Theorem ballotlem1 34650

Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem1	⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Proof of Theorem ballotlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2	1	fveq2i 6838	. 2 ⊢ (♯‘𝑂) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
3		fzfi 13928	. . 3 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
4		ballotth.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12545	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6		hashbc 14409	. . 3 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}))
7	3, 5, 6	mp2an 693	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
8		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
9	4, 8	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)
10		nnaddcl 12191	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12438	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
13		hashfz1 14302	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁)
15	14	oveq1i 7371	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)
16	2, 7, 15	3eqtr2i 2766	1 ⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  𝒫 cpw 4542  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Fincfn 8887  1c1 11033   + caddc 11035  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ...cfz 13455  Ccbc 14258  ♯chash 14286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-seq 13958  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287

This theorem is referenced by:  ballotlem2  34652  ballotth  34701