MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrclwwlkge2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrclwwlkge2 29840
Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrclwwlkge2 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)))

Proof of Theorem umgrclwwlkge2
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21clwwlkbp 29834 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…))
32adantl 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…))
4 lencl 14510 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
543ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
65adantl 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
7 hasheq0 14349 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 0 ↔ 𝑃 = βˆ…))
87bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 = βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘ƒ) = 0))
98necon3bid 2975 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β‰  βˆ… ↔ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0))
109biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β‰  βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0))
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V β†’ (𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝑃 β‰  βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0)))
12113imp 1108 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0)
1312adantl 480 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0)
14 clwwlk1loop 29837 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
1514expcom 412 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜0)
17 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
1817umgredgne 28997 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
19 eqneqall 2941 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1)))
2016, 18, 19mpsyl 68 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))
2120expcom 412 . . . . . . . . 9 ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ (Edgβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1)))
2215, 21syl6 35 . . . . . . . 8 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))))
2322com23 86 . . . . . . 7 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))))
2423imp4c 422 . . . . . 6 ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))
25 neqne 2938 . . . . . . 7 (Β¬ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1)
2625a1d 25 . . . . . 6 (Β¬ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1 β†’ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))
2724, 26pm2.61i 182 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…)) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1)
286, 13, 273jca 1125 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 β‰  βˆ…)) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))
293, 28mpdan 685 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1))
30 nn0n0n1ge2 12564 . . 3 (((β™―β€˜π‘ƒ) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  0 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) β‰  1) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
3129, 30syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ)) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ))
3231ex 411 1 (𝐺 ∈ UMGraph β†’ (𝑃 ∈ (ClWWalksβ€˜πΊ) β†’ 2 ≀ (β™―β€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319  {cpr 4627   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  0cc0 11133  1c1 11134   ≀ cle 11274  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β™―chash 14316  Word cword 14491  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899  UMGraphcumgr 28933  ClWWalkscclwwlk 29830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-hash 14317  df-word 14492  df-lsw 14540  df-edg 28900  df-umgr 28935  df-clwwlk 29831
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator