Theorem m2detleiblem2 22564

Description: Lemma 2 for m2detleib 22567. (Contributed by AV, 16-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem2.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
m2detleiblem2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
m2detleiblem2.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑄,𝑛   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem m2detleiblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m2detleiblem2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	mgpbas 20103	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
4	1	ringmgp 20197	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
5	4	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ Mnd)
6		2eluzge1 12908	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 2 ∈ (ℤ≥‘1))
8		1z 12620	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		fzpr 13594	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
11		1p1e2 12363	. . . . . 6 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	preq2i 4713	. . . . 5 ⊢ {1, (1 + 1)} = {1, 2}
13	10, 12	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (1...(1 + 1)) = {1, 2}
14		df-2 12301	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
15	14	oveq2i 7414	. . . 4 ⊢ (1...2) = (1...(1 + 1))
16		m2detleiblem2.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
17	13, 15, 16	3eqtr4ri 2769	. . 3 ⊢ 𝑁 = (1...2)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (1...2))
19		m2detleiblem2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
20		m2detleiblem2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
21		m2detleiblem2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
22	19, 20, 21	matepmcl 22398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ 𝑁 ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 5, 7, 18, 22	gsummptfzcl 19948	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃 ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐺 Σg (𝑛 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑄‘𝑛)𝑀𝑛))) ∈ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cpr 4603   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128   + caddc 11130  2c2 12293  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13522  Basecbs 17226   Σ_g cgsu 17452  Mndcmnd 18710  SymGrpcsymg 19348  mulGrpcmgp 20098  Ringcrg 20191   Mat cmat 22343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-ot 4610  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-sup 9452  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-fz 13523  df-seq 14018  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-efmnd 18845  df-symg 19349  df-mgp 20099  df-ring 20193  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-dsmm 21690  df-frlm 21705  df-mat 22344

This theorem is referenced by:  m2detleib  22567