Theorem matsca 21100

Description: The matrix ring has the same scalars as its underlying linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))

Assertion

Ref	Expression
matsca	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem matsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 16676	. . 3 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		3re 11739	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
3		3lt5 11837	. . . . 5 ⊢ 3 < 5
4	2, 3	gtneii 10775	. . . 4 ⊢ 5 ≠ 3
5		scandx 16675	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		mulrndx 16658	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
7	5, 6	neeq12i 3015	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ↔ 5 ≠ 3)
8	4, 7	mpbir 234	. . 3 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
9	1, 8	setsnid 16582	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
10		matbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		matbas.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
12		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩) = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)
13	10, 11, 12	matval 21096	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝐴 = (𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩))
14	13	fveq2d 6655	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(.r‘ndx), (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, 𝑁⟩)⟩)))
15	9, 14	eqtr4id 2813	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝐺) = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ⟨cop 4521  ⟨cotp 4523   × cxp 5515  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Fincfn 8520  3c3 11715  5c5 11717  ndxcnx 16523   sSet csts 16524  ._rcmulr 16609  Scalarcsca 16611   freeLMod cfrlm 20496   maMul cmmul 21070   Mat cmat 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-ot 4524  df-uni 4792  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-sets 16533  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-mat 21093

This theorem is referenced by:  matsca2  21105  matlmod  21114  matdim  31204