MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sub 12522
Description: Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0sub ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0sub
StepHypRef Expression
1 nn0re 12481 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
2 nn0re 12481 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3 leloe 11300 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁)))
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁)))
5 elnn0 12474 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6 elnn0 12474 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7 nnsub 12256 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
87ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
9 nngt0 12243 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1110subid1d 11560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1311, 12eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
149, 132thd 265 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
15 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < 𝑁))
16 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑁𝑀) = (𝑁 − 0))
1716eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
1815, 17bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ) ↔ (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ)))
1914, 18imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
208, 19jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
216, 20sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
22 nn0nlt0 12498 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑀 < 0)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 → (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
24 nngt0 12243 . . . . . . . . . 10 ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 0 < (0 − 𝑀))
25 0re 11216 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
26 posdif 11707 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
271, 25, 26sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
2824, 27imbitrrid 245 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 𝑀 < 0))
2923, 28impbid 211 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
30 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁𝑀 < 0))
31 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀) = (0 − 𝑀))
3231eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
3330, 32bibi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ) ↔ (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ)))
3429, 33syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
3521, 34jaod 858 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
365, 35biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
3736imp 408 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
38 nn0cn 12482 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
39 nn0cn 12482 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
40 subeq0 11486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
4138, 39, 40syl2anr 598 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
42 eqcom 2740 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀𝑀 = 𝑁)
4341, 42bitr2di 288 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) = 0))
4437, 43orbi12d 918 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝑀) = 0)))
454, 44bitrd 279 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝑀) = 0)))
46 elnn0 12474 . 2 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝑀) = 0))
4745, 46bitr4di 289 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  cc 11108  cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  cn 12212  0cn0 12472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473
This theorem is referenced by:  ltsubnn0  12523  nn0n0n1ge2  12539  elz2  12576  nn0sub2  12623  fz0fzdiffz0  13610  ubmelfzo  13697  repswcshw  14762  swrd2lsw  14903  2swrd2eqwrdeq  14904  psrbagcon  21483  psrbagconOLD  21484  mhpmulcl  21692  coe1tmmul2  21798  aaliou3lem6  25861  basellem5  26589  crctcshwlkn0lem5  29068  eucrctshift  29496  pfxlsw2ccat  32116  wrdt2ind  32117  omndmul3  32231  lpadleft  33695  lcmineqlem1  40894  lcmineqlem2  40895  sticksstones12a  40973  jm2.27c  41746  binomcxplemnn0  43108  dvnxpaek  44658  subsubelfzo0  46034  fmtnoprmfac2lem1  46234  digexp  47293  itcovalt2lem2lem1  47359  ackval42  47382
  Copyright terms: Public domain W3C validator