Theorem lsmdisj2b 19815

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2b	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4155	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		lsmcntz.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		lsmdisj.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		incom 4155	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
11		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
12	10, 11	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
13		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	2, 4, 6, 8, 9, 12, 13	lsmdisj2r 19812	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
15	1, 14	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
16		incom 4155	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
17	2, 6, 8, 4, 9, 11	lsmdisj 19808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 }))
18	17	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
19	16, 18	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20	15, 19	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
21	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
24		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
25		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
26	2, 21, 22, 23, 9, 24, 25	lsmdisj2r 19812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
27	2, 21, 22, 23, 9, 24	lsmdisjr 19811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
28	27	simprd 501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
29	26, 28	jca 521	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
30	20, 29	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  {csn 4584  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0_gc0g 17524  SubGrpcsubg 19243  LSSumclsm 19761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-0g 17526  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-grp 19060  df-minusg 19061  df-subg 19246  df-oppg 19473  df-lsm 19763

This theorem is used by:  lsmdisj3b  19817