MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1c 26305
Description: Lemma 3 for 2lgslem1 26306. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1c ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16263 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 12126 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3 oddnn02np1 15941 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5 iftrue 4461 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7 2nn 11932 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
8 nn0ledivnn 12728 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
97, 8mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
109adantl 485 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
116, 10eqbrtrd 5091 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12 iffalse 4464 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
1312adantr 484 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14 nn0re 12128 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
15 peano2rem 11174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
1615rehalfcld 12106 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1814rehalfcld 12106 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
1914lem1d 11794 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
2014, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21 2re 11933 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
22 2pos 11962 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 lediv1 11726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2620, 14, 24, 25syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2719, 26mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
2817, 18, 14, 27, 9letrd 11018 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
2928adantl 485 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
3013, 29eqbrtrd 5091 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3111, 30pm2.61ian 812 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3231ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33 nn0z 12229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3433adantl 485 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 eqcom 2746 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
3635biimpi 219 . . . . . 6 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37 flodddiv4 16006 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
3834, 36, 37syl2an 599 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39 oveq1 7241 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4039eqcoms 2747 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4140adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42 2nn0 12136 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0mulcld 12184 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 12181 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47 pncan1 11285 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4948ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5041, 49eqtrd 2779 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 7249 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 nn0cn 12129 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
53 2cnd 11937 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54 2ne0 11963 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
5652, 53, 55divcan3d 11642 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5756ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5851, 57eqtrd 2779 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
5932, 38, 583brtr4d 5101 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
6059rexlimdva2 3216 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
614, 60sylbid 243 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
6261imp 410 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2943  wrex 3065  ifcif 4455   class class class wbr 5069  cfv 6400  (class class class)co 7234  cc 10756  cr 10757  0cc0 10758  1c1 10759   + caddc 10761   · cmul 10763   < clt 10896  cle 10897  cmin 11091   / cdiv 11518  cn 11859  2c2 11914  4c4 11916  0cn0 12119  cz 12205  cfl 13394  cdvds 15847  cprime 16260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10814  ax-resscn 10815  ax-1cn 10816  ax-icn 10817  ax-addcl 10818  ax-addrcl 10819  ax-mulcl 10820  ax-mulrcl 10821  ax-mulcom 10822  ax-addass 10823  ax-mulass 10824  ax-distr 10825  ax-i2m1 10826  ax-1ne0 10827  ax-1rid 10828  ax-rnegex 10829  ax-rrecex 10830  ax-cnre 10831  ax-pre-lttri 10832  ax-pre-lttrn 10833  ax-pre-ltadd 10834  ax-pre-mulgt0 10835  ax-pre-sup 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-om 7666  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-er 8414  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-sup 9087  df-inf 9088  df-pnf 10898  df-mnf 10899  df-xr 10900  df-ltxr 10901  df-le 10902  df-sub 11093  df-neg 11094  df-div 11519  df-nn 11860  df-2 11922  df-3 11923  df-4 11924  df-n0 12120  df-z 12206  df-uz 12468  df-rp 12616  df-fl 13396  df-dvds 15848  df-prm 16261
This theorem is referenced by:  2lgslem1  26306
  Copyright terms: Public domain W3C validator