Theorem lsmdisj2b 19078

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj2b	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4115	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆)
2		lsmcntz.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
3		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7		lsmcntz.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		lsmdisj.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
10		incom 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇)
11		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
12	10, 11	syl5eq 2790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
13		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
14	2, 4, 6, 8, 9, 12, 13	lsmdisj2r 19075	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
15	1, 14	syl5eq 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
16		incom 4115	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ 𝑇)
17	2, 6, 8, 4, 9, 11	lsmdisj 19071	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 }))
18	17	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑈 ∩ 𝑇) = { 0 })
19	16, 18	syl5eq 2790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
20	15, 19	jca 515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 }))
21	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
22	3	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
23	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
24		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })
25		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })
26	2, 21, 22, 23, 9, 24, 25	lsmdisj2r 19075	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
27	2, 21, 22, 23, 9, 24	lsmdisjr 19074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
28	27	simprd 499	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 })
29	26, 28	jca 515	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }))
30	20, 29	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3865  {csn 4541  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0_gc0g 16944  SubGrpcsubg 18537  LSSumclsm 19023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-subg 18540  df-oppg 18738  df-lsm 19025

This theorem is referenced by:  lsmdisj3b  19080