Theorem matlmod 20557

Description: The matrix ring is a linear structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
matlmod.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
matlmod	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)

Proof of Theorem matlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqxpexg 7195	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑁 × 𝑁) ∈ V)
2		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) = (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))
3	2	frlmlmod 20415	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁 × 𝑁) ∈ V) → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod)
4	3	ancoms 451	. . 3 ⊢ (((𝑁 × 𝑁) ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 576	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod)
6		eqidd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
7		matlmod.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7, 2	matbas 20541	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Base‘𝐴))
9	7, 2	matplusg 20542	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (+g‘𝐴))
10	9	oveqdr 6904	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
11		eqidd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
12	7, 2	matsca 20543	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = (Scalar‘𝐴))
13		eqid 2797	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))
14	7, 2	matvsca 20544	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
15	14	oveqdr 6904	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁))))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦))
16	6, 8, 10, 11, 12, 13, 15	lmodpropd 19241	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ((𝑅 freeLMod (𝑁 × 𝑁)) ∈ LMod ↔ 𝐴 ∈ LMod))
17	5, 16	mpbid 224	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3383   × cxp 5308  ‘cfv 6099  (class class class)co 6876  Fincfn 8193  Basecbs 16181  +_gcplusg 16264  Scalarcsca 16267   ·_𝑠 cvsca 16268  Ringcrg 18860  LModclmod 19178   freeLMod cfrlm 20412   Mat cmat 20535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-ot 4375  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-prds 16420  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-sbg 17740  df-subg 17901  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-subrg 19093  df-lmod 19180  df-lss 19248  df-sra 19492  df-rgmod 19493  df-dsmm 20398  df-frlm 20413  df-mat 20536

This theorem is referenced by:  matgrp  20558  matvscl  20559  matassa  20572  mat0dimscm  20598  scmatid  20643  scmataddcl  20645  scmatsubcl  20646  smatvscl  20653  scmatghm  20662  scmatmhm  20663  pmatlmod  20824  pm2mp  20955  chpmat1dlem  20965  chpmat1d  20966  cpmidpmatlem3  21002  cpmadugsumlemB  21004  cpmadugsumlemC  21005  chcoeffeqlem  21015