Theorem mulgp1 18252

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnndir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnndir.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgp1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Proof of Theorem mulgp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 12004	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		mulgnndir.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgnndir.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		mulgnndir.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgdir 18251	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
6	1, 5	mp3anr2 1452	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
7	6	3impb 1109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)))
8	2, 3	mulg1 18227	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1 · 𝑋) = 𝑋)
9	8	3ad2ant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
10	9	oveq2d 7164	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋) + (1 · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))
11	7, 10	eqtrd 2854	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 1) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋) + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  1c1 10530   + caddc 10532  ℤcz 11973  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-seq 13362  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mulg 18217

This theorem is referenced by:  mulgass2  19343