Theorem nn0sub 12554

Description: Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sub	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12513	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		nn0re 12513	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
3		leloe 11296	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁)))
5		elnn0 12506	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6		elnn0 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7		nnsub 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
8	7	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
9		nngt0 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10		nncn 12241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	subid1d 11558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
12		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
13	11, 12	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
14	9, 13	2thd 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
15		breq1 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < 𝑁))
16		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 − 𝑀) = (𝑁 − 0))
17	16	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
18	15, 17	bibi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) ↔ (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ)))
19	14, 18	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
20	8, 19	jaoi 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
21	6, 20	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
22		nn0nlt0 12530	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑀 < 0)
23	22	pm2.21d 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 → (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
24		nngt0 12267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 0 < (0 − 𝑀))
25		0re 11210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		posdif 11707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
27	1, 25, 26	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
28	24, 27	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 𝑀 < 0))
29	23, 28	impbid 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
30		breq2 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 < 0))
31		oveq1 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 − 𝑀) = (0 − 𝑀))
32	31	eleq1d 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
33	30, 32	bibi12d 348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ) ↔ (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ)))
34	29, 33	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
35	21, 34	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
36	5, 35	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ)))
37	36	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ))
38		nn0cn 12514	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
39		nn0cn 12514	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
40		subeq0 11484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
41	38, 39, 40	syl2anr 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
42		eqcom 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑁)
43	41, 42	bitr2di 291	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) = 0))
44	37, 43	orbi12d 931	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < 𝑁 ∨ 𝑀 = 𝑁) ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0)))
45	4, 44	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0)))
46		elnn0 12506	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁 − 𝑀) = 0))
47	45, 46	bitr4di 292	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑀) ∈ ℕ0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5111  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  ℝcr 11099  0cc0 11100   < clt 11243   ≤ cle 11244   − cmin 11441  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505

This theorem is referenced by:  ltsubnn0  12555  nn0n0n1ge2  12572  elz2  12609  nn0sub2  12657  fz0fzdiffz0  13665  ubmelfzo  13759  repswcshw  14849  swrd2lsw  14989  2swrd2eqwrdeq  14990  omndmul3  20204  psrbagcon  22044  mhpmulcl  22281  coe1tmmul2  22406  aaliou3lem6  26478  basellem5  27215  crctcshwlkn0lem5  30104  eucrctshift  30535  pfxlsw2ccat  33211  wrdt2ind  33214  mplvrpmrhm  33882  lpadleft  35018  lcmineqlem1  42721  lcmineqlem2  42722  sticksstones12a  42849  jm2.27c  43661  binomcxplemnn0  44986  dvnxpaek  46583  subsubelfzo0  47988  fmtnoprmfac2lem1  48242  digexp  49307  itcovalt2lem2lem1  49373  ackval42  49396