MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sub 12397
Description: Subtraction of nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0sub ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0sub
StepHypRef Expression
1 nn0re 12356 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
2 nn0re 12356 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3 leloe 11175 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁)))
41, 2, 3syl2an 597 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁)))
5 elnn0 12349 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
6 elnn0 12349 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0))
7 nnsub 12131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
87ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
9 nngt0 12118 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
10 nncn 12095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1110subid1d 11435 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) = 𝑁)
12 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1311, 12eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 0) ∈ ℕ)
149, 132thd 265 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
15 breq1 5107 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ 0 < 𝑁))
16 oveq2 7358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 0 → (𝑁𝑀) = (𝑁 − 0))
1716eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ))
1815, 17bibi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ) ↔ (0 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 0) ∈ ℕ)))
1914, 18syl5ibr 246 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
208, 19jaoi 856 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
216, 20sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
22 nn0nlt0 12373 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑀 < 0)
2322pm2.21d 121 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 → (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
24 nngt0 12118 . . . . . . . . . 10 ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 0 < (0 − 𝑀))
25 0re 11091 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
26 posdif 11582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
271, 25, 26sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ 0 < (0 − 𝑀)))
2824, 27syl5ibr 246 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((0 − 𝑀) ∈ ℕ → 𝑀 < 0))
2923, 28impbid 211 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
30 breq2 5108 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁𝑀 < 0))
31 oveq1 7357 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀) = (0 − 𝑀))
3231eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ))
3330, 32bibi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑁 = 0 → ((𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ) ↔ (𝑀 < 0 ↔ (0 − 𝑀) ∈ ℕ)))
3429, 33syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 = 0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
3521, 34jaod 858 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
365, 35biimtrid 241 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))
3736imp 408 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
38 nn0cn 12357 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
39 nn0cn 12357 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
40 subeq0 11361 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → ((𝑁𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
4138, 39, 40syl2anr 598 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑀) = 0 ↔ 𝑁 = 𝑀))
42 eqcom 2745 . . . . 5 (𝑁 = 𝑀𝑀 = 𝑁)
4341, 42bitr2di 288 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) = 0))
4437, 43orbi12d 918 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < 𝑁𝑀 = 𝑁) ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝑀) = 0)))
454, 44bitrd 279 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝑀) = 0)))
46 elnn0 12349 . 2 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ∨ (𝑁𝑀) = 0))
4745, 46bitr4di 289 1 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984  0cc0 10985   < clt 11123  cle 11124  cmin 11319  cn 12087  0cn0 12347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-n0 12348
This theorem is referenced by:  ltsubnn0  12398  nn0n0n1ge2  12414  elz2  12451  nn0sub2  12495  fz0fzdiffz0  13479  ubmelfzo  13566  repswcshw  14632  swrd2lsw  14773  2swrd2eqwrdeq  14774  psrbagcon  21256  psrbagconOLD  21257  mhpmulcl  21462  coe1tmmul2  21570  aaliou3lem6  25631  basellem5  26357  crctcshwlkn0lem5  28558  eucrctshift  28986  pfxlsw2ccat  31601  wrdt2ind  31602  omndmul3  31716  lpadleft  33070  lcmineqlem1  40382  lcmineqlem2  40383  sticksstones12a  40461  jm2.27c  41197  binomcxplemnn0  42394  dvnxpaek  43938  subsubelfzo0  45313  fmtnoprmfac2lem1  45513  digexp  46448  itcovalt2lem2lem1  46514  ackval42  46537
  Copyright terms: Public domain W3C validator