Theorem m2detleiblem6 22941

Description: Lemma 6 for m2detleib 22946. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11303	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
2		2nn 12416	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		prex 5395	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
4	3	prid2 4723	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
8	5, 6, 7	symg2bas 19607	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
9	4, 8	eleqtrrid 2867	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
10	1, 2, 9	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
11		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
12	10, 11	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄 ∈ 𝑃)
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 22939	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
17	12, 16	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
18		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
19	18	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 19737	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
23	19, 22	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = -1)
24	23	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = ( -1(.g‘𝑅) 1 ))
25		ringgrp 20464	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	26, 15	ringidcl 20494	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
30	26, 28, 29	mulgm1 19304	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → ( -1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
31	25, 27, 30	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( -1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
32	31	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ( -1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {cpr 4585  ⟨cop 4589  ran crn 5651  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   -cneg 11542  ℕcn 12335  2c2 12397  Basecbs 17387  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  ._gcmg 19277  SymGrpcsymg 19583  pmTrspcpmtr 19655  pmSgncpsgn 19703  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  ℤRHomczrh 21805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-word 14659  df-lsw 14708  df-concat 14716  df-s1 14743  df-substr 14789  df-pfx 14821  df-splice 14899  df-reverse 14908  df-s2 14999  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-efmnd 19065  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-oppg 19560  df-symg 19584  df-pmtr 19656  df-psgn 19705  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809

This theorem is used by:  m2detleib  22946