Theorem lencl 14719

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14718	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14541	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  Fincfn 9011  ℕ₀cn0 12646  ♯chash 14515  Word cword 14699

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700

This theorem is used by:  wrdffz  14721  wrdnfi  14734  wrdsymb0  14735  wrdlenge1n0  14736  wrdlenge2n0  14738  wrdsymb1  14739  eqwrd  14743  wrdred1  14746  wrdred1hash  14747  ccatcl  14760  ccatlen  14761  ccat0  14762  ccatval1  14763  ccatval3  14765  elfzelfzccat  14766  ccatdmss  14768  ccatsymb  14769  ccatfv0  14770  ccatval21sw  14772  ccatlid  14773  ccatrid  14774  ccatass  14775  ccatrn  14776  ccatf1  14777  lswccatn0lsw  14779  ccatalpha  14781  ccatws1lenp1b  14811  wrdlenccats1lenm1  14812  ccatw2s1len  14815  ccats1val2  14817  ccatws1n0  14822  lswccats1fst  14825  ccatw2s1p1  14826  ccat2s1fvw  14828  swrdnd  14846  swrdnd2  14847  swrdnd0  14849  swrdrlen  14851  swrdlen2  14852  swrdfv2  14853  swrdlsw  14859  swrdccat2  14861  pfxid  14876  pfxn0  14878  pfxnd0  14880  addlenpfx  14882  pfxtrcfv0  14885  pfxeq  14887  pfxtrcfvl  14888  pfxsuffeqwrdeq  14889  pfxccat1  14893  pfxcctswrd  14901  ccats1pfxeq  14905  ccats1pfxeqrex  14906  ccatopth2  14908  cats1un  14912  wrdind  14913  wrd2ind  14914  swrdccatin1  14916  swrdccatin2  14920  pfxccatin12lem2  14922  pfxccatin12lem3  14923  pfxccatin12  14924  pfxccat3  14925  swrdccat  14926  pfxccatpfx2  14928  pfxccat3a  14929  swrdccat3blem  14930  swrdccat3b  14931  pfxccatid  14932  ccats1pfxeqbi  14933  spllen  14945  splfv1  14946  splfv2a  14947  splval2  14948  revcl  14952  revlen  14953  revccat  14957  revrev  14958  revpfxsfxrev  14959  repswsymball  14972  repswsymballbi  14973  cshw0  14987  cshwsublen  14989  cshwn  14990  cshwlen  14992  cshwidxmod  14996  2cshwid  15007  3cshw  15011  cshweqdif2  15012  cshw1  15015  scshwfzeqfzo  15019  revco  15027  ccatco  15028  cats1fvn  15051  cats1fv  15052  pfx2  15141  swrd2lsw  15148  2swrd2eqwrdeq  15149  ccat2s1fvwALT  15151  cshwshashnsame  17325  chnind  18845  chnub  18846  chnlt  18847  chnccats1  18849  chnccat  18850  chnrev  18851  chnpolleha  18856  chnpolfz  18857  gsmsymgrfixlem1  19692  gsmsymgreqlem2  19696  pmtrdifwrdellem2  19747  psgnuni  19764  psgnran  19780  efginvrel2  19992  efgsdmi  19997  efgsval2  19998  efgsp1  20002  efgsfo  20004  efgredlemf  20006  efgredlemg  20007  efgredleme  20008  efgredlemd  20009  efgredlemc  20010  efgredlem  20012  efgred  20013  efgcpbllemb  20020  frgpuplem  20037  frgpnabllem1  20138  pgpfaclem1  20348  psgnghm  21941  upgrewlkle2  30244  wlkcl  30253  wlkeq  30271  wlkv0  30287  wlklenvclwlk  30291  redwlklem  30307  wlkp1lem3  30311  wlkp1lem8  30316  wlkdlem1  30318  revwlk  30324  pthdlem1  30409  pthdlem2  30411  wlkiswwlks1  30513  wlkiswwlks2lem1  30515  wlkiswwlks2lem3  30517  wlkiswwlks2lem4  30518  wwlksm1edg  30527  wlklnwwlkln2lem  30528  wwlksnextbi  30540  wwlksnextproplem2  30556  wwlksnextproplem3  30557  rusgrnumwwlks  30623  clwwlkccatlem  30637  umgrclwwlkge2  30639  clwlkclwwlklem2a1  30640  clwlkclwwlklem2a2  30641  clwlkclwwlklem2a4  30645  clwlkclwwlklem2a  30646  clwlkclwwlklem2  30648  clwlkclwwlklem3  30649  clwlkclwwlk  30650  clwlkclwwlk2  30651  clwlkclwwlkfo  30657  clwwisshclwwslem  30662  erclwwlkref  30668  clwwlkn  30674  clwwlkwwlksb  30702  clwlknf1oclwwlknlem1  30729  clwwlknonex2lem2  30756  eupth2eucrct  30875  eucrctshift  30901  numclwlk2lem2f1o  31037  pfxlsw2ccat  33609  ccatws1f1o  33610  ccatws1f1olast  33611  wrdt2ind  33612  splfv3  33615  gsumwrd2dccatlem  33737  gsumwrd2dccat  33738  cycpmfv1  33773  cycpmfv2  33774  cycpmco2f1  33784  cycpmco2rn  33785  cycpmco2lem3  33788  cycpmco2lem4  33789  cycpmco2lem5  33790  cycpmco2lem6  33791  cycpmco2lem7  33792  cycpmco2  33793  cycpmrn  33803  cyc3genpm  33812  1arithidomlem1  34171  1arithidomlem2  34172  1arithidom  34173  dfufd2lem  34185  sseqfv1  35132  sseqfn  35133  sseqmw  35134  sseqf  35135  sseqfv2  35137  sseqp1  35138  ofcccat  35286  signstlen  35307  signstfvn  35309  signstfvp  35311  signstfvneq0  35312  signstfvc  35314  signstfveq0a  35316  signstfveq0  35317  signshf  35328  signshlen  35330  signshnz  35331  lpadlem3  35421  lpadlem2  35423  lpadlen2  35424  lpadmax  35425  lpadleft  35426  lpadright  35427  elmrsubrn  36493  ccatcan2d  43568  chnsubseqword  48161  chnsubseqwl  48162  chnsubseq  48163  chnsuslle  48164  chnerlem1  48165  chnerlem2  48166  lswn0  48799