Theorem m2detleiblem7 22570

Description: Lemma 7 for m2detleib 22574. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
m2detleiblem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
m2detleiblem1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem7	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Proof of Theorem m2detleiblem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		m2detleiblem1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		m2detleiblem1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ringnegl 20241	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
8	7	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
9	8	oveq2d 7374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		m2detleiblem1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
12	1, 10, 4, 11	grpsubval 18919	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
13	12	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
14	9, 13	eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4570  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1c1 11028  2c2 12201  Basecbs 17137  +_gcplusg 17178  ._rcmulr 17179  inv_gcminusg 18868  -_gcsg 18869  SymGrpcsymg 19302  pmSgncpsgn 19422  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  ℤRHomczrh 21456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-plusg 17191  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174

This theorem is referenced by:  m2detleib  22574