Theorem matplusg2 22343

Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matplusg2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusg2.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐴)
matplusg2.q	⊢ + = (+g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matplusg2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))

Proof of Theorem matplusg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		matplusg2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		matplusg2.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	matrcl 22328	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
6	1, 5	matplusg 22330	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘𝐴))
7		matplusg2.p	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝐴)
8	6, 7	eqtr4di 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ✚ )
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ✚ )
10	9	oveqd 7369	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ✚ 𝑌))
11		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
12	4	simprd 495	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ V)
13	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14		xpfi 9211	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
15	13, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
17	1, 5	matbas 22329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
18	4, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
19	18, 2	eqtr4di 2786	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
20	16, 19	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
22	21, 19	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
23		matplusg2.q	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
24		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
25	5, 11, 12, 15, 20, 22, 23, 24	frlmplusgval 21703	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))
26	10, 25	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ✚ 𝑌) = (𝑋 ∘f + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   × cxp 5617  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614  Fincfn 8875  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163   freeLMod cfrlm 21685   Mat cmat 22323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-prds 17353  df-pws 17355  df-sra 21109  df-rgmod 21110  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-mat 22324

This theorem is referenced by:  matplusgcell  22349  matring  22359  mat2pmatghm  22646  pm2mpghm  22732