Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemimin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemimin 33968
Description: (𝐼𝐶) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemimin (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemimin
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzle2 13512 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
3 elfzelz 13508 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 ballotth.m . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℕ
5 ballotth.n . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℕ
6 ballotth.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
7 ballotth.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
8 ballotth.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
9 ballotth.e . . . . . . . . 9 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
10 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9 𝑁 < 𝑀
11 ballotth.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemiex 33964 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1312simpld 494 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
1413elfzelzd 13509 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
15 zltlem1 12622 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
163, 14, 15syl2anr 596 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
172, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
1817adantr 480 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
19 1zzd 12600 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℤ)
2014, 19zsubcld 12678 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
2120zred 12673 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℝ)
22 nnaddcl 12242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
234, 5, 22mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
2524nnred 12234 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
26 elfzle2 13512 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2824nnzd 12592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 zlem1lt 12621 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3014, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3127, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁))
3221, 25, 31ltled 11369 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁))
33 eluz 12843 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3420, 28, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3532, 34mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)))
36 fzss2 13548 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3837sseld 3981 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))))
39 rabid 3451 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0))
404, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemsup 33967 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
41 ltso 11301 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → < Or ℝ)
43 id 22 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
4442, 43inflb 9490 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
464, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemi 33963 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) = inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
4746breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4847notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ 𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4945, 48sylibrd 259 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5039, 49biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5138, 50syland 602 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5251imp 406 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
53 biid 261 . . . . 5 (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5452, 53sylnib 328 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5554anassrs 467 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5618, 55pm2.65da 814 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → ¬ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
5756nrexdv 3148 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  cmpt 5231   Or wor 5587  cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9442  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  cz 12565  cuz 12829  ...cfz 13491  chash 14297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-hash 14298
This theorem is referenced by:  ballotlemic  33969  ballotlem1c  33970
  Copyright terms: Public domain W3C validator