Theorem ballotlem1 34139

Description: The size of the universe is a binomial coefficient. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}

Assertion

Ref	Expression
ballotlem1	⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Proof of Theorem ballotlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2	1	fveq2i 6905	. 2 ⊢ (♯‘𝑂) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
3		fzfi 13977	. . 3 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
4		ballotth.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
5	4	nnzi 12624	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
6		hashbc 14452	. . 3 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}))
7	3, 5, 6	mp2an 690	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = (♯‘{𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
8		ballotth.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
9	4, 8	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)
10		nnaddcl 12273	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
11		nnnn0 12517	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
13		hashfz1 14345	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
14	12, 13	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁)
15	14	oveq1i 7436	. 2 ⊢ ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁)))C𝑀) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)
16	2, 7, 15	3eqtr2i 2762	1 ⊢ (♯‘𝑂) = ((𝑀 + 𝑁)C𝑀)

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430  𝒫 cpw 4606  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970  1c1 11147   + caddc 11149  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12510  ℤcz 12596  ...cfz 13524  Ccbc 14301  ♯chash 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330

This theorem is referenced by:  ballotlem2  34141  ballotth  34190