Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2a 18808
 Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2a (𝜑 → ((((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2a
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 lsmcntz.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 lsmdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
9 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
10 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑆𝑇) = { 0 })
111, 3, 5, 7, 8, 9, 10lsmdisj2 18803 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
121, 3, 5, 7, 8, 9lsmdisj 18802 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
1312simpld 498 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
1411, 13jca 515 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
15 incom 4131 . . . 4 ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑆 𝑇))
162adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
176adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
184adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 incom 4131 . . . . . 6 ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈))
20 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
2119, 20syl5eq 2848 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
22 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
231, 16, 17, 18, 8, 21, 22lsmdisj2 18803 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ (𝑆 𝑇)) = { 0 })
2415, 23syl5eq 2848 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
25 incom 4131 . . . 4 (𝑆𝑇) = (𝑇𝑆)
261, 18, 16, 17, 8, 20lsmdisjr 18805 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
2726simpld 498 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑆) = { 0 })
2825, 27syl5eq 2848 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑇) = { 0 })
2924, 28jca 515 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }))
3014, 29impbida 800 1 (𝜑 → ((((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∩ cin 3883  {csn 4528  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  0gc0g 16708  SubGrpcsubg 18268  LSSumclsm 18754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-subg 18271  df-lsm 18756 This theorem is referenced by:  lsmdisj3a  18810
 Copyright terms: Public domain W3C validator