Theorem ballotlem1ri 31438

Description: When the vote on the first tie is for A, the first vote is also for A on the reverse counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s	⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r	⊢ 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))

Assertion

Ref	Expression
ballotlem1ri	⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (1 ∈ (𝑅‘𝐶) ↔ (𝐼‘𝐶) ∈ 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1ri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		nnaddcl 11457	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
4	1, 2, 3	mp2an 679	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5		nnuz 12089	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
6	4, 5	eleqtri 2858	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1)
7		eluzfz1 12724	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
9		ballotth.o	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
10		ballotth.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
11		ballotth.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
12		ballotth.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
13		ballotth.mgtn	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 < 𝑀
14		ballotth.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
15	1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemiex 31405	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
16	15	simpld 487	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
17		elfzle1 12720	. . . 4 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 1 ≤ (𝐼‘𝐶))
18	16, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ≤ (𝐼‘𝐶))
19		ballotth.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
20		ballotth.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ ((𝑆‘𝑐) “ 𝑐))
21	1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20	ballotlemrv1 31424	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 1 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (1 ∈ (𝑅‘𝐶) ↔ (((𝐼‘𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
22	8, 18, 21	mpd3an23 1442	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (1 ∈ (𝑅‘𝐶) ↔ (((𝐼‘𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
23		elfzelz 12718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℤ)
24	16, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 11895	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℂ)
26		1cnd 10428	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℂ)
27	25, 26	pncand 10793	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (((𝐼‘𝐶) + 1) − 1) = (𝐼‘𝐶))
28	27	eleq1d 2844	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((((𝐼‘𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶 ↔ (𝐼‘𝐶) ∈ 𝐶))
29	22, 28	bitrd 271	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (1 ∈ (𝑅‘𝐶) ↔ (𝐼‘𝐶) ∈ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  {crab 3086   ∖ cdif 3820   ∩ cin 3822  ifcif 4344  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4923   ↦ cmpt 5002   “ cima 5404  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  infcinf 8694  ℝcr 10328  0cc0 10329  1c1 10330   + caddc 10332   < clt 10468   ≤ cle 10469   − cmin 10664   / cdiv 11092  ℕcn 11433  ℤcz 11787  ℤ_≥cuz 12052  ...cfz 12702  ♯chash 13499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-oadd 7903  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-sup 8695  df-inf 8696  df-dju 9118  df-card 9156  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-n0 11702  df-z 11788  df-uz 12053  df-rp 12199  df-fz 12703  df-hash 13500

This theorem is referenced by:  ballotlem7  31439