Theorem nelsubgsubcld 42606

Description: A non-subgroup-member minus a subgroup member is a non-subgroup-member. (Contributed by Steven Nguyen, 15-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubginvcld.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
nelsubginvcld.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
nelsubginvcld.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
nelsubginvcld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
nelsubgcld.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
nelsubgsubcld.p	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nelsubgsubcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Proof of Theorem nelsubgsubcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubginvcld.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
2	1	eldifad 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		nelsubginvcld.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		nelsubginvcld.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	4	subgss 19050	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6	3, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
7		nelsubgcld.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
8	6, 7	sseldd 3932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
11		nelsubgsubcld.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
12	4, 9, 10, 11	grpsubval 18908	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
13	2, 8, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
14		nelsubginvcld.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
15	10	subginvcl 19058	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
16	3, 7, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ 𝑆)
17	14, 3, 1, 4, 16, 9	nelsubgcld 42605	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))
18	13, 17	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐵 ∖ 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857  -_gcsg 18858  SubGrpcsubg 19043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-sets 17085  df-slot 17103  df-ndx 17115  df-base 17131  df-ress 17152  df-plusg 17184  df-0g 17355  df-mgm 18558  df-sgrp 18637  df-mnd 18653  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19046

This theorem is referenced by: (None)