Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrclwwlkge2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrclwwlkge2 27512
 Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrclwwlkge2 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlkge2
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21clwwlkbp 27506 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
32adantl 474 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4 lencl 13692 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
543ad2ant2 1115 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
65adantl 474 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
7 hasheq0 13537 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
87bicomd 215 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (♯‘𝑃) = 0))
98necon3bid 3004 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ≠ 0))
109biimpd 221 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0))
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0)))
12113imp 1092 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
1312adantl 474 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
14 clwwlk1loop 27509 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
1514expcom 406 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
17 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1817umgredgne 26648 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
19 eqneqall 2971 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
2016, 18, 19mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
2120expcom 406 . . . . . . . . 9 ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
2215, 21syl6 35 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
2322com23 86 . . . . . . 7 ((♯‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
2423imp4c 416 . . . . . 6 ((♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
25 neqne 2968 . . . . . . 7 (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (♯‘𝑃) ≠ 1)
2625a1d 25 . . . . . 6 (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
2724, 26pm2.61i 177 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1)
286, 13, 273jca 1109 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
293, 28mpdan 675 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
30 nn0n0n1ge2 11772 . . 3 (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
3129, 30syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
3231ex 405 1 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  Vcvv 3408  ∅c0 4172  {cpr 4437   class class class wbr 4925  ‘cfv 6185  0cc0 10333  1c1 10334   ≤ cle 10473  2c2 11493  ℕ0cn0 11705  ♯chash 13503  Word cword 13670  Vtxcvtx 26499  Edgcedg 26550  UMGraphcumgr 26584  ClWWalkscclwwlk 27502 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-dju 9122  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-lsw 13724  df-edg 26551  df-umgr 26586  df-clwwlk 27503 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator