Theorem umgrclwwlkge2 30323

Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrclwwlkge2	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlkge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 30317	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
3	2	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4		lencl 14572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
7		hasheq0 14401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
8	7	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (♯‘𝑃) = 0))
9	8	necon3bid 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ≠ 0))
10	9	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0)))
12	11	3imp 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
13	12	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
14		clwwlk1loop 30320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
15	14	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
17		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
18	17	umgredgne 29476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
19		eqneqall 2969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
20	16, 18, 19	mpsyl 69	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
21	20	expcom 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
22	15, 21	syl6 36	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
23	22	com23 87	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
24	23	imp4c 428	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
25		neqne 2966	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (♯‘𝑃) ≠ 1)
26	25	a1d 26	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
27	24, 26	pm2.61i 184	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1)
28	6, 13, 27	3jca 1146	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
29	3, 28	mpdan 699	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
30		nn0n0n1ge2 12573	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	29, 30	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
32	31	ex 417	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455  ∅c0 4287  {cpr 4592   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  0cc0 11101  1c1 11102   ≤ cle 11245  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ♯chash 14368  Word cword 14552  Vtxcvtx 29327  Edgcedg 29378  UMGraphcumgr 29412  ClWWalkscclwwlk 30313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-lsw 14602  df-edg 29379  df-umgr 29414  df-clwwlk 30314

This theorem is referenced by: (None)