Theorem umgrclwwlkge2 28334

Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrclwwlkge2	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlkge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 28328	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
3	2	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4		lencl 14217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
7		hasheq0 14059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
8	7	bicomd 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (♯‘𝑃) = 0))
9	8	necon3bid 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ≠ 0))
10	9	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0)))
12	11	3imp 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
14		clwwlk1loop 28331	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
15	14	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
17		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
18	17	umgredgne 27496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
19		eqneqall 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
20	16, 18, 19	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
21	20	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
22	15, 21	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
23	22	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
24	23	imp4c 423	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
25		neqne 2952	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (♯‘𝑃) ≠ 1)
26	25	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
27	24, 26	pm2.61i 182	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1)
28	6, 13, 27	3jca 1126	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
29	3, 28	mpdan 683	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
30		nn0n0n1ge2 12283	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
32	31	ex 412	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2944  Vcvv 3430  ∅c0 4261  {cpr 4568   class class class wbr 5078  ‘cfv 6430  0cc0 10855  1c1 10856   ≤ cle 10994  2c2 12011  ℕ₀cn0 12216  ♯chash 14025  Word cword 14198  Vtxcvtx 27347  Edgcedg 27398  UMGraphcumgr 27432  ClWWalkscclwwlk 28324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-hash 14026  df-word 14199  df-lsw 14247  df-edg 27399  df-umgr 27434  df-clwwlk 28325

This theorem is referenced by: (None)