Theorem m2detleiblem2 22543

Description: Lemma 2 for m2detleib 22546. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem2.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleiblem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20079	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4	1	ringmgp 20178	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
5	4	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		2eluzge1 12903	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
8		1z 12617	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fzpr 13583	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11		1p1e2 12362	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	preq2i 4738	. . . . 5 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
13	10, 12	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14		df-2 12300	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	14	oveq2i 7424	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
16		m2detleiblem2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
17	13, 15, 16	3eqtr4ri 2764	. . 3 ⊢ 𝑁 = (1...2)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19		m2detleiblem2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		m2detleiblem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		m2detleiblem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
22	19, 20, 21	matepmcl 22377	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 5, 7, 18, 22	gsummptfzcl 19923	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cpr 4627   ↦ cmpt 5227  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  1c1 11134   + caddc 11136  2c2 12292  ℤcz 12583  ℤ_≥cuz 12847  ...cfz 13511  Basecbs 17174   Σ_g cgsu 17416  Mndcmnd 18688  SymGrpcsymg 19320  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172   Mat cmat 22320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-efmnd 18820  df-symg 19321  df-mgp 20074  df-ring 20174  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-mat 22321

This theorem is referenced by:  m2detleib  22546