Theorem m2detleiblem2 21685

Description: Lemma 2 for m2detleib 21688. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem2.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleiblem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 19641	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4	1	ringmgp 19704	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
5	4	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		2eluzge1 12563	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
8		1z 12280	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fzpr 13240	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11		1p1e2 12028	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	preq2i 4670	. . . . 5 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
13	10, 12	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14		df-2 11966	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	14	oveq2i 7266	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
16		m2detleiblem2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
17	13, 15, 16	3eqtr4ri 2777	. . 3 ⊢ 𝑁 = (1...2)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19		m2detleiblem2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		m2detleiblem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		m2detleiblem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
22	19, 20, 21	matepmcl 21519	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 5, 7, 18, 22	gsummptfzcl 19485	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {cpr 4560   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803   + caddc 10805  2c2 11958  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  Basecbs 16840   Σ_g cgsu 17068  Mndcmnd 18300  SymGrpcsymg 18889  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698   Mat cmat 21464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-efmnd 18423  df-symg 18890  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465

This theorem is referenced by:  m2detleib  21688