MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem2 22111
Description: Lemma 2 for m2detleib 22114. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem2.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2
StepHypRef Expression
1 m2detleiblem2.g . . 3 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31, 2mgpbas 19984 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
41ringmgp 20052 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
543ad2ant1 1134 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6 2eluzge1 12873 . . 3 2 ∈ (ℤ‘1)
76a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 2 ∈ (ℤ‘1))
8 1z 12587 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 fzpr 13551 . . . . . 6 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11 1p1e2 12332 . . . . . 6 (1 + 1) = 2
1211preq2i 4739 . . . . 5 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
1310, 12eqtri 2761 . . . 4 (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14 df-2 12270 . . . . 5 2 = (1 + 1)
1514oveq2i 7414 . . . 4 (1...2) = (1...(1 + 1))
16 m2detleiblem2.n . . . 4 𝑁 = {1, 2}
1713, 15, 163eqtr4ri 2772 . . 3 𝑁 = (1...2)
1817a1i 11 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19 m2detleiblem2.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20 m2detleiblem2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
21 m2detleiblem2.p . . 3 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
2219, 20, 21matepmcl 21945 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → ∀𝑛𝑁 ((𝑄𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
233, 5, 7, 18, 22gsummptfzcl 19828 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃𝑀𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛𝑁 ↦ ((𝑄𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {cpr 4628  cmpt 5229  cfv 6539  (class class class)co 7403  1c1 11106   + caddc 11108  2c2 12262  cz 12553  cuz 12817  ...cfz 13479  Basecbs 17139   Σg cgsu 17381  Mndcmnd 18620  SymGrpcsymg 19226  mulGrpcmgp 19978  Ringcrg 20046   Mat cmat 21888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-fz 13480  df-seq 13962  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-hom 17216  df-cco 17217  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-prds 17388  df-pws 17390  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-efmnd 18745  df-symg 19227  df-mgp 19979  df-ring 20048  df-sra 20772  df-rgmod 20773  df-dsmm 21270  df-frlm 21285  df-mat 21889
This theorem is referenced by:  m2detleib  22114
  Copyright terms: Public domain W3C validator