Theorem m2detleiblem7 21776

Description: Lemma 7 for m2detleib 21780. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
m2detleiblem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
m2detleiblem1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem7	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Proof of Theorem m2detleiblem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		m2detleiblem1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		m2detleiblem1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
5		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ringnegl 19833	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
8	7	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
9	8	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		m2detleiblem1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
12	1, 10, 4, 11	grpsubval 18625	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
13	12	3adant1 1129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
14	9, 13	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cpr 4563  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872  2c2 12028  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  ._rcmulr 16963  inv_gcminusg 18578  -_gcsg 18579  SymGrpcsymg 18974  pmSgncpsgn 19097  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  ℤRHomczrh 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785

This theorem is referenced by:  m2detleib  21780