Theorem lencl 14498

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14497	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14321	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295  Word cword 14478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479

This theorem is referenced by:  wrdffz  14500  wrdnfi  14513  wrdsymb0  14514  wrdlenge1n0  14515  wrdlenge2n0  14517  wrdsymb1  14518  eqwrd  14522  wrdred1  14525  wrdred1hash  14526  ccatcl  14539  ccatlen  14540  ccat0  14541  ccatval1  14542  ccatval3  14544  elfzelfzccat  14545  ccatsymb  14547  ccatfv0  14548  ccatval21sw  14550  ccatlid  14551  ccatrid  14552  ccatass  14553  ccatrn  14554  lswccatn0lsw  14556  ccatalpha  14558  ccatws1lenp1b  14586  wrdlenccats1lenm1  14587  ccatw2s1len  14590  ccats1val2  14592  ccatws1n0  14597  lswccats1fst  14600  ccatw2s1p1  14601  ccat2s1fvw  14603  swrdnd  14619  swrdnd2  14620  swrdnd0  14622  swrdrlen  14624  swrdlen2  14625  swrdfv2  14626  swrdlsw  14632  swrdccat2  14634  pfxid  14649  pfxn0  14651  pfxnd0  14653  addlenrevpfx  14655  addlenpfx  14656  pfxtrcfv0  14659  pfxeq  14661  pfxtrcfvl  14662  pfxsuffeqwrdeq  14663  pfxccat1  14667  pfxcctswrd  14675  ccats1pfxeq  14679  ccats1pfxeqrex  14680  ccatopth2  14682  cats1un  14686  wrdind  14687  wrd2ind  14688  swrdccatin1  14690  swrdccatin2  14694  pfxccatin12lem2  14696  pfxccatin12lem3  14697  pfxccatin12  14698  pfxccat3  14699  swrdccat  14700  pfxccatpfx2  14702  pfxccat3a  14703  swrdccat3blem  14704  swrdccat3b  14705  pfxccatid  14706  ccats1pfxeqbi  14707  spllen  14719  splfv1  14720  splfv2a  14721  splval2  14722  revcl  14726  revlen  14727  revccat  14731  revrev  14732  repswsymball  14744  repswsymballbi  14745  cshw0  14759  cshwsublen  14761  cshwn  14762  cshwlen  14764  cshwidxmod  14768  2cshwid  14779  3cshw  14783  cshweqdif2  14784  cshw1  14787  scshwfzeqfzo  14792  revco  14800  ccatco  14801  cats1fvn  14824  cats1fv  14825  pfx2  14913  swrd2lsw  14918  2swrd2eqwrdeq  14919  ccat2s1fvwALT  14921  cshwshashnsame  17074  gsmsymgrfixlem1  19357  gsmsymgreqlem2  19361  pmtrdifwrdellem2  19412  psgnuni  19429  psgnran  19445  efginvrel2  19657  efgsdmi  19662  efgsval2  19663  efgsp1  19667  efgsfo  19669  efgredlemf  19671  efgredlemg  19672  efgredleme  19673  efgredlemd  19674  efgredlemc  19675  efgredlem  19677  efgred  19678  efgcpbllemb  19685  frgpuplem  19702  frgpnabllem1  19803  pgpfaclem1  20013  psgnghm  21489  upgrewlkle2  29534  wlkcl  29543  wlkeq  29562  wlkv0  29579  wlklenvclwlk  29583  redwlklem  29599  wlkp1lem3  29603  wlkp1lem8  29608  wlkdlem1  29610  pthdlem1  29696  pthdlem2  29698  wlkiswwlks1  29797  wlkiswwlks2lem1  29799  wlkiswwlks2lem3  29801  wlkiswwlks2lem4  29802  wwlksm1edg  29811  wlklnwwlkln2lem  29812  wwlksnextbi  29824  wwlksnextproplem2  29840  wwlksnextproplem3  29841  rusgrnumwwlks  29904  clwwlkccatlem  29918  umgrclwwlkge2  29920  clwlkclwwlklem2a1  29921  clwlkclwwlklem2a2  29922  clwlkclwwlklem2a4  29926  clwlkclwwlklem2a  29927  clwlkclwwlklem2  29929  clwlkclwwlklem3  29930  clwlkclwwlk  29931  clwlkclwwlk2  29932  clwlkclwwlkfo  29938  clwwisshclwwslem  29943  erclwwlkref  29949  clwwlkn  29955  clwwlkwwlksb  29983  clwlknf1oclwwlknlem1  30010  clwwlknonex2lem2  30037  eupth2eucrct  30146  eucrctshift  30172  numclwlk2lem2f1o  30308  ccatf1  32870  ccatdmss  32871  pfxlsw2ccat  32872  ccatws1f1o  32873  ccatws1f1olast  32874  wrdt2ind  32875  splfv3  32880  chnind  32937  chnub  32938  chnlt  32939  chnccats1  32941  gsumwrd2dccatlem  33006  gsumwrd2dccat  33007  cycpmfv1  33070  cycpmfv2  33071  cycpmco2f1  33081  cycpmco2rn  33082  cycpmco2lem3  33085  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2lem7  33089  cycpmco2  33090  cycpmrn  33100  cyc3genpm  33109  1arithidomlem1  33506  1arithidomlem2  33507  1arithidom  33508  dfufd2lem  33520  sseqfv1  34380  sseqfn  34381  sseqmw  34382  sseqf  34383  sseqfv2  34385  sseqp1  34386  ofcccat  34534  signstlen  34558  signstfvn  34560  signstfvp  34562  signstfvneq0  34563  signstfvc  34565  signstfveq0a  34567  signstfveq0  34568  signshf  34579  signshlen  34581  signshnz  34582  lpadlem3  34669  lpadlem2  34671  lpadlen2  34672  lpadmax  34673  lpadleft  34674  lpadright  34675  revpfxsfxrev  35103  revwlk  35112  elmrsubrn  35507  ccatcan2d  42239  lswn0  47445