Theorem nn0sub 12455

Description: Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sub	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12414	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nn0re 12414	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		leloe 11223	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
5		elnn0 12407	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6		elnn0 12407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7		nnsub 12193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8	7	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
9		nngt0 12180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10		nncn 12157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	subid1d 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
12		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
13	11, 12	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
14	9, 13	2thd 265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
15		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < 𝑁))
16		oveq2 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 − 𝑀) = (𝑁 − 0))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
18	15, 17	bibi12d 345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) ↔ (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ)))
19	14, 18	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
20	8, 19	jaoi 858	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
21	6, 20	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
22		nn0nlt0 12431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑀 < 0)
23	22	pm2.21d 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 → (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
24		nngt0 12180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 0 < (0 − 𝑀))
25		0re 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		posdif 11634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
27	1, 25, 26	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
28	24, 27	imbitrrid 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 𝑀 < 0))
29	23, 28	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
30		breq2 5103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 < 0))
31		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 𝑀) = (0 − 𝑀))
32	31	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	bibi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) ↔ (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ)))
34	29, 33	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
35	21, 34	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
36	5, 35	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
37	36	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
38		nn0cn 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
39		nn0cn 12415	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
40		subeq0 11411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
41	38, 39, 40	syl2anr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
42		eqcom 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑁)
43	41, 42	bitr2di 288	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) = 0))
44	37, 43	orbi12d 919	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0)))
45	4, 44	bitrd 279	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0)))
46		elnn0 12407	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0))
47	45, 46	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406

This theorem is referenced by:  ltsubnn0  12456  nn0n0n1ge2  12473  elz2  12510  nn0sub2  12557  fz0fzdiffz0  13557  ubmelfzo  13650  repswcshw  14739  swrd2lsw  14879  2swrd2eqwrdeq  14880  omndmul3  20067  psrbagcon  21885  mhpmulcl  22096  coe1tmmul2  22222  aaliou3lem6  26316  basellem5  27055  crctcshwlkn0lem5  29891  eucrctshift  30322  pfxlsw2ccat  33034  wrdt2ind  33037  mplvrpmrhm  33714  lpadleft  34842  lcmineqlem1  42351  lcmineqlem2  42352  sticksstones12a  42479  jm2.27c  43316  binomcxplemnn0  44657  dvnxpaek  46253  subsubelfzo0  47639  fmtnoprmfac2lem1  47879  digexp  48920  itcovalt2lem2lem1  48986  ackval42  49009