Theorem m2detleiblem7 22128

Description: Lemma 7 for m2detleib 22132. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
m2detleiblem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
m2detleiblem1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem7	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Proof of Theorem m2detleiblem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		m2detleiblem1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		m2detleiblem1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
5		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ringnegl 20113	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
8	7	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
9	8	oveq2d 7424	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
10		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		m2detleiblem1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
12	1, 10, 4, 11	grpsubval 18869	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
13	12	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
14	9, 13	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cpr 4630  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110  2c2 12266  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  inv_gcminusg 18819  -_gcsg 18820  SymGrpcsymg 19233  pmSgncpsgn 19356  1_rcur 20003  Ringcrg 20055  ℤRHomczrh 21048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057

This theorem is referenced by:  m2detleib  22132