Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpne0 37008
Description: The member of the span in the hyperplane definition does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpne0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpne0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpne0.p = (LSSum‘𝑊)
lshpne0.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpne0.o 0 = (0g𝑊)
lshpne0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpne0.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpne0.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpne0.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpne0 (𝜑𝑋0 )

Proof of Theorem lshpne0
StepHypRef Expression
1 lshpne0.o . 2 0 = (0g𝑊)
2 eqid 2738 . 2 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3 lshpne0.w . 2 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpne0.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5 lshpne0.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
62, 4, 3, 5lshplss 37003 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
7 lshpne0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lshpne0.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9 lshpne0.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
10 lshpne0.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
11 lshpne0.e . . 3 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
127, 8, 9, 4, 3, 5, 10, 11lshpnel 37005 . 2 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
131, 2, 3, 6, 12lssvneln0 20223 1 (𝜑𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  {csn 4561  cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922  0gc0g 17160  LSSumclsm 19249  LModclmod 20133  LSubSpclss 20203  LSpanclspn 20243  LSHypclsh 36997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-0g 17162  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-sbg 18592  df-subg 18762  df-lsm 19251  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-lmod 20135  df-lss 20204  df-lsp 20244  df-lshyp 36999
This theorem is referenced by:  lshpsmreu  37131  lshpkrlem5  37136
  Copyright terms: Public domain W3C validator