Theorem lsmdisj2a 19539

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2a	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	2	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		lsmcntz.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		lsmdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
10		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
11	1, 3, 5, 7, 8, 9, 10	lsmdisj2 19534	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
12	1, 3, 5, 7, 8, 9	lsmdisj 19533	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
13	12	simpld 496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	11, 13	jca 513	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
15		incom 4199	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑇))
16	2	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		incom 4199	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈))
20		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
21	19, 20	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
22		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
23	1, 16, 17, 18, 8, 21, 22	lsmdisj2 19534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑇)) = { 0 })
24	15, 23	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
25		incom 4199	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆)
26	1, 18, 16, 17, 8, 20	lsmdisjr 19536	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
27	26	simpld 496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })
28	25, 27	eqtrid 2785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
29	24, 28	jca 513	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }))
30	14, 29	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3945  {csn 4624  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  0_gc0g 17372  SubGrpcsubg 18985  LSSumclsm 19486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8691  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-0g 17374  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-subg 18988  df-lsm 19488

This theorem is referenced by:  lsmdisj3a  19541