MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1c 26744
Description: Lemma 3 for 2lgslem1 26745. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1c ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16551 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 nnnn0 12421 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
3 oddnn02np1 16231 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ))
5 iftrue 4493 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐‘› โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘› / 2))
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘› / 2))
7 2nn 12227 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
8 nn0ledivnn 13029 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› / 2) โ‰ค ๐‘›)
97, 8mpan2 690 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› / 2) โ‰ค ๐‘›)
109adantl 483 . . . . . . . 8 ((2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› / 2) โ‰ค ๐‘›)
116, 10eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
12 iffalse 4496 . . . . . . . . 9 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘› โˆ’ 1) / 2))
1312adantr 482 . . . . . . . 8 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘› โˆ’ 1) / 2))
14 nn0re 12423 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
15 peano2rem 11469 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1615rehalfcld 12401 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
1814rehalfcld 12401 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› / 2) โˆˆ โ„)
1914lem1d 12089 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘›)
2014, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
21 2re 12228 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
22 2pos 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
25 lediv1 12021 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘› โ†” ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐‘› / 2)))
2620, 14, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘› โ†” ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐‘› / 2)))
2719, 26mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐‘› / 2))
2817, 18, 14, 27, 9letrd 11313 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค ๐‘›)
2928adantl 483 . . . . . . . 8 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค ๐‘›)
3013, 29eqbrtrd 5128 . . . . . . 7 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
3111, 30pm2.61ian 811 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
3231ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
33 nn0z 12525 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3433adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
35 eqcom 2744 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†” ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
3635biimpi 215 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
37 flodddiv4 16296 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)))
3834, 36, 37syl2an 597 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)))
39 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1))
4039eqcoms 2745 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1))
4140adantl 483 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1))
42 2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
4543, 44nn0mulcld 12479 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
4645nn0cnd 12476 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
47 pncan1 11580 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
4948ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5041, 49eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5150oveq1d 7373 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘›) / 2))
52 nn0cn 12424 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53 2cnd 12232 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
54 2ne0 12258 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
5652, 53, 55divcan3d 11937 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5756ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5851, 57eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘›)
5932, 38, 583brtr4d 5138 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
6059rexlimdva2 3155 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
614, 60sylbid 239 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
6261imp 408 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074  ifcif 4487   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  โ„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   ยท cmul 11057   < clt 11190   โ‰ค cle 11191   โˆ’ cmin 11386   / cdiv 11813  โ„•cn 12154  2c2 12209  4c4 12211  โ„•0cn0 12414  โ„คcz 12500  โŒŠcfl 13696   โˆฅ cdvds 16137  โ„™cprime 16548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fl 13698  df-dvds 16138  df-prm 16549
This theorem is referenced by:  2lgslem1  26745
  Copyright terms: Public domain W3C validator