Theorem ballotlemsdom 34067

Description: Domain of 𝑆 for a given counting 𝐶. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s	⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemsdom	⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemsdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotth.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
7		ballotth.mgtn	. . 3 ⊢ 𝑁 < 𝑀
8		ballotth.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9		ballotth.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼‘𝑐), (((𝐼‘𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsv 34065	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐽) = if(𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶), (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiex 34057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
12	11	simpld 494	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
13	12	elfzelzd 13526	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℤ)
15		nnaddcl 12257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
16	1, 2, 15	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
17	16	nnzi 12608	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
19	12	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
20		elfzle2 13529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼‘𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (𝐼‘𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
22		eluz2 12850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝐼‘𝐶)) ↔ ((𝐼‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
23		fzss2 13565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘(𝐼‘𝐶)) → (1...(𝐼‘𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
24	22, 23	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐼‘𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁)) → (1...(𝐼‘𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
25	14, 18, 21, 24	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (1...(𝐼‘𝐶)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
26		1zzd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 1 ∈ ℤ)
27		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
28	27	elfzelzd 13526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 𝐽 ∈ ℤ)
29		elfzle1 13528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 1 ≤ 𝐽)
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 1 ≤ 𝐽)
31		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶))
32	26, 14, 28, 30, 31	elfzd 13516	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 𝐽 ∈ (1...(𝐼‘𝐶)))
33		fzrev3i 13592	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (1...(𝐼‘𝐶)) → ((1 + (𝐼‘𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → ((1 + (𝐼‘𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)))
35		1cnd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → 1 ∈ ℂ)
36	13	zcnd 12689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ ℂ)
37	35, 36	addcomd 11438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (1 + (𝐼‘𝐶)) = ((𝐼‘𝐶) + 1))
38	37	oveq1d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((1 + (𝐼‘𝐶)) − 𝐽) = (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽))
39	38	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (((1 + (𝐼‘𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)) ↔ (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶))))
40	39	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (((1 + (𝐼‘𝐶)) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)) ↔ (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶))))
41	34, 40	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝐼‘𝐶)))
42	25, 41	sseldd 3979	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
43		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) ∧ ¬ 𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶)) → 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
44	42, 43	ifclda 4559	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → if(𝐽 ≤ (𝐼‘𝐶), (((𝐼‘𝐶) + 1) − 𝐽), 𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
45	10, 44	eqeltrd 2828	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝑆‘𝐶)‘𝐽) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  {crab 3427   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ifcif 4524  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9456  ℝcr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   < clt 11270   ≤ cle 11271   − cmin 11466   / cdiv 11893  ℕcn 12234  ℤcz 12580  ℤ_≥cuz 12844  ...cfz 13508  ♯chash 14313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-hash 14314

This theorem is referenced by:  ballotlemsel1i  34068  ballotlemsf1o  34069  ballotlemfrceq  34084  ballotlemfrcn0  34085