Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpne0 34999
Description: The member of the span in the hyperplane definition does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpne0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpne0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpne0.p = (LSSum‘𝑊)
lshpne0.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpne0.o 0 = (0g𝑊)
lshpne0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpne0.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpne0.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpne0.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpne0 (𝜑𝑋0 )

Proof of Theorem lshpne0
StepHypRef Expression
1 lshpne0.o . 2 0 = (0g𝑊)
2 eqid 2797 . 2 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3 lshpne0.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpne0.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5 lshpne0.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
62, 4, 3, 5lshplss 34994 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
7 lshpne0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lshpne0.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lshpne0.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
10 lshpne0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
11 lshpne0.e . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
127, 8, 9, 4, 3, 5, 10, 11lshpnel 34996 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
131, 2, 3, 6, 12lssvneln0 19267 1 (𝜑𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969  {csn 4366  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  0gc0g 16412  LSSumclsm 18359  LModclmod 19178  LSubSpclss 19247  LSpanclspn 19289  LSHypclsh 34988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-lsm 18361  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-lsp 19290  df-lshyp 34990
This theorem is referenced by:  lshpsmreu  35122  lshpkrlem5  35127
  Copyright terms: Public domain W3C validator