Theorem m2detleiblem2 22548

Description: Lemma 2 for m2detleib 22551. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem2.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleiblem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20065	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4	1	ringmgp 20159	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		2eluzge1 12817	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
8		1z 12539	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fzpr 13516	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11		1p1e2 12282	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	preq2i 4697	. . . . 5 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
13	10, 12	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14		df-2 12225	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	14	oveq2i 7380	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
16		m2detleiblem2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
17	13, 15, 16	3eqtr4ri 2763	. . 3 ⊢ 𝑁 = (1...2)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19		m2detleiblem2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		m2detleiblem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		m2detleiblem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
22	19, 20, 21	matepmcl 22382	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 5, 7, 18, 22	gsummptfzcl 19883	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4587   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  2c2 12217  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  Basecbs 17155   Σ_g cgsu 17379  Mndcmnd 18643  SymGrpcsymg 19283  mulGrpcmgp 20060  Ringcrg 20153   Mat cmat 22327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-prds 17386  df-pws 17388  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-efmnd 18778  df-symg 19284  df-mgp 20061  df-ring 20155  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-dsmm 21674  df-frlm 21689  df-mat 22328

This theorem is referenced by:  m2detleib  22551