Theorem m2detleiblem2 21777

Description: Lemma 2 for m2detleib 21780. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem2.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleiblem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 19726	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4	1	ringmgp 19789	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
5	4	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		2eluzge1 12634	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
8		1z 12350	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fzpr 13311	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11		1p1e2 12098	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	preq2i 4673	. . . . 5 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
13	10, 12	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14		df-2 12036	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	14	oveq2i 7286	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
16		m2detleiblem2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
17	13, 15, 16	3eqtr4ri 2777	. . 3 ⊢ 𝑁 = (1...2)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19		m2detleiblem2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		m2detleiblem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		m2detleiblem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
22	19, 20, 21	matepmcl 21611	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 5, 7, 18, 22	gsummptfzcl 19570	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cpr 4563   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  2c2 12028  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  Basecbs 16912   Σ_g cgsu 17151  Mndcmnd 18385  SymGrpcsymg 18974  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783   Mat cmat 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-efmnd 18508  df-symg 18975  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555

This theorem is referenced by:  m2detleib  21780