Theorem m2detleiblem7 22972

Description: Lemma 7 for m2detleib 22976. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
m2detleiblem1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
m2detleiblem1.m	⊢ − = (-g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem7	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

Proof of Theorem m2detleiblem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		m2detleiblem1.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		m2detleiblem1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
5		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
6		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝑅))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	ringnegl 20563	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
8	7	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐼‘ 1 ) · 𝑍) = (𝐼‘𝑍))
9	8	oveq2d 7459	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		m2detleiblem1.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑅)
12	1, 10, 4, 11	grpsubval 19225	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
13	12	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋 − 𝑍) = (𝑋(+g‘𝑅)(𝐼‘𝑍)))
14	9, 13	eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑋(+g‘𝑅)((𝐼‘ 1 ) · 𝑍)) = (𝑋 − 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cpr 4590  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  1c1 11228  2c2 12424  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  ._rcmulr 17458  inv_gcminusg 19174  -_gcsg 19175  SymGrpcsymg 19613  pmSgncpsgn 19733  1_rcur 20437  Ringcrg 20489  ℤRHomczrh 21835

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491

This theorem is used by:  m2detleib  22976