Theorem lencl 14569

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14568	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14391	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  Fincfn 8942  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14365  Word cword 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550

This theorem is referenced by:  wrdffz  14571  wrdnfi  14584  wrdsymb0  14585  wrdlenge1n0  14586  wrdlenge2n0  14588  wrdsymb1  14589  eqwrd  14593  wrdred1  14596  wrdred1hash  14597  ccatcl  14610  ccatlen  14611  ccat0  14612  ccatval1  14613  ccatval3  14615  elfzelfzccat  14616  ccatdmss  14618  ccatsymb  14619  ccatfv0  14620  ccatval21sw  14622  ccatlid  14623  ccatrid  14624  ccatass  14625  ccatrn  14626  lswccatn0lsw  14628  ccatalpha  14630  ccatws1lenp1b  14658  wrdlenccats1lenm1  14659  ccatw2s1len  14662  ccats1val2  14664  ccatws1n0  14669  lswccats1fst  14672  ccatw2s1p1  14673  ccat2s1fvw  14675  swrdnd  14691  swrdnd2  14692  swrdnd0  14694  swrdrlen  14696  swrdlen2  14697  swrdfv2  14698  swrdlsw  14704  swrdccat2  14706  pfxid  14721  pfxn0  14723  pfxnd0  14725  addlenpfx  14727  pfxtrcfv0  14730  pfxeq  14732  pfxtrcfvl  14733  pfxsuffeqwrdeq  14734  pfxccat1  14738  pfxcctswrd  14746  ccats1pfxeq  14750  ccats1pfxeqrex  14751  ccatopth2  14753  cats1un  14757  wrdind  14758  wrd2ind  14759  swrdccatin1  14761  swrdccatin2  14765  pfxccatin12lem2  14767  pfxccatin12lem3  14768  pfxccatin12  14769  pfxccat3  14770  swrdccat  14771  pfxccatpfx2  14773  pfxccat3a  14774  swrdccat3blem  14775  swrdccat3b  14776  pfxccatid  14777  ccats1pfxeqbi  14778  spllen  14790  splfv1  14791  splfv2a  14792  splval2  14793  revcl  14797  revlen  14798  revccat  14802  revrev  14803  repswsymball  14815  repswsymballbi  14816  cshw0  14830  cshwsublen  14832  cshwn  14833  cshwlen  14835  cshwidxmod  14839  2cshwid  14850  3cshw  14854  cshweqdif2  14855  cshw1  14858  scshwfzeqfzo  14862  revco  14870  ccatco  14871  cats1fvn  14894  cats1fv  14895  pfx2  14983  swrd2lsw  14988  2swrd2eqwrdeq  14989  ccat2s1fvwALT  14991  cshwshashnsame  17162  chnind  18676  chnub  18677  chnlt  18678  chnccats1  18680  chnccat  18681  chnrev  18682  chnpolleha  18687  chnpolfz  18688  gsmsymgrfixlem1  19496  gsmsymgreqlem2  19500  pmtrdifwrdellem2  19551  psgnuni  19568  psgnran  19584  efginvrel2  19796  efgsdmi  19801  efgsval2  19802  efgsp1  19806  efgsfo  19808  efgredlemf  19810  efgredlemg  19811  efgredleme  19812  efgredlemd  19813  efgredlemc  19814  efgredlem  19816  efgred  19817  efgcpbllemb  19824  frgpuplem  19841  frgpnabllem1  19942  pgpfaclem1  20152  psgnghm  21698  upgrewlkle2  29896  wlkcl  29905  wlkeq  29923  wlkv0  29939  wlklenvclwlk  29943  redwlklem  29959  wlkp1lem3  29963  wlkp1lem8  29968  wlkdlem1  29970  pthdlem1  30055  pthdlem2  30057  wlkiswwlks1  30156  wlkiswwlks2lem1  30158  wlkiswwlks2lem3  30160  wlkiswwlks2lem4  30161  wwlksm1edg  30170  wlklnwwlkln2lem  30171  wwlksnextbi  30183  wwlksnextproplem2  30199  wwlksnextproplem3  30200  rusgrnumwwlks  30266  clwwlkccatlem  30280  umgrclwwlkge2  30282  clwlkclwwlklem2a1  30283  clwlkclwwlklem2a2  30284  clwlkclwwlklem2a4  30288  clwlkclwwlklem2a  30289  clwlkclwwlklem2  30291  clwlkclwwlklem3  30292  clwlkclwwlk  30293  clwlkclwwlk2  30294  clwlkclwwlkfo  30300  clwwisshclwwslem  30305  erclwwlkref  30311  clwwlkn  30317  clwwlkwwlksb  30345  clwlknf1oclwwlknlem1  30372  clwwlknonex2lem2  30399  eupth2eucrct  30508  eucrctshift  30534  numclwlk2lem2f1o  30670  ccatf1  33209  pfxlsw2ccat  33210  ccatws1f1o  33211  ccatws1f1olast  33212  wrdt2ind  33213  splfv3  33218  gsumwrd2dccatlem  33337  gsumwrd2dccat  33338  cycpmfv1  33373  cycpmfv2  33374  cycpmco2f1  33384  cycpmco2rn  33385  cycpmco2lem3  33388  cycpmco2lem4  33389  cycpmco2lem5  33390  cycpmco2lem6  33391  cycpmco2lem7  33392  cycpmco2  33393  cycpmrn  33403  cyc3genpm  33412  1arithidomlem1  33769  1arithidomlem2  33770  1arithidom  33771  dfufd2lem  33783  sseqfv1  34723  sseqfn  34724  sseqmw  34725  sseqf  34726  sseqfv2  34728  sseqp1  34729  ofcccat  34877  signstlen  34898  signstfvn  34900  signstfvp  34902  signstfvneq0  34903  signstfvc  34905  signstfveq0a  34907  signstfveq0  34908  signshf  34919  signshlen  34921  signshnz  34922  lpadlem3  35012  lpadlem2  35014  lpadlen2  35015  lpadmax  35016  lpadleft  35017  lpadright  35018  revpfxsfxrev  35505  revwlk  35515  elmrsubrn  35910  ccatcan2d  42908  chnsubseqword  47485  chnsubseqwl  47486  chnsubseq  47487  chnsuslle  47488  chnerlem1  47489  chnerlem2  47490  lswn0  48081