MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  m2detleiblem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m2detleiblem6 21230
Description: Lemma 6 for m2detleib 21235. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
m2detleiblem1.n 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o 1 = (1r𝑅)
m2detleiblem1.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
m2detleiblem6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (𝐼1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem6
StepHypRef Expression
1 1ex 10631 . . . . 5 1 ∈ V
2 2nn 11705 . . . . 5 2 ∈ ℕ
3 prex 5321 . . . . . . 7 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
43prid2 4684 . . . . . 6 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5 eqid 2824 . . . . . . 7 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6 m2detleiblem1.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7 m2detleiblem1.n . . . . . . 7 𝑁 = {1, 2}
85, 6, 7symg2bas 18519 . . . . . 6 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
94, 8eleqtrrid 2923 . . . . 5 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
101, 2, 9mp2an 691 . . . 4 {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
11 eleq1 2903 . . . 4 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
1210, 11mpbiri 261 . . 3 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄𝑃)
13 m2detleiblem1.y . . . 4 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14 m2detleiblem1.s . . . 4 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15 m2detleiblem1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
167, 6, 13, 14, 15m2detleiblem1 21228 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄𝑃) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
1712, 16sylan2 595 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ))
18 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
1918adantl 485 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
20 eqid 2824 . . . . 5 ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21 eqid 2824 . . . . 5 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
227, 5, 6, 20, 21psgnprfval2 18649 . . . 4 ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
2319, 22syl6eq 2875 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = -1)
2423oveq1d 7161 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g𝑅) 1 ) = (-1(.g𝑅) 1 ))
25 ringgrp 19300 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2726, 15ringidcl 19316 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28 eqid 2824 . . . . 5 (.g𝑅) = (.g𝑅)
29 m2detleiblem1.i . . . . 5 𝐼 = (invg𝑅)
3026, 28, 29mulgm1 18246 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (-1(.g𝑅) 1 ) = (𝐼1 ))
3125, 27, 30syl2anc 587 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g𝑅) 1 ) = (𝐼1 ))
3231adantr 484 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (-1(.g𝑅) 1 ) = (𝐼1 ))
3317, 24, 323eqtrd 2863 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆𝑄)) = (𝐼1 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  {cpr 4552  cop 4556  ran crn 5544  cfv 6344  (class class class)co 7146  1c1 10532  -cneg 10865  cn 11632  2c2 11687  Basecbs 16481  Grpcgrp 18101  invgcminusg 18102  .gcmg 18222  SymGrpcsymg 18493  pmTrspcpmtr 18567  pmSgncpsgn 18615  1rcur 19249  Ringcrg 19295  ℤRHomczrh 20642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-word 13865  df-lsw 13913  df-concat 13921  df-s1 13948  df-substr 14001  df-pfx 14031  df-splice 14110  df-reverse 14119  df-s2 14208  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-mhm 17954  df-submnd 17955  df-efmnd 18032  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-mulg 18223  df-subg 18274  df-ghm 18354  df-gim 18397  df-oppg 18472  df-symg 18494  df-pmtr 18568  df-psgn 18617  df-cmn 18906  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-rnghom 19465  df-subrg 19528  df-cnfld 20541  df-zring 20613  df-zrh 20646
This theorem is referenced by:  m2detleib  21235
  Copyright terms: Public domain W3C validator