Theorem lencl 13729

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 13728	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 13567	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2081  ‘cfv 6225  Fincfn 8357  ℕ₀cn0 11745  ♯chash 13540  Word cword 13707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708

This theorem is referenced by:  wrdffz  13731  wrdnfi  13745  wrdsymb0  13747  wrdlenge1n0  13748  wrdlenge2n0  13750  wrdsymb1  13751  eqwrd  13755  wrdred1  13758  wrdred1hash  13759  ccatcl  13772  ccatlen  13773  ccat0  13774  ccatval1  13775  ccatval3  13777  elfzelfzccat  13778  ccatsymb  13780  ccatfv0  13781  ccatval21sw  13783  ccatlid  13784  ccatrid  13785  ccatass  13786  ccatrn  13787  lswccatn0lsw  13789  ccatalpha  13791  ccatws1lenp1b  13819  wrdlenccats1lenm1  13820  ccatw2s1len  13823  ccats1val2  13825  ccat1st1st  13826  ccatws1n0  13830  lswccats1fst  13833  ccatw2s1p1  13834  ccat2s1fvw  13836  swrdnd  13852  swrdnd2  13853  swrdnd0  13855  swrdrlen  13857  swrdlen2  13858  swrdfv2  13859  swrdlsw  13865  swrdccat2  13867  pfxid  13882  pfxn0  13884  pfxnd0  13886  addlenrevpfx  13888  addlenpfx  13889  pfxtrcfv0  13892  pfxeq  13894  pfxtrcfvl  13895  pfxsuffeqwrdeq  13896  pfxccat1  13900  pfxcctswrd  13908  ccats1pfxeq  13912  ccats1pfxeqrex  13913  ccatopth2  13915  cats1un  13919  wrdind  13920  wrd2ind  13921  swrdccatin1  13923  swrdccatin2  13927  pfxccatin12lem2  13929  pfxccatin12lem3  13930  pfxccatin12  13931  pfxccat3  13932  swrdccat  13933  pfxccatpfx2  13935  pfxccat3a  13936  swrdccat3blem  13937  swrdccat3b  13938  pfxccatid  13939  ccats1pfxeqbi  13940  spllen  13952  splval2  13955  revcl  13959  revlen  13960  revccat  13964  revrev  13965  repswsymball  13977  repswsymballbi  13978  cshw0  13992  cshwsublen  13994  cshwn  13995  cshwlen  13997  cshwidxmod  14001  2cshwid  14012  3cshw  14016  cshweqdif2  14017  cshw1  14020  scshwfzeqfzo  14024  revco  14032  ccatco  14033  cats1fvn  14056  cats1fv  14057  pfx2  14145  swrd2lsw  14150  2swrd2eqwrdeq  14151  ccat2s1fvwALT  14153  cshwshashnsame  16266  gsmsymgrfixlem1  18286  gsmsymgreqlem2  18290  pmtrdifwrdellem2  18341  psgnuni  18358  psgnran  18374  efginvrel2  18580  efgsdmi  18585  efgsval2  18586  efgsp1  18590  efgsfo  18592  efgredlemf  18594  efgredlemg  18595  efgredleme  18596  efgredlemd  18597  efgredlemc  18598  efgredlem  18600  efgred  18601  efgcpbllemb  18608  frgpuplem  18625  frgpnabllem1  18716  pgpfaclem1  18920  psgnghm  20406  upgrewlkle2  27071  wlkcl  27080  wlkeq  27098  wlkv0  27115  wlklenvclwlk  27119  redwlklem  27138  wlkp1lem3  27142  wlkp1lem8  27147  wlkdlem1  27149  pthdlem1  27234  pthdlem2  27236  wlkiswwlks1  27332  wlkiswwlks2lem1  27334  wlkiswwlks2lem3  27336  wlkiswwlks2lem4  27337  wwlksm1edg  27346  wlklnwwlkln2lem  27347  wwlksnextbi  27359  wwlksnextproplem2  27376  wwlksnextproplem3  27377  rusgrnumwwlks  27440  clwwlkccatlem  27454  umgrclwwlkge2  27456  clwlkclwwlklem2a1  27457  clwlkclwwlklem2a2  27458  clwlkclwwlklem2a4  27462  clwlkclwwlklem2a  27463  clwlkclwwlklem2  27465  clwlkclwwlklem3  27466  clwlkclwwlk  27467  clwlkclwwlk2  27468  clwlkclwwlkfo  27474  clwwisshclwwslem  27479  erclwwlkref  27485  clwwlkn  27491  clwwlkwwlksb  27520  clwlknf1oclwwlknlem1  27547  clwwlknonex2lem2  27574  eupth2eucrct  27684  eucrctshift  27710  numclwlk2lem2f1o  27850  pfxlsw2ccat  30305  wrdt2ind  30306  cycpmfv1  30402  cycpmfv2  30403  cycpmrn  30422  cyc3genpm  30432  sseqfv1  31264  sseqfn  31265  sseqmw  31266  sseqf  31267  sseqfv2  31269  sseqp1  31270  signstlen  31454  signstfvn  31456  signstfvp  31458  signstfvneq0  31459  signstfvc  31461  signstfveq0a  31463  signstfveq0  31464  signshlen  31477  signshnz  31478  lpadlem3  31566  lpadlem2  31568  lpadlen2  31569  lpadmax  31570  lpadleft  31571  lpadright  31572  elmrsubrn  32375  ccatcan2d  38657  lswn0  43086