Theorem lshpne0 39420

Description: The member of the span in the hyperplane definition does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpne0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpne0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpne0.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpne0.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpne0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpne0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lshpne0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpne0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpne0.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpne0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lshpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpne0.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lshpne0.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpne0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpne0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
6	2, 4, 3, 5	lshplss 39415	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
7		lshpne0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lshpne0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpne0.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpne0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lshpne0.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
12	7, 8, 9, 4, 3, 5, 10, 11	lshpnel 39417	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 6, 12	lssvneln0 20936	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  {csn 4557  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  LSSumclsm 19598  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  LSpanclspn 20955  LSHypclsh 39409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-lsm 19600  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-lshyp 39411

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  39543  lshpkrlem5  39548