Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemimin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemimin 32184
Description: (𝐼𝐶) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemimin (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemimin
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzle2 13116 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
21adantl 485 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
3 elfzelz 13112 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 ballotth.m . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℕ
5 ballotth.n . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℕ
6 ballotth.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
7 ballotth.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
8 ballotth.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
9 ballotth.e . . . . . . . . 9 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
10 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9 𝑁 < 𝑀
11 ballotth.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemiex 32180 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1312simpld 498 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
1413elfzelzd 13113 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
15 zltlem1 12230 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
163, 14, 15syl2anr 600 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
172, 16mpbird 260 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
1817adantr 484 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
19 1zzd 12208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℤ)
2014, 19zsubcld 12287 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
2120zred 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℝ)
22 nnaddcl 11853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
234, 5, 22mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
2524nnred 11845 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
26 elfzle2 13116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2824nnzd 12281 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 zlem1lt 12229 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3014, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3127, 30mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁))
3221, 25, 31ltled 10980 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁))
33 eluz 12452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3420, 28, 33syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3532, 34mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)))
36 fzss2 13152 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3837sseld 3900 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))))
39 rabid 3290 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0))
404, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemsup 32183 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
41 ltso 10913 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → < Or ℝ)
43 id 22 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
4442, 43inflb 9105 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
464, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemi 32179 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) = inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
4746breq2d 5065 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4847notbid 321 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ 𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4945, 48sylibrd 262 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5039, 49syl5bir 246 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5138, 50syland 606 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5251imp 410 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
53 biid 264 . . . . 5 (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5452, 53sylnib 331 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5554anassrs 471 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5618, 55pm2.65da 817 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → ¬ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
5756nrexdv 3189 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  cdif 3863  cin 3865  wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  cmpt 5135   Or wor 5467  cfv 6380  (class class class)co 7213  infcinf 9057  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062   / cdiv 11489  cn 11830  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  chash 13896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-hash 13897
This theorem is referenced by:  ballotlemic  32185  ballotlem1c  32186
  Copyright terms: Public domain W3C validator