Theorem 2lgslem1c 27304

Description: Lemma 3 for 2lgslem1 27305. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1c	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Proof of Theorem 2lgslem1c

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 16644	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2		nnnn0 12449	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
3		oddnn02np1 16318	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃))
5		iftrue 4494	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = (𝑛 / 2))
7		2nn 12259	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nn0ledivnn 13066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
9	7, 8	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
10	9	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 / 2) ≤ 𝑛)
11	6, 10	eqbrtrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
12		iffalse 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
13	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) = ((𝑛 − 1) / 2))
14		nn0re 12451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
15		peano2rem 11489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
16	15	rehalfcld 12429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ∈ ℝ)
18	14	rehalfcld 12429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 / 2) ∈ ℝ)
19	14	lem1d 12116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ≤ 𝑛)
20	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 − 1) ∈ ℝ)
21		2re 12260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2pos 12289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 2
23	21, 22	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
25		lediv1 12048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑛 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
26	20, 14, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) ≤ 𝑛 ↔ ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2)))
27	19, 26	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ (𝑛 / 2))
28	17, 18, 14, 27, 9	letrd 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
29	28	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 − 1) / 2) ≤ 𝑛)
30	13, 29	eqbrtrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
31	11, 30	pm2.61ian 811	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
32	31	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)) ≤ 𝑛)
33		nn0z 12554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
34	33	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
35		eqcom 2736	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 ↔ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
36	35	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1))
37		flodddiv4 16385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1)) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
38	34, 36, 37	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = if(2 ∥ 𝑛, (𝑛 / 2), ((𝑛 − 1) / 2)))
39		oveq1 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
40	39	eqcoms 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (((2 · 𝑛) + 1) − 1))
42		2nn0 12459	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
44		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
45	43, 44	nn0mulcld 12508	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
46	45	nn0cnd 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
47		pncan1 11602	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
49	48	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
50	41, 49	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (𝑃 − 1) = (2 · 𝑛))
51	50	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
52		nn0cn 12452	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
53		2cnd 12264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
54		2ne0 12290	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
56	52, 53, 55	divcan3d 11963	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	56	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
58	51, 57	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → ((𝑃 − 1) / 2) = 𝑛)
59	32, 38, 58	3brtr4d 5139	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
60	59	rexlimdva2 3136	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
61	4, 60	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (¬ 2 ∥ 𝑃 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
62	61	imp 406	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (⌊‘(𝑃 / 4)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  4c4 12243  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ⌊cfl 13752   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fl 13754  df-dvds 16223  df-prm 16642

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27305