Theorem 2lgslem1c 25686

Description: Lemma 3 for 2lgslem1 25687. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1c	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15872	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 11713	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3		oddnn02np1 15555	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5		iftrue 4350	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
6	5	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7		2nn 11511	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nn0ledivnn 12317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
9	7, 8	mpan2 679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
10	9	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
11	6, 10	eqbrtrd 4947	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12		iffalse 4353	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
13	12	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14		nn0re 11715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
15		peano2rem 10752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 11692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
18	14	rehalfcld 11692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
19	14	lem1d 11372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
20	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21		2re 11512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 11548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		lediv1 11304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
26	20, 14, 24, 25	syl3anc 1352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
27	19, 26	mpbid 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
28	17, 18, 14, 27, 9	letrd 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
29	28	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
30	13, 29	eqbrtrd 4947	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
31	11, 30	pm2.61ian 800	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
32	31	ad2antlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33		nn0z 11816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
34	33	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35		eqcom 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
36	35	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37		flodddiv4 15622	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
38	34, 36, 37	syl2an 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39		oveq1 6981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	eqcoms 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
41	40	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42		2nn0 11724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	43, 44	nn0mulcld 11770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
46	45	nn0cnd 11767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47		pncan1 10863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
49	48	ad2antlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	41, 49	eqtrd 2807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 6989	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		nn0cn 11716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
53		2cnd 11516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54		2ne0 11549	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
56	52, 53, 55	divcan3d 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	56	ad2antlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
58	51, 57	eqtrd 2807	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
59	32, 38, 58	3brtr4d 4957	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
60	59	rexlimdva2 3225	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
61	4, 60	sylbid 232	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
62	61	imp 398	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∃wrex 3082  ifcif 4344   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472   ≤ cle 10473   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕcn 11437  2c2 11493  4c4 11495  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  ⌊cfl 12973   ∥ cdvds 15465  ℙcprime 15869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fl 12975  df-dvds 15466  df-prm 15870

This theorem is referenced by:  2lgslem1  25687