Theorem ballotlem1 33480

Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem1	⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Proof of Theorem ballotlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2	1	fveq2i 6894	. 2 ⊢ (♯‘𝑂) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
3		fzfi 13936	. . 3 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
4		ballotth.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12585	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6		hashbc 14411	. . 3 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}))
7	3, 5, 6	mp2an 690	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
8		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
9	4, 8	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)
10		nnaddcl 12234	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12478	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
13		hashfz1 14305	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁)
15	14	oveq1i 7418	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)
16	2, 7, 15	3eqtr2i 2766	1 ⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  𝒫 cpw 4602  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  1c1 11110   + caddc 11112  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ...cfz 13483  Ccbc 14261  ♯chash 14289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-seq 13966  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290

This theorem is referenced by:  ballotlem2  33482  ballotth  33531