MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1c 27132
Description: Lemma 3 for 2lgslem1 27133. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1c ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 16615 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
2 nnnn0 12483 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
3 oddnn02np1 16295 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ))
5 iftrue 4533 . . . . . . . . 9 (2 โˆฅ ๐‘› โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘› / 2))
65adantr 479 . . . . . . . 8 ((2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘› / 2))
7 2nn 12289 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„•
8 nn0ledivnn 13091 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› / 2) โ‰ค ๐‘›)
97, 8mpan2 687 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› / 2) โ‰ค ๐‘›)
109adantl 480 . . . . . . . 8 ((2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘› / 2) โ‰ค ๐‘›)
116, 10eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
12 iffalse 4536 . . . . . . . . 9 (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘› โˆ’ 1) / 2))
1312adantr 479 . . . . . . . 8 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) = ((๐‘› โˆ’ 1) / 2))
14 nn0re 12485 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
15 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
1615rehalfcld 12463 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„)
1814rehalfcld 12463 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› / 2) โˆˆ โ„)
1914lem1d 12151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘›)
2014, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
21 2re 12290 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
22 2pos 12319 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
25 lediv1 12083 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘› โ†” ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐‘› / 2)))
2620, 14, 24, 25syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) โ‰ค ๐‘› โ†” ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐‘› / 2)))
2719, 26mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค (๐‘› / 2))
2817, 18, 14, 27, 9letrd 11375 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค ๐‘›)
2928adantl 480 . . . . . . . 8 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) / 2) โ‰ค ๐‘›)
3013, 29eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((ยฌ 2 โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
3111, 30pm2.61ian 808 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
3231ad2antlr 723 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)) โ‰ค ๐‘›)
33 nn0z 12587 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
3433adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
35 eqcom 2737 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†” ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
3635biimpi 215 . . . . . 6 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†’ ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1))
37 flodddiv4 16360 . . . . . 6 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)))
3834, 36, 37syl2an 594 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) = if(2 โˆฅ ๐‘›, (๐‘› / 2), ((๐‘› โˆ’ 1) / 2)))
39 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ = ((2 ยท ๐‘›) + 1) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1))
4039eqcoms 2738 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1))
4140adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1))
42 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„•0)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
4543, 44nn0mulcld 12541 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
4645nn0cnd 12538 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
47 pncan1 11642 . . . . . . . . . 10 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
4948ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5041, 49eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5150oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘›) / 2))
52 nn0cn 12486 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
53 2cnd 12294 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
54 2ne0 12320 . . . . . . . . 9 2 โ‰  0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
5652, 53, 55divcan3d 11999 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5756ad2antlr 723 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5851, 57eqtrd 2770 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) = ๐‘›)
5932, 38, 583brtr4d 5179 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
6059rexlimdva2 3155 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ƒ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
614, 60sylbid 239 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
6261imp 405 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ƒ) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ƒ / 4)) โ‰ค ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068  ifcif 4527   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  4c4 12273  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โŒŠcfl 13759   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-dvds 16202  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  2lgslem1  27133
  Copyright terms: Public domain W3C validator