Theorem m2detleiblem6 22794

Description: Lemma 6 for m2detleib 22799. (Contributed by AV, 20-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
m2detleiblem1.n	⊢ 𝑁 = {1, 2}
m2detleiblem1.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
m2detleiblem1.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
m2detleiblem1.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
m2detleiblem1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
m2detleiblem1.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
m2detleiblem6	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

Proof of Theorem m2detleiblem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 11209	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
2		2nn 12320	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		prex 5408	. . . . . . 7 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ V
4	3	prid2 4728	. . . . . 6 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}}
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
6		m2detleiblem1.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
7		m2detleiblem1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = {1, 2}
8	5, 6, 7	symg2bas 19469	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → 𝑃 = {{⟨1, 1⟩, ⟨2, 2⟩}, {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}})
9	4, 8	eleqtrrid 2869	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ ℕ) → {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
10	1, 2, 9	mp2an 704	. . . 4 ⊢ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
11		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃))
12	10, 11	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → 𝑄 ∈ 𝑃)
13		m2detleiblem1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
14		m2detleiblem1.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
15		m2detleiblem1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
16	7, 6, 13, 14, 15	m2detleiblem1 22792	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 ∈ 𝑃) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
17	12, 16	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ))
18		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩} → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
19	18	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}))
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ran (pmTrsp‘𝑁) = ran (pmTrsp‘𝑁)
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
22	7, 5, 6, 20, 21	psgnprfval2 19599	. . . 4 ⊢ ((pmSgn‘𝑁)‘{⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) = -1
23	19, 22	eqtrdi 2813	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → ((pmSgn‘𝑁)‘𝑄) = -1)
24	23	oveq1d 7427	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (((pmSgn‘𝑁)‘𝑄)(.g‘𝑅) 1 ) = (-1(.g‘𝑅) 1 ))
25		ringgrp 20326	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
26		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
27	26, 15	ringidcl 20355	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
28		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
29		m2detleiblem1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
30	26, 28, 29	mulgm1 19166	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ (Base‘𝑅)) → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
31	25, 27, 30	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
32	31	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (-1(.g‘𝑅) 1 ) = (𝐼‘ 1 ))
33	17, 24, 32	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑄 = {⟨1, 2⟩, ⟨2, 1⟩}) → (𝑌‘(𝑆‘𝑄)) = (𝐼‘ 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {cpr 4590  ⟨cop 4594  ran crn 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  1c1 11107  -cneg 11448  ℕcn 12239  2c2 12301  Basecbs 17275  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  ._gcmg 19139  SymGrpcsymg 19445  pmTrspcpmtr 19517  pmSgncpsgn 19565  1_rcur 20269  Ringcrg 20321  ℤRHomczrh 21660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-er 8692  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9894  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-word 14558  df-lsw 14607  df-concat 14615  df-s1 14641  df-substr 14686  df-pfx 14716  df-splice 14794  df-reverse 14803  df-s2 14892  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-efmnd 18934  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-gim 19335  df-oppg 19422  df-symg 19446  df-pmtr 19518  df-psgn 19567  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664

This theorem is used by:  m2detleib  22799