MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem2 22634
Description: Lemma 2 for m2detleib 22637. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 20142 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
41ringmgp 20236 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
543ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 2eluzge1 12936 . . 3 2 ∈ (ℤ‘1)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 2 ∈ (ℤ‘1))
8 1z 12647 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 fzpr 13619 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11 1p1e2 12391 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1211preq2i 4737 . . . . 5 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
1310, 12eqtri 2765 . . . 4 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14 df-2 12329 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1514oveq2i 7442 . . . 4 (1...2) = (1...(1 + 1))
16 m2detleiblem2.n . . . 4 𝑁 = {1, 2}
1713, 15, 163eqtr4ri 2776 . . 3 𝑁 = (1...2)
1817a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19 m2detleiblem2.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20 m2detleiblem2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
21 m2detleiblem2.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2219, 20, 21matepmcl 22468 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
233, 5, 7, 18, 22gsummptfzcl 19987 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cpr 4628  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156   + caddc 11158  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  Basecbs 17247   Σg cgsu 17485  Mndcmnd 18747  SymGrpcsymg 19386  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230   Mat cmat 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-efmnd 18882  df-symg 19387  df-mgp 20138  df-ring 20232  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412
This theorem is referenced by:  m2detleib  22637
  Copyright terms: Public domain W3C validator