MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1c 25686
Description: Lemma 3 for 2lgslem1 25687. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1c ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15872 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11713 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3 oddnn02np1 15555 . . . 4 (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5 iftrue 4350 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
65adantr 473 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7 2nn 11511 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
8 nn0ledivnn 12317 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
97, 8mpan2 679 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
109adantl 474 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
116, 10eqbrtrd 4947 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12 iffalse 4353 . . . . . . . . 9 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
1312adantr 473 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14 nn0re 11715 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
15 peano2rem 10752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
1615rehalfcld 11692 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
1814rehalfcld 11692 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
1914lem1d 11372 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
2014, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21 2re 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
22 2pos 11548 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 2
2321, 22pm3.2i 463 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25 lediv1 11304 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2620, 14, 24, 25syl3anc 1352 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
2719, 26mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
2817, 18, 14, 27, 9letrd 10595 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
2928adantl 474 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
3013, 29eqbrtrd 4947 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑛𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3111, 30pm2.61ian 800 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
3231ad2antlr 715 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33 nn0z 11816 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
3433adantl 474 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35 eqcom 2778 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
3635biimpi 208 . . . . . 6 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37 flodddiv4 15622 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
3834, 36, 37syl2an 587 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39 oveq1 6981 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4039eqcoms 2779 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
4140adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42 2nn0 11724 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0mulcld 11770 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11767 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47 pncan1 10863 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
4948ad2antlr 715 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
5041, 49eqtrd 2807 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
5150oveq1d 6989 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52 nn0cn 11716 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
53 2cnd 11516 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54 2ne0 11549 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
5652, 53, 55divcan3d 11220 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5756ad2antlr 715 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
5851, 57eqtrd 2807 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
5932, 38, 583brtr4d 4957 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
6059rexlimdva2 3225 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
614, 60sylbid 232 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
6261imp 398 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  wrex 3082  ifcif 4344   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  cc 10331  cr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472  cle 10473  cmin 10668   / cdiv 11096  cn 11437  2c2 11493  4c4 11495  0cn0 11705  cz 11791  cfl 12973  cdvds 15465  cprime 15869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fl 12975  df-dvds 15466  df-prm 15870
This theorem is referenced by:  2lgslem1  25687
  Copyright terms: Public domain W3C validator