MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matplusg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matplusg2 22347
Description: Addition in the matrix ring is cell-wise. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matplusg2.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matplusg2.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
matplusg2.p = (+g𝐴)
matplusg2.q + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
matplusg2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋f + 𝑌))

Proof of Theorem matplusg2
StepHypRef Expression
1 matplusg2.a . . . . . 6 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 matplusg2.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
31, 2matrcl 22330 . . . . 5 (𝑋𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
43adantr 479 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
5 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
61, 5matplusg 22332 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g𝐴))
7 matplusg2.p . . . . 5 = (+g𝐴)
86, 7eqtr4di 2783 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = )
94, 8syl 17 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = )
109oveqd 7433 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋 𝑌))
11 eqid 2725 . . 3 (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
124simprd 494 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ V)
134simpld 493 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑁 ∈ Fin)
14 xpfi 9341 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
1513, 13, 14syl2anc 582 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁 × 𝑁) ∈ Fin)
16 simpl 481 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
171, 5matbas 22331 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
184, 17syl 17 . . . . 5 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
1918, 2eqtr4di 2783 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = 𝐵)
2016, 19eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
21 simpr 483 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
2221, 19eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
23 matplusg2.q . . 3 + = (+g𝑅)
24 eqid 2725 . . 3 (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))
255, 11, 12, 15, 20, 22, 23, 24frlmplusgval 21702 . 2 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑌) = (𝑋f + 𝑌))
2610, 25eqtr3d 2767 1 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋f + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463   × cxp 5670  cfv 6543  (class class class)co 7416  f cof 7680  Fincfn 8962  Basecbs 17179  +gcplusg 17232   freeLMod cfrlm 21684   Mat cmat 22325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428  df-pws 17430  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-mat 22326
This theorem is referenced by:  matplusgcell  22353  matring  22363  mat2pmatghm  22650  pm2mpghm  22736
  Copyright terms: Public domain W3C validator