Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nelsubgsubcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nelsubgsubcld 41379
Description: A non-subgroup-member minus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
nelsubginvcld.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
nelsubginvcld.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y (𝜑𝑌𝑆)
nelsubgsubcld.p = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nelsubgsubcld (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐵𝑆))

Proof of Theorem nelsubgsubcld
StepHypRef Expression
1 nelsubginvcld.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵𝑆))
21eldifad 3961 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
3 nelsubginvcld.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 nelsubginvcld.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
54subgss 19044 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆𝐵)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆𝐵)
7 nelsubgcld.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑆)
86, 7sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 eqid 2731 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
10 eqid 2731 . . . 4 (invg𝐺) = (invg𝐺)
11 nelsubgsubcld.p . . . 4 = (-g𝐺)
124, 9, 10, 11grpsubval 18907 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
132, 8, 12syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
14 nelsubginvcld.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1510subginvcl 19052 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
163, 7, 15syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
1714, 3, 1, 4, 16, 9nelsubgcld 41378 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐵𝑆))
1813, 17eqeltrd 2832 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐵𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  cdif 3946  wss 3949  cfv 6544  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  -gcsg 18858  SubGrpcsubg 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator