Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  matsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matsca 21100
 Description: The matrix ring has the same scalars as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
matbas.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
Assertion
Ref Expression
matsca ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem matsca
StepHypRef Expression
1 scaid 16676 . . 3 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2 3re 11739 . . . . 5 3 ∈ ℝ
3 3lt5 11837 . . . . 5 3 < 5
42, 3gtneii 10775 . . . 4 5 ≠ 3
5 scandx 16675 . . . . 5 (Scalar‘ndx) = 5
6 mulrndx 16658 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
75, 6neeq12i 3015 . . . 4 ((Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 5 ≠ 3)
84, 7mpbir 234 . . 3 (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
91, 8setsnid 16582 . 2 (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
10 matbas.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11 matbas.g . . . 4 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
12 eqid 2759 . . . 4 (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
1310, 11, 12matval 21096 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
1413fveq2d 6655 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
159, 14eqtr4id 2813 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ⟨cop 4521  ⟨cotp 4523   × cxp 5515  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Fincfn 8520  3c3 11715  5c5 11717  ndxcnx 16523   sSet csts 16524  .rcmulr 16609  Scalarcsca 16611   freeLMod cfrlm 20496   maMul cmmul 21070   Mat cmat 21092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-ot 4524  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-sets 16533  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-mat 21093 This theorem is referenced by:  matsca2  21105  matlmod  21114  matdim  31204
 Copyright terms: Public domain W3C validator