Theorem lshpne0 39963

Description: The member of the span in the hyperplane definition does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpne0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpne0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpne0.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpne0.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpne0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpne0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lshpne0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpne0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpne0.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpne0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lshpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpne0.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lshpne0.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpne0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpne0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
6	2, 4, 3, 5	lshplss 39958	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
7		lshpne0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lshpne0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpne0.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpne0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lshpne0.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
12	7, 8, 9, 4, 3, 5, 10, 11	lshpnel 39960	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 6, 12	lssvneln0 21189	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {csn 4583  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  0_gc0g 17572  LSSumclsm 19810  LModclmod 21097  LSubSpclss 21168  LSpanclspn 21208  LSHypclsh 39952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-grp 19109  df-minusg 19110  df-sbg 19111  df-subg 19295  df-lsm 19812  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-lmod 21099  df-lss 21169  df-lsp 21209  df-lshyp 39954

This theorem is used by:  lshpsmreu  40086  lshpkrlem5  40091