MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2b 19721
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2b (𝜑 → ((((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2b
StepHypRef Expression
1 incom 4217 . . . 4 (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆)
2 lsmcntz.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
3 lsmcntz.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmcntz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 lsmcntz.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 lsmdisj.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
10 incom 4217 . . . . . 6 (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇)
11 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
1210, 11eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
13 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
142, 4, 6, 8, 9, 12, 13lsmdisj2r 19718 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
151, 14eqtrid 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
16 incom 4217 . . . 4 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
172, 6, 8, 4, 9, 11lsmdisj 19714 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑈𝑇) = { 0 }))
1817simprd 495 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑈𝑇) = { 0 })
1916, 18eqtrid 2787 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑈) = { 0 })
2015, 19jca 511 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
215adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
223adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
24 simprl 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
25 simprr 773 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑈) = { 0 })
262, 21, 22, 23, 9, 24, 25lsmdisj2r 19718 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
272, 21, 22, 23, 9, 24lsmdisjr 19717 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
2827simprd 495 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
2926, 28jca 511 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
3020, 29impbida 801 1 (𝜑 → ((((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  0gc0g 17486  SubGrpcsubg 19151  LSSumclsm 19667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-oppg 19377  df-lsm 19669
This theorem is referenced by:  lsmdisj3b  19723
  Copyright terms: Public domain W3C validator