Theorem lsmdisj2b 19209

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2b	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4131	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		lsmcntz.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		lsmdisj.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		incom 4131	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
11		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
12	10, 11	eqtrid 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
13		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	2, 4, 6, 8, 9, 12, 13	lsmdisj2r 19206	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
15	1, 14	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
16		incom 4131	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
17	2, 6, 8, 4, 9, 11	lsmdisj 19202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 }))
18	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
19	16, 18	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20	15, 19	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
21	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
24		simprl 767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
25		simprr 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
26	2, 21, 22, 23, 9, 24, 25	lsmdisj2r 19206	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
27	2, 21, 22, 23, 9, 24	lsmdisjr 19205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
28	27	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
29	26, 28	jca 511	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
30	20, 29	impbida 797	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3882  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0_gc0g 17067  SubGrpcsubg 18664  LSSumclsm 19154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-oppg 18865  df-lsm 19156

This theorem is referenced by:  lsmdisj3b  19211