Theorem nn0sub 12564

Description: Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sub	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12523	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nn0re 12523	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		leloe 11306	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
5		elnn0 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6		elnn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7		nnsub 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8	7	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
9		nngt0 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10		nncn 12251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	subid1d 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
12		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
13	11, 12	eqeltrd 2866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
14	9, 13	2thd 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
15		breq1 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < 𝑁))
16		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 − 𝑀) = (𝑁 − 0))
17	16	eleq1d 2851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
18	15, 17	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) ↔ (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ)))
19	14, 18	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
20	8, 19	jaoi 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
21	6, 20	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
22		nn0nlt0 12540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑀 < 0)
23	22	pm2.21d 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 → (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
24		nngt0 12277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 0 < (0 − 𝑀))
25		0re 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		posdif 11717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
27	1, 25, 26	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
28	24, 27	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 𝑀 < 0))
29	23, 28	impbid 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
30		breq2 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 < 0))
31		oveq1 7423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 𝑀) = (0 − 𝑀))
32	31	eleq1d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) ↔ (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ)))
34	29, 33	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
35	21, 34	jaod 873	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
36	5, 35	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
37	36	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
38		nn0cn 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
39		nn0cn 12524	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
40		subeq0 11494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
41	38, 39, 40	syl2anr 609	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
42		eqcom 2773	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑁)
43	41, 42	bitr2di 291	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) = 0))
44	37, 43	orbi12d 932	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0)))
45	4, 44	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0)))
46		elnn0 12516	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0))
47	45, 46	bitr4di 292	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5112  (class class class)co 7416  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11451  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12514

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12244  df-n0 12515

This theorem is used by:  ltsubnn0  12565  nn0n0n1ge2  12582  elz2  12619  nn0sub2  12667  fz0fzdiffz0  13676  ubmelfzo  13770  repswcshw  14860  swrd2lsw  15000  2swrd2eqwrdeq  15001  omndmul3  20214  psrbagcon  22090  mhpmulcl  22327  coe1tmmul2  22452  aaliou3lem6  26526  basellem5  27264  crctcshwlkn0lem5  30178  eucrctshift  30609  pfxlsw2ccat  33283  wrdt2ind  33286  mplvrpmrhm  33950  lpadleft  35086  lcmineqlem1  42828  lcmineqlem2  42829  sticksstones12a  42956  jm2.27c  43766  binomcxplemnn0  45091  dvnxpaek  46688  subsubelfzo0  48096  fmtnoprmfac2lem1  48350  digexp  49419  itcovalt2lem2lem1  49485  ackval42  49508