Theorem lshpne0 39432

Description: The member of the span in the hyperplane definition does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 14-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpne0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpne0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpne0.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpne0.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpne0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lshpne0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lshpne0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpne0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpne0.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpne0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem lshpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpne0.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		lshpne0.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpne0.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
5		lshpne0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
6	2, 4, 3, 5	lshplss 39427	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
7		lshpne0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lshpne0.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
9		lshpne0.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
10		lshpne0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		lshpne0.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
12	7, 8, 9, 4, 3, 5, 10, 11	lshpnel 39429	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
13	1, 2, 3, 6, 12	lssvneln0 20947	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LSSumclsm 19609  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LSHypclsh 39421

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-lsm 19611  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lshyp 39423

This theorem is referenced by:  lshpsmreu  39555  lshpkrlem5  39560