Theorem 2lgslem1c 27455

Description: Lemma 3 for 2lgslem1 27456. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1c	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16721	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12560	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3		oddnn02np1 16396	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5		iftrue 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7		2nn 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nn0ledivnn 13170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
9	7, 8	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
11	6, 10	eqbrtrd 5188	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12		iffalse 4557	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14		nn0re 12562	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
15		peano2rem 11603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
18	14	rehalfcld 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
19	14	lem1d 12228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
20	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21		2re 12367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12396	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		lediv1 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
26	20, 14, 24, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
27	19, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
28	17, 18, 14, 27, 9	letrd 11447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
30	13, 29	eqbrtrd 5188	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
31	11, 30	pm2.61ian 811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
32	31	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33		nn0z 12664	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35		eqcom 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
36	35	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37		flodddiv4 16461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
38	34, 36, 37	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	eqcoms 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42		2nn0 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	43, 44	nn0mulcld 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
46	45	nn0cnd 12615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47		pncan1 11714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
49	48	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	41, 49	eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		nn0cn 12563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
53		2cnd 12371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54		2ne0 12397	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
56	52, 53, 55	divcan3d 12075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	56	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
58	51, 57	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
59	32, 38, 58	3brtr4d 5198	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
60	59	rexlimdva2 3163	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
61	4, 60	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
62	61	imp 406	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  4c4 12350  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ⌊cfl 13841   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-dvds 16303  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27456