Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj2b 18809
 Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmdisj2b (𝜑 → ((((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj2b
StepHypRef Expression
1 incom 4128 . . . 4 (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆)
2 lsmcntz.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
3 lsmcntz.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmcntz.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
65adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 lsmcntz.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
87adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 lsmdisj.o . . . . 5 0 = (0g𝐺)
10 incom 4128 . . . . . 6 (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇)
11 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
1210, 11syl5eq 2845 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇 ∩ (𝑆 𝑈)) = { 0 })
13 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
142, 4, 6, 8, 9, 12, 13lsmdisj2r 18806 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑇 𝑈) ∩ 𝑆) = { 0 })
151, 14syl5eq 2845 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
16 incom 4128 . . . 4 (𝑇𝑈) = (𝑈𝑇)
172, 6, 8, 4, 9, 11lsmdisj 18802 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑈𝑇) = { 0 }))
1817simprd 499 . . . 4 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑈𝑇) = { 0 })
1916, 18syl5eq 2845 . . 3 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑈) = { 0 })
2015, 19jca 515 . 2 ((𝜑 ∧ (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 }))
215adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
223adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
237adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
24 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
25 simprr 772 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (𝑇𝑈) = { 0 })
262, 21, 22, 23, 9, 24, 25lsmdisj2r 18806 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → ((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 })
272, 21, 22, 23, 9, 24lsmdisjr 18805 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → ((𝑆𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
2827simprd 499 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (𝑆𝑈) = { 0 })
2926, 28jca 515 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })) → (((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }))
3020, 29impbida 800 1 (𝜑 → ((((𝑆 𝑈) ∩ 𝑇) = { 0 } ∧ (𝑆𝑈) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇𝑈) = { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3880  {csn 4525  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0gc0g 16707  SubGrpcsubg 18268  LSSumclsm 18754 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-subg 18271  df-oppg 18469  df-lsm 18756 This theorem is referenced by:  lsmdisj3b  18811
 Copyright terms: Public domain W3C validator