Theorem umgrclwwlkge2 27776

Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
umgrclwwlkge2	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlkge2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlkbp 27770	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
3	2	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4		lencl 13876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	3ad2ant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
6	5	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
7		hasheq0 13720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
8	7	bicomd 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (♯‘𝑃) = 0))
9	8	necon3bid 3031	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝑃) ≠ 0))
10	9	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0))
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (♯‘𝑃) ≠ 0)))
12	11	3imp 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
13	12	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 0)
14		clwwlk1loop 27773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
15	14	expcom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
17		eqid 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
18	17	umgredgne 26938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
19		eqneqall 2998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
20	16, 18, 19	mpsyl 68	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
21	20	expcom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1)))
22	15, 21	syl6 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
23	22	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (♯‘𝑃) ≠ 1))))
24	23	imp4c 427	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
25		neqne 2995	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (♯‘𝑃) ≠ 1)
26	25	a1d 25	. . . . . 6 ⊢ (¬ (♯‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1))
27	24, 26	pm2.61i 185	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (♯‘𝑃) ≠ 1)
28	6, 13, 27	3jca 1125	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
29	3, 28	mpdan 686	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → ((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1))
30		nn0n0n1ge2 11950	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
31	29, 30	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺)) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
32	31	ex 416	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalks‘𝐺) → 2 ≤ (♯‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ∅c0 4243  {cpr 4527   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  0cc0 10526  1c1 10527   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ♯chash 13686  Word cword 13857  Vtxcvtx 26789  Edgcedg 26840  UMGraphcumgr 26874  ClWWalkscclwwlk 27766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-lsw 13906  df-edg 26841  df-umgr 26876  df-clwwlk 27767

This theorem is referenced by: (None)