Theorem lencl 14456

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14455	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14279	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  ℕ₀cn0 12401  ♯chash 14253  Word cword 14436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-hash 14254  df-word 14437

This theorem is referenced by:  wrdffz  14458  wrdnfi  14471  wrdsymb0  14472  wrdlenge1n0  14473  wrdlenge2n0  14475  wrdsymb1  14476  eqwrd  14480  wrdred1  14483  wrdred1hash  14484  ccatcl  14497  ccatlen  14498  ccat0  14499  ccatval1  14500  ccatval3  14502  elfzelfzccat  14503  ccatdmss  14505  ccatsymb  14506  ccatfv0  14507  ccatval21sw  14509  ccatlid  14510  ccatrid  14511  ccatass  14512  ccatrn  14513  lswccatn0lsw  14515  ccatalpha  14517  ccatws1lenp1b  14545  wrdlenccats1lenm1  14546  ccatw2s1len  14549  ccats1val2  14551  ccatws1n0  14556  lswccats1fst  14559  ccatw2s1p1  14560  ccat2s1fvw  14562  swrdnd  14578  swrdnd2  14579  swrdnd0  14581  swrdrlen  14583  swrdlen2  14584  swrdfv2  14585  swrdlsw  14591  swrdccat2  14593  pfxid  14608  pfxn0  14610  pfxnd0  14612  addlenpfx  14614  pfxtrcfv0  14617  pfxeq  14619  pfxtrcfvl  14620  pfxsuffeqwrdeq  14621  pfxccat1  14625  pfxcctswrd  14633  ccats1pfxeq  14637  ccats1pfxeqrex  14638  ccatopth2  14640  cats1un  14644  wrdind  14645  wrd2ind  14646  swrdccatin1  14648  swrdccatin2  14652  pfxccatin12lem2  14654  pfxccatin12lem3  14655  pfxccatin12  14656  pfxccat3  14657  swrdccat  14658  pfxccatpfx2  14660  pfxccat3a  14661  swrdccat3blem  14662  swrdccat3b  14663  pfxccatid  14664  ccats1pfxeqbi  14665  spllen  14677  splfv1  14678  splfv2a  14679  splval2  14680  revcl  14684  revlen  14685  revccat  14689  revrev  14690  repswsymball  14702  repswsymballbi  14703  cshw0  14717  cshwsublen  14719  cshwn  14720  cshwlen  14722  cshwidxmod  14726  2cshwid  14737  3cshw  14741  cshweqdif2  14742  cshw1  14745  scshwfzeqfzo  14749  revco  14757  ccatco  14758  cats1fvn  14781  cats1fv  14782  pfx2  14870  swrd2lsw  14875  2swrd2eqwrdeq  14876  ccat2s1fvwALT  14878  cshwshashnsame  17031  chnind  18544  chnub  18545  chnlt  18546  chnccats1  18548  chnccat  18549  chnrev  18550  chnpolleha  18555  chnpolfz  18556  gsmsymgrfixlem1  19356  gsmsymgreqlem2  19360  pmtrdifwrdellem2  19411  psgnuni  19428  psgnran  19444  efginvrel2  19656  efgsdmi  19661  efgsval2  19662  efgsp1  19666  efgsfo  19668  efgredlemf  19670  efgredlemg  19671  efgredleme  19672  efgredlemd  19673  efgredlemc  19674  efgredlem  19676  efgred  19677  efgcpbllemb  19684  frgpuplem  19701  frgpnabllem1  19802  pgpfaclem1  20012  psgnghm  21535  upgrewlkle2  29680  wlkcl  29689  wlkeq  29707  wlkv0  29723  wlklenvclwlk  29727  redwlklem  29743  wlkp1lem3  29747  wlkp1lem8  29752  wlkdlem1  29754  pthdlem1  29839  pthdlem2  29841  wlkiswwlks1  29940  wlkiswwlks2lem1  29942  wlkiswwlks2lem3  29944  wlkiswwlks2lem4  29945  wwlksm1edg  29954  wlklnwwlkln2lem  29955  wwlksnextbi  29967  wwlksnextproplem2  29983  wwlksnextproplem3  29984  rusgrnumwwlks  30050  clwwlkccatlem  30064  umgrclwwlkge2  30066  clwlkclwwlklem2a1  30067  clwlkclwwlklem2a2  30068  clwlkclwwlklem2a4  30072  clwlkclwwlklem2a  30073  clwlkclwwlklem2  30075  clwlkclwwlklem3  30076  clwlkclwwlk  30077  clwlkclwwlk2  30078  clwlkclwwlkfo  30084  clwwisshclwwslem  30089  erclwwlkref  30095  clwwlkn  30101  clwwlkwwlksb  30129  clwlknf1oclwwlknlem1  30156  clwwlknonex2lem2  30183  eupth2eucrct  30292  eucrctshift  30318  numclwlk2lem2f1o  30454  ccatf1  33031  pfxlsw2ccat  33032  ccatws1f1o  33033  ccatws1f1olast  33034  wrdt2ind  33035  splfv3  33040  gsumwrd2dccatlem  33159  gsumwrd2dccat  33160  cycpmfv1  33195  cycpmfv2  33196  cycpmco2f1  33206  cycpmco2rn  33207  cycpmco2lem3  33210  cycpmco2lem4  33211  cycpmco2lem5  33212  cycpmco2lem6  33213  cycpmco2lem7  33214  cycpmco2  33215  cycpmrn  33225  cyc3genpm  33234  1arithidomlem1  33616  1arithidomlem2  33617  1arithidom  33618  dfufd2lem  33630  sseqfv1  34546  sseqfn  34547  sseqmw  34548  sseqf  34549  sseqfv2  34551  sseqp1  34552  ofcccat  34700  signstlen  34724  signstfvn  34726  signstfvp  34728  signstfvneq0  34729  signstfvc  34731  signstfveq0a  34733  signstfveq0  34734  signshf  34745  signshlen  34747  signshnz  34748  lpadlem3  34835  lpadlem2  34837  lpadlen2  34838  lpadmax  34839  lpadleft  34840  lpadright  34841  revpfxsfxrev  35310  revwlk  35319  elmrsubrn  35714  ccatcan2d  42506  chnsubseqword  47122  chnsubseqwl  47123  chnsubseq  47124  chnsuslle  47125  chnerlem1  47126  chnerlem2  47127  lswn0  47690