Theorem lencl 14551

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14550	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14374	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  Fincfn 8959  ℕ₀cn0 12501  ♯chash 14348  Word cword 14531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532

This theorem is referenced by:  wrdffz  14553  wrdnfi  14566  wrdsymb0  14567  wrdlenge1n0  14568  wrdlenge2n0  14570  wrdsymb1  14571  eqwrd  14575  wrdred1  14578  wrdred1hash  14579  ccatcl  14592  ccatlen  14593  ccat0  14594  ccatval1  14595  ccatval3  14597  elfzelfzccat  14598  ccatsymb  14600  ccatfv0  14601  ccatval21sw  14603  ccatlid  14604  ccatrid  14605  ccatass  14606  ccatrn  14607  lswccatn0lsw  14609  ccatalpha  14611  ccatws1lenp1b  14639  wrdlenccats1lenm1  14640  ccatw2s1len  14643  ccats1val2  14645  ccatws1n0  14650  lswccats1fst  14653  ccatw2s1p1  14654  ccat2s1fvw  14656  swrdnd  14672  swrdnd2  14673  swrdnd0  14675  swrdrlen  14677  swrdlen2  14678  swrdfv2  14679  swrdlsw  14685  swrdccat2  14687  pfxid  14702  pfxn0  14704  pfxnd0  14706  addlenrevpfx  14708  addlenpfx  14709  pfxtrcfv0  14712  pfxeq  14714  pfxtrcfvl  14715  pfxsuffeqwrdeq  14716  pfxccat1  14720  pfxcctswrd  14728  ccats1pfxeq  14732  ccats1pfxeqrex  14733  ccatopth2  14735  cats1un  14739  wrdind  14740  wrd2ind  14741  swrdccatin1  14743  swrdccatin2  14747  pfxccatin12lem2  14749  pfxccatin12lem3  14750  pfxccatin12  14751  pfxccat3  14752  swrdccat  14753  pfxccatpfx2  14755  pfxccat3a  14756  swrdccat3blem  14757  swrdccat3b  14758  pfxccatid  14759  ccats1pfxeqbi  14760  spllen  14772  splfv1  14773  splfv2a  14774  splval2  14775  revcl  14779  revlen  14780  revccat  14784  revrev  14785  repswsymball  14797  repswsymballbi  14798  cshw0  14812  cshwsublen  14814  cshwn  14815  cshwlen  14817  cshwidxmod  14821  2cshwid  14832  3cshw  14836  cshweqdif2  14837  cshw1  14840  scshwfzeqfzo  14845  revco  14853  ccatco  14854  cats1fvn  14877  cats1fv  14878  pfx2  14966  swrd2lsw  14971  2swrd2eqwrdeq  14972  ccat2s1fvwALT  14974  cshwshashnsame  17123  gsmsymgrfixlem1  19408  gsmsymgreqlem2  19412  pmtrdifwrdellem2  19463  psgnuni  19480  psgnran  19496  efginvrel2  19708  efgsdmi  19713  efgsval2  19714  efgsp1  19718  efgsfo  19720  efgredlemf  19722  efgredlemg  19723  efgredleme  19724  efgredlemd  19725  efgredlemc  19726  efgredlem  19728  efgred  19729  efgcpbllemb  19736  frgpuplem  19753  frgpnabllem1  19854  pgpfaclem1  20064  psgnghm  21540  upgrewlkle2  29586  wlkcl  29595  wlkeq  29614  wlkv0  29631  wlklenvclwlk  29635  redwlklem  29651  wlkp1lem3  29655  wlkp1lem8  29660  wlkdlem1  29662  pthdlem1  29748  pthdlem2  29750  wlkiswwlks1  29849  wlkiswwlks2lem1  29851  wlkiswwlks2lem3  29853  wlkiswwlks2lem4  29854  wwlksm1edg  29863  wlklnwwlkln2lem  29864  wwlksnextbi  29876  wwlksnextproplem2  29892  wwlksnextproplem3  29893  rusgrnumwwlks  29956  clwwlkccatlem  29970  umgrclwwlkge2  29972  clwlkclwwlklem2a1  29973  clwlkclwwlklem2a2  29974  clwlkclwwlklem2a4  29978  clwlkclwwlklem2a  29979  clwlkclwwlklem2  29981  clwlkclwwlklem3  29982  clwlkclwwlk  29983  clwlkclwwlk2  29984  clwlkclwwlkfo  29990  clwwisshclwwslem  29995  erclwwlkref  30001  clwwlkn  30007  clwwlkwwlksb  30035  clwlknf1oclwwlknlem1  30062  clwwlknonex2lem2  30089  eupth2eucrct  30198  eucrctshift  30224  numclwlk2lem2f1o  30360  ccatf1  32924  ccatdmss  32925  pfxlsw2ccat  32926  ccatws1f1o  32927  ccatws1f1olast  32928  wrdt2ind  32929  splfv3  32934  chnind  32991  chnub  32992  chnlt  32993  chnccats1  32995  gsumwrd2dccatlem  33060  gsumwrd2dccat  33061  cycpmfv1  33124  cycpmfv2  33125  cycpmco2f1  33135  cycpmco2rn  33136  cycpmco2lem3  33139  cycpmco2lem4  33140  cycpmco2lem5  33141  cycpmco2lem6  33142  cycpmco2lem7  33143  cycpmco2  33144  cycpmrn  33154  cyc3genpm  33163  1arithidomlem1  33550  1arithidomlem2  33551  1arithidom  33552  dfufd2lem  33564  sseqfv1  34421  sseqfn  34422  sseqmw  34423  sseqf  34424  sseqfv2  34426  sseqp1  34427  ofcccat  34575  signstlen  34599  signstfvn  34601  signstfvp  34603  signstfvneq0  34604  signstfvc  34606  signstfveq0a  34608  signstfveq0  34609  signshf  34620  signshlen  34622  signshnz  34623  lpadlem3  34710  lpadlem2  34712  lpadlen2  34713  lpadmax  34714  lpadleft  34715  lpadright  34716  revpfxsfxrev  35138  revwlk  35147  elmrsubrn  35542  ccatcan2d  42302  lswn0  47458