Theorem lencl 14440

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14439	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14263	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  Fincfn 8872  ℕ₀cn0 12384  ♯chash 14237  Word cword 14420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-hash 14238  df-word 14421

This theorem is referenced by:  wrdffz  14442  wrdnfi  14455  wrdsymb0  14456  wrdlenge1n0  14457  wrdlenge2n0  14459  wrdsymb1  14460  eqwrd  14464  wrdred1  14467  wrdred1hash  14468  ccatcl  14481  ccatlen  14482  ccat0  14483  ccatval1  14484  ccatval3  14486  elfzelfzccat  14487  ccatsymb  14489  ccatfv0  14490  ccatval21sw  14492  ccatlid  14493  ccatrid  14494  ccatass  14495  ccatrn  14496  lswccatn0lsw  14498  ccatalpha  14500  ccatws1lenp1b  14528  wrdlenccats1lenm1  14529  ccatw2s1len  14532  ccats1val2  14534  ccatws1n0  14539  lswccats1fst  14542  ccatw2s1p1  14543  ccat2s1fvw  14545  swrdnd  14561  swrdnd2  14562  swrdnd0  14564  swrdrlen  14566  swrdlen2  14567  swrdfv2  14568  swrdlsw  14574  swrdccat2  14576  pfxid  14591  pfxn0  14593  pfxnd0  14595  addlenpfx  14597  pfxtrcfv0  14600  pfxeq  14602  pfxtrcfvl  14603  pfxsuffeqwrdeq  14604  pfxccat1  14608  pfxcctswrd  14616  ccats1pfxeq  14620  ccats1pfxeqrex  14621  ccatopth2  14623  cats1un  14627  wrdind  14628  wrd2ind  14629  swrdccatin1  14631  swrdccatin2  14635  pfxccatin12lem2  14637  pfxccatin12lem3  14638  pfxccatin12  14639  pfxccat3  14640  swrdccat  14641  pfxccatpfx2  14643  pfxccat3a  14644  swrdccat3blem  14645  swrdccat3b  14646  pfxccatid  14647  ccats1pfxeqbi  14648  spllen  14660  splfv1  14661  splfv2a  14662  splval2  14663  revcl  14667  revlen  14668  revccat  14672  revrev  14673  repswsymball  14685  repswsymballbi  14686  cshw0  14700  cshwsublen  14702  cshwn  14703  cshwlen  14705  cshwidxmod  14709  2cshwid  14720  3cshw  14724  cshweqdif2  14725  cshw1  14728  scshwfzeqfzo  14733  revco  14741  ccatco  14742  cats1fvn  14765  cats1fv  14766  pfx2  14854  swrd2lsw  14859  2swrd2eqwrdeq  14860  ccat2s1fvwALT  14862  cshwshashnsame  17015  gsmsymgrfixlem1  19306  gsmsymgreqlem2  19310  pmtrdifwrdellem2  19361  psgnuni  19378  psgnran  19394  efginvrel2  19606  efgsdmi  19611  efgsval2  19612  efgsp1  19616  efgsfo  19618  efgredlemf  19620  efgredlemg  19621  efgredleme  19622  efgredlemd  19623  efgredlemc  19624  efgredlem  19626  efgred  19627  efgcpbllemb  19634  frgpuplem  19651  frgpnabllem1  19752  pgpfaclem1  19962  psgnghm  21487  upgrewlkle2  29552  wlkcl  29561  wlkeq  29579  wlkv0  29595  wlklenvclwlk  29599  redwlklem  29615  wlkp1lem3  29619  wlkp1lem8  29624  wlkdlem1  29626  pthdlem1  29711  pthdlem2  29713  wlkiswwlks1  29812  wlkiswwlks2lem1  29814  wlkiswwlks2lem3  29816  wlkiswwlks2lem4  29817  wwlksm1edg  29826  wlklnwwlkln2lem  29827  wwlksnextbi  29839  wwlksnextproplem2  29855  wwlksnextproplem3  29856  rusgrnumwwlks  29919  clwwlkccatlem  29933  umgrclwwlkge2  29935  clwlkclwwlklem2a1  29936  clwlkclwwlklem2a2  29937  clwlkclwwlklem2a4  29941  clwlkclwwlklem2a  29942  clwlkclwwlklem2  29944  clwlkclwwlklem3  29945  clwlkclwwlk  29946  clwlkclwwlk2  29947  clwlkclwwlkfo  29953  clwwisshclwwslem  29958  erclwwlkref  29964  clwwlkn  29970  clwwlkwwlksb  29998  clwlknf1oclwwlknlem1  30025  clwwlknonex2lem2  30052  eupth2eucrct  30161  eucrctshift  30187  numclwlk2lem2f1o  30323  ccatf1  32890  ccatdmss  32891  pfxlsw2ccat  32892  ccatws1f1o  32893  ccatws1f1olast  32894  wrdt2ind  32895  splfv3  32900  chnind  32953  chnub  32954  chnlt  32955  chnccats1  32957  gsumwrd2dccatlem  33019  gsumwrd2dccat  33020  cycpmfv1  33055  cycpmfv2  33056  cycpmco2f1  33066  cycpmco2rn  33067  cycpmco2lem3  33070  cycpmco2lem4  33071  cycpmco2lem5  33072  cycpmco2lem6  33073  cycpmco2lem7  33074  cycpmco2  33075  cycpmrn  33085  cyc3genpm  33094  1arithidomlem1  33472  1arithidomlem2  33473  1arithidom  33474  dfufd2lem  33486  sseqfv1  34357  sseqfn  34358  sseqmw  34359  sseqf  34360  sseqfv2  34362  sseqp1  34363  ofcccat  34511  signstlen  34535  signstfvn  34537  signstfvp  34539  signstfvneq0  34540  signstfvc  34542  signstfveq0a  34544  signstfveq0  34545  signshf  34556  signshlen  34558  signshnz  34559  lpadlem3  34646  lpadlem2  34648  lpadlen2  34649  lpadmax  34650  lpadleft  34651  lpadright  34652  revpfxsfxrev  35089  revwlk  35098  elmrsubrn  35493  ccatcan2d  42224  lswn0  47428