  33097  cycpmco2lem4  33098  cycpmco2lem5  33099  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  cycpmco2  33102  cycpmrn  33112  cyc3genpm  33121  1arithidomlem1  33500  1arithidomlem2  33501  1arithidom  33502  dfufd2lem  33514  sseqfv1  34402  sseqfn  34403  sseqmw  34404  sseqf  34405  sseqfv2  34407  sseqp1  34408  ofcccat  34556  signstlen  34580  signstfvn  34582  signstfvp  34584  signstfvneq0  34585  signstfvc  34587  signstfveq0a  34589  signstfveq0  34590  signshf  34601  signshlen  34603  signshnz  34604  lpadlem3  34691  lpadlem2  34693  lpadlen2  34694  lpadmax  34695  lpadleft  34696  lpadright  34697  revpfxsfxrev  35160  revwlk  35169  elmrsubrn  35564  ccatcan2d  42292  lswn0  47483