Theorem ballotlem1 32453

Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem1	⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Proof of Theorem ballotlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2	1	fveq2i 6777	. 2 ⊢ (♯‘𝑂) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
3		fzfi 13692	. . 3 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
4		ballotth.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12344	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6		hashbc 14165	. . 3 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}))
7	3, 5, 6	mp2an 689	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
8		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
9	4, 8	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)
10		nnaddcl 11996	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12240	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
13		hashfz1 14060	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁)
15	14	oveq1i 7285	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)
16	2, 7, 15	3eqtr2i 2772	1 ⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  𝒫 cpw 4533  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  1c1 10872   + caddc 10874  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  Ccbc 14016  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-seq 13722  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  ballotlem2  32455  ballotth  32504