MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2a 19597
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2a (𝜑 → ((((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2a
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . . . 4 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
32adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
54adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6 lsmcntz.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8 lsmdisj.o . . . 4 0 = (0g𝐺)
9 simprl 768 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
10 simprr 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑆𝑇) = { 0 })
111, 3, 5, 7, 8, 9, 10lsmdisj2 19592 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
121, 3, 5, 7, 8, 9lsmdisj 19591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑆𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
1312simpld 494 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
1411, 13jca 511 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
15 incom 4202 . . . 4 ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑆 𝑇))
162adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
176adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
184adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19 incom 4202 . . . . . 6 ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈))
20 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
2119, 20eqtrid 2783 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
22 simprr 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
231, 16, 17, 18, 8, 21, 22lsmdisj2 19592 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ (𝑆 𝑇)) = { 0 })
2415, 23eqtrid 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
25 incom 4202 . . . 4 (𝑆𝑇) = (𝑇𝑆)
261, 18, 16, 17, 8, 20lsmdisjr 19594 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑇𝑆) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
2726simpld 494 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑆) = { 0 })
2825, 27eqtrid 2783 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑇) = { 0 })
2924, 28jca 511 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }))
3014, 29impbida 798 1 (𝜑 → ((((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  cin 3948  {csn 4629  cfv 6544  (class class class)co 7412  0gc0g 17390  SubGrpcsubg 19037  LSSumclsm 19544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-lsm 19546
This theorem is referenced by:  lsmdisj3a  19599
  Copyright terms: Public domain W3C validator