Theorem 2lgslem1c 26896

Description: Lemma 3 for 2lgslem1 26897. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1c	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16611	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12479	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3		oddnn02np1 16291	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5		iftrue 4535	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
6	5	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7		2nn 12285	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nn0ledivnn 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
9	7, 8	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
10	9	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
11	6, 10	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12		iffalse 4538	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
13	12	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14		nn0re 12481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
15		peano2rem 11527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
18	14	rehalfcld 12459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
19	14	lem1d 12147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
20	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21		2re 12286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12315	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		lediv1 12079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
26	20, 14, 24, 25	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
27	19, 26	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
28	17, 18, 14, 27, 9	letrd 11371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
29	28	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
30	13, 29	eqbrtrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
31	11, 30	pm2.61ian 811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
32	31	ad2antlr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33		nn0z 12583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
34	33	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35		eqcom 2740	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
36	35	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37		flodddiv4 16356	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
38	34, 36, 37	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39		oveq1 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	eqcoms 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
41	40	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42		2nn0 12489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	43, 44	nn0mulcld 12537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
46	45	nn0cnd 12534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47		pncan1 11638	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
49	48	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	41, 49	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		nn0cn 12482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
53		2cnd 12290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54		2ne0 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
56	52, 53, 55	divcan3d 11995	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	56	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
58	51, 57	eqtrd 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
59	32, 38, 58	3brtr4d 5181	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
60	59	rexlimdva2 3158	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
61	4, 60	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
62	61	imp 408	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444   / cdiv 11871  ℕcn 12212  2c2 12267  4c4 12269  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ⌊cfl 13755   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-dvds 16198  df-prm 16609

This theorem is referenced by:  2lgslem1  26897