Theorem m2detleiblem6 22574

Description: Lemma 6 for m2detleib 22579. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11132	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
2		2nn 12222	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		prex 5383	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
4	3	prid2 4721	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
8	5, 6, 7	symg2bas 19326	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
9	4, 8	eleqtrrid 2844	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
10	1, 2, 9	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
11		eleq1 2825	. . . 4 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
12	10, 11	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄 ∈ 𝑃)
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 22572	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
17	12, 16	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
18		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
19	18	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 19456	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
23	19, 22	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = -1)
24	23	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (-1(.g‘𝑅) 1 ))
25		ringgrp 20177	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	26, 15	ringidcl 20204	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
30	26, 28, 29	mulgm1 19028	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
31	25, 27, 30	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
32	31	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  {cpr 4583  ⟨cop 4587  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1c1 11031  -cneg 11369  ℕcn 12149  2c2 12204  Basecbs 17140  Grpcgrp 18867  inv_gcminusg 18868  ._gcmg 19001  SymGrpcsymg 19302  pmTrspcpmtr 19374  pmSgncpsgn 19422  1_rcur 20120  Ringcrg 20172  ℤRHomczrh 21458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-concat 14498  df-s1 14524  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-splice 14677  df-reverse 14686  df-s2 14775  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-efmnd 18798  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-gim 19192  df-oppg 19279  df-symg 19303  df-pmtr 19375  df-psgn 19424  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462

This theorem is referenced by:  m2detleib  22579