Theorem m2detleiblem6 22128

Description: Lemma 6 for m2detleib 22133. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11210	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
2		2nn 12285	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		prex 5433	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
4	3	prid2 4768	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
8	5, 6, 7	symg2bas 19260	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
9	4, 8	eleqtrrid 2841	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
10	1, 2, 9	mp2an 691	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
11		eleq1 2822	. . . 4 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
12	10, 11	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄 ∈ 𝑃)
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 22126	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
17	12, 16	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
18		fveq2 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
19	18	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
20		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 19391	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
23	19, 22	eqtrdi 2789	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = -1)
24	23	oveq1d 7424	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (-1(.g‘𝑅) 1 ))
25		ringgrp 20061	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	26, 15	ringidcl 20083	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
30	26, 28, 29	mulgm1 18974	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
31	25, 27, 30	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
32	31	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {cpr 4631  ⟨cop 4635  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  -cneg 11445  ℕcn 12212  2c2 12267  Basecbs 17144  Grpcgrp 18819  inv_gcminusg 18820  ._gcmg 18950  SymGrpcsymg 19234  pmTrspcpmtr 19309  pmSgncpsgn 19357  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  ℤRHomczrh 21049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053

This theorem is referenced by:  m2detleib  22133