Theorem lencl 14571

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14570	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14395	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  ℕ₀cn0 12526  ♯chash 14369  Word cword 14552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553

This theorem is referenced by:  wrdffz  14573  wrdnfi  14586  wrdsymb0  14587  wrdlenge1n0  14588  wrdlenge2n0  14590  wrdsymb1  14591  eqwrd  14595  wrdred1  14598  wrdred1hash  14599  ccatcl  14612  ccatlen  14613  ccat0  14614  ccatval1  14615  ccatval3  14617  elfzelfzccat  14618  ccatsymb  14620  ccatfv0  14621  ccatval21sw  14623  ccatlid  14624  ccatrid  14625  ccatass  14626  ccatrn  14627  lswccatn0lsw  14629  ccatalpha  14631  ccatws1lenp1b  14659  wrdlenccats1lenm1  14660  ccatw2s1len  14663  ccats1val2  14665  ccatws1n0  14670  lswccats1fst  14673  ccatw2s1p1  14674  ccat2s1fvw  14676  swrdnd  14692  swrdnd2  14693  swrdnd0  14695  swrdrlen  14697  swrdlen2  14698  swrdfv2  14699  swrdlsw  14705  swrdccat2  14707  pfxid  14722  pfxn0  14724  pfxnd0  14726  addlenrevpfx  14728  addlenpfx  14729  pfxtrcfv0  14732  pfxeq  14734  pfxtrcfvl  14735  pfxsuffeqwrdeq  14736  pfxccat1  14740  pfxcctswrd  14748  ccats1pfxeq  14752  ccats1pfxeqrex  14753  ccatopth2  14755  cats1un  14759  wrdind  14760  wrd2ind  14761  swrdccatin1  14763  swrdccatin2  14767  pfxccatin12lem2  14769  pfxccatin12lem3  14770  pfxccatin12  14771  pfxccat3  14772  swrdccat  14773  pfxccatpfx2  14775  pfxccat3a  14776  swrdccat3blem  14777  swrdccat3b  14778  pfxccatid  14779  ccats1pfxeqbi  14780  spllen  14792  splfv1  14793  splfv2a  14794  splval2  14795  revcl  14799  revlen  14800  revccat  14804  revrev  14805  repswsymball  14817  repswsymballbi  14818  cshw0  14832  cshwsublen  14834  cshwn  14835  cshwlen  14837  cshwidxmod  14841  2cshwid  14852  3cshw  14856  cshweqdif2  14857  cshw1  14860  scshwfzeqfzo  14865  revco  14873  ccatco  14874  cats1fvn  14897  cats1fv  14898  pfx2  14986  swrd2lsw  14991  2swrd2eqwrdeq  14992  ccat2s1fvwALT  14994  cshwshashnsame  17141  gsmsymgrfixlem1  19445  gsmsymgreqlem2  19449  pmtrdifwrdellem2  19500  psgnuni  19517  psgnran  19533  efginvrel2  19745  efgsdmi  19750  efgsval2  19751  efgsp1  19755  efgsfo  19757  efgredlemf  19759  efgredlemg  19760  efgredleme  19761  efgredlemd  19762  efgredlemc  19763  efgredlem  19765  efgred  19766  efgcpbllemb  19773  frgpuplem  19790  frgpnabllem1  19891  pgpfaclem1  20101  psgnghm  21598  upgrewlkle2  29624  wlkcl  29633  wlkeq  29652  wlkv0  29669  wlklenvclwlk  29673  redwlklem  29689  wlkp1lem3  29693  wlkp1lem8  29698  wlkdlem1  29700  pthdlem1  29786  pthdlem2  29788  wlkiswwlks1  29887  wlkiswwlks2lem1  29889  wlkiswwlks2lem3  29891  wlkiswwlks2lem4  29892  wwlksm1edg  29901  wlklnwwlkln2lem  29902  wwlksnextbi  29914  wwlksnextproplem2  29930  wwlksnextproplem3  29931  rusgrnumwwlks  29994  clwwlkccatlem  30008  umgrclwwlkge2  30010  clwlkclwwlklem2a1  30011  clwlkclwwlklem2a2  30012  clwlkclwwlklem2a4  30016  clwlkclwwlklem2a  30017  clwlkclwwlklem2  30019  clwlkclwwlklem3  30020  clwlkclwwlk  30021  clwlkclwwlk2  30022  clwlkclwwlkfo  30028  clwwisshclwwslem  30033  erclwwlkref  30039  clwwlkn  30045  clwwlkwwlksb  30073  clwlknf1oclwwlknlem1  30100  clwwlknonex2lem2  30127  eupth2eucrct  30236  eucrctshift  30262  numclwlk2lem2f1o  30398  ccatf1  32933  ccatdmss  32934  pfxlsw2ccat  32935  ccatws1f1o  32936  ccatws1f1olast  32937  wrdt2ind  32938  splfv3  32943  chnind  33001  chnub  33002  chnlt  33003  chnccats1  33005  gsumwrd2dccatlem  33069  gsumwrd2dccat  33070  cycpmfv1  33133  cycpmfv2  33134  cycpmco2f1  33144  cycpmco2rn  33145  cycpmco2lem3  33148  cycpmco2lem4  33149  cycpmco2lem5  33150  cycpmco2lem6  33151  cycpmco2lem7  33152  cycpmco2  33153  cycpmrn  33163  cyc3genpm  33172  1arithidomlem1  33563  1arithidomlem2  33564  1arithidom  33565  dfufd2lem  33577  sseqfv1  34391  sseqfn  34392  sseqmw  34393  sseqf  34394  sseqfv2  34396  sseqp1  34397  ofcccat  34558  signstlen  34582  signstfvn  34584  signstfvp  34586  signstfvneq0  34587  signstfvc  34589  signstfveq0a  34591  signstfveq0  34592  signshf  34603  signshlen  34605  signshnz  34606  lpadlem3  34693  lpadlem2  34695  lpadlen2  34696  lpadmax  34697  lpadleft  34698  lpadright  34699  revpfxsfxrev  35121  revwlk  35130  elmrsubrn  35525  ccatcan2d  42292  lswn0  47431