Theorem lencl 14566

Description: The length of a word is a nonnegative integer. This corresponds to the definition in Section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lencl	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem lencl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 14565	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → 𝑊 ∈ Fin)
2		hashcl 14388	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  Fincfn 8939  ℕ₀cn0 12499  ♯chash 14362  Word cword 14546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547

This theorem is referenced by:  wrdffz  14568  wrdnfi  14581  wrdsymb0  14582  wrdlenge1n0  14583  wrdlenge2n0  14585  wrdsymb1  14586  eqwrd  14590  wrdred1  14593  wrdred1hash  14594  ccatcl  14607  ccatlen  14608  ccat0  14609  ccatval1  14610  ccatval3  14612  elfzelfzccat  14613  ccatdmss  14615  ccatsymb  14616  ccatfv0  14617  ccatval21sw  14619  ccatlid  14620  ccatrid  14621  ccatass  14622  ccatrn  14623  lswccatn0lsw  14625  ccatalpha  14627  ccatws1lenp1b  14655  wrdlenccats1lenm1  14656  ccatw2s1len  14659  ccats1val2  14661  ccatws1n0  14666  lswccats1fst  14669  ccatw2s1p1  14670  ccat2s1fvw  14672  swrdnd  14688  swrdnd2  14689  swrdnd0  14691  swrdrlen  14693  swrdlen2  14694  swrdfv2  14695  swrdlsw  14701  swrdccat2  14703  pfxid  14718  pfxn0  14720  pfxnd0  14722  addlenpfx  14724  pfxtrcfv0  14727  pfxeq  14729  pfxtrcfvl  14730  pfxsuffeqwrdeq  14731  pfxccat1  14735  pfxcctswrd  14743  ccats1pfxeq  14747  ccats1pfxeqrex  14748  ccatopth2  14750  cats1un  14754  wrdind  14755  wrd2ind  14756  swrdccatin1  14758  swrdccatin2  14762  pfxccatin12lem2  14764  pfxccatin12lem3  14765  pfxccatin12  14766  pfxccat3  14767  swrdccat  14768  pfxccatpfx2  14770  pfxccat3a  14771  swrdccat3blem  14772  swrdccat3b  14773  pfxccatid  14774  ccats1pfxeqbi  14775  spllen  14787  splfv1  14788  splfv2a  14789  splval2  14790  revcl  14794  revlen  14795  revccat  14799  revrev  14800  repswsymball  14812  repswsymballbi  14813  cshw0  14827  cshwsublen  14829  cshwn  14830  cshwlen  14832  cshwidxmod  14836  2cshwid  14847  3cshw  14851  cshweqdif2  14852  cshw1  14855  scshwfzeqfzo  14859  revco  14867  ccatco  14868  cats1fvn  14891  cats1fv  14892  pfx2  14980  swrd2lsw  14985  2swrd2eqwrdeq  14986  ccat2s1fvwALT  14988  cshwshashnsame  17158  chnind  18672  chnub  18673  chnlt  18674  chnccats1  18676  chnccat  18677  chnrev  18678  chnpolleha  18683  chnpolfz  18684  gsmsymgrfixlem1  19492  gsmsymgreqlem2  19496  pmtrdifwrdellem2  19547  psgnuni  19564  psgnran  19580  efginvrel2  19792  efgsdmi  19797  efgsval2  19798  efgsp1  19802  efgsfo  19804  efgredlemf  19806  efgredlemg  19807  efgredleme  19808  efgredlemd  19809  efgredlemc  19810  efgredlem  19812  efgred  19813  efgcpbllemb  19820  frgpuplem  19837  frgpnabllem1  19938  pgpfaclem1  20148  psgnghm  21730  upgrewlkle2  29956  wlkcl  29965  wlkeq  29983  wlkv0  29999  wlklenvclwlk  30003  redwlklem  30019  wlkp1lem3  30023  wlkp1lem8  30028  wlkdlem1  30030  pthdlem1  30115  pthdlem2  30117  wlkiswwlks1  30216  wlkiswwlks2lem1  30218  wlkiswwlks2lem3  30220  wlkiswwlks2lem4  30221  wwlksm1edg  30230  wlklnwwlkln2lem  30231  wwlksnextbi  30243  wwlksnextproplem2  30259  wwlksnextproplem3  30260  rusgrnumwwlks  30326  clwwlkccatlem  30340  umgrclwwlkge2  30342  clwlkclwwlklem2a1  30343  clwlkclwwlklem2a2  30344  clwlkclwwlklem2a4  30348  clwlkclwwlklem2a  30349  clwlkclwwlklem2  30351  clwlkclwwlklem3  30352  clwlkclwwlk  30353  clwlkclwwlk2  30354  clwlkclwwlkfo  30360  clwwisshclwwslem  30365  erclwwlkref  30371  clwwlkn  30377  clwwlkwwlksb  30405  clwlknf1oclwwlknlem1  30432  clwwlknonex2lem2  30459  eupth2eucrct  30568  eucrctshift  30594  numclwlk2lem2f1o  30730  ccatf1  33269  pfxlsw2ccat  33270  ccatws1f1o  33271  ccatws1f1olast  33272  wrdt2ind  33273  splfv3  33278  gsumwrd2dccatlem  33397  gsumwrd2dccat  33398  cycpmfv1  33433  cycpmfv2  33434  cycpmco2f1  33444  cycpmco2rn  33445  cycpmco2lem3  33448  cycpmco2lem4  33449  cycpmco2lem5  33450  cycpmco2lem6  33451  cycpmco2lem7  33452  cycpmco2  33453  cycpmrn  33463  cyc3genpm  33472  1arithidomlem1  33825  1arithidomlem2  33826  1arithidom  33827  dfufd2lem  33839  sseqfv1  34779  sseqfn  34780  sseqmw  34781  sseqf  34782  sseqfv2  34784  sseqp1  34785  ofcccat  34933  signstlen  34954  signstfvn  34956  signstfvp  34958  signstfvneq0  34959  signstfvc  34961  signstfveq0a  34963  signstfveq0  34964  signshf  34975  signshlen  34977  signshnz  34978  lpadlem3  35068  lpadlem2  35070  lpadlen2  35071  lpadmax  35072  lpadleft  35073  lpadright  35074  revpfxsfxrev  35607  revwlk  35617  elmrsubrn  36012  ccatcan2d  43019  chnsubseqword  47594  chnsubseqwl  47595  chnsubseq  47596  chnsuslle  47597  chnerlem1  47598  chnerlem2  47599  lswn0  48193