Theorem lsmdisj2a 19788

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2a	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6		lsmcntz.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8		lsmdisj.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
9		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
10		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
11	1, 3, 5, 7, 8, 9, 10	lsmdisj2 19783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
12	1, 3, 5, 7, 8, 9	lsmdisj 19782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
13	12	simpld 500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	11, 13	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
15		incom 4165	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑇))
16	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
19		incom 4165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈))
20		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
21	19, 20	eqtrid 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
22		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
23	1, 16, 17, 18, 8, 21, 22	lsmdisj2 19783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑇)) = { 0 })
24	15, 23	eqtrid 2813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
25		incom 4165	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆)
26	1, 18, 16, 17, 8, 20	lsmdisjr 19785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
27	26	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })
28	25, 27	eqtrid 2813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
29	24, 28	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }))
30	14, 29	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3907  {csn 4594  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0_gc0g 17517  SubGrpcsubg 19217  LSSumclsm 19735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-lsm 19737

This theorem is used by:  lsmdisj3a  19790