Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemimin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemimin 34048
Description: (𝐼𝐶) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemimin (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemimin
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzle2 13523 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
21adantl 481 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
3 elfzelz 13519 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 ballotth.m . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℕ
5 ballotth.n . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℕ
6 ballotth.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
7 ballotth.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
8 ballotth.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
9 ballotth.e . . . . . . . . 9 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
10 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9 𝑁 < 𝑀
11 ballotth.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemiex 34044 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1312simpld 494 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
1413elfzelzd 13520 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
15 zltlem1 12631 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
163, 14, 15syl2anr 596 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
172, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
1817adantr 480 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
19 1zzd 12609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℤ)
2014, 19zsubcld 12687 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
2120zred 12682 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℝ)
22 nnaddcl 12251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
234, 5, 22mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
2524nnred 12243 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
26 elfzle2 13523 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2824nnzd 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 zlem1lt 12630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3014, 28, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3127, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁))
3221, 25, 31ltled 11378 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁))
33 eluz 12852 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3420, 28, 33syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3532, 34mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)))
36 fzss2 13559 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3837sseld 3977 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))))
39 rabid 3447 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0))
404, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemsup 34047 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
41 ltso 11310 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → < Or ℝ)
43 id 22 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
4442, 43inflb 9498 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
464, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemi 34043 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) = inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
4746breq2d 5154 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4847notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ 𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4945, 48sylibrd 259 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5039, 49biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5138, 50syland 602 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5251imp 406 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
53 biid 261 . . . . 5 (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5452, 53sylnib 328 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5554anassrs 467 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5618, 55pm2.65da 816 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → ¬ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
5756nrexdv 3144 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wrex 3065  {crab 3427  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  cmpt 5225   Or wor 5583  cfv 6542  (class class class)co 7414  infcinf 9450  cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11264  cle 11265  cmin 11460   / cdiv 11887  cn 12228  cz 12574  cuz 12838  ...cfz 13502  chash 14307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308
This theorem is referenced by:  ballotlemic  34049  ballotlem1c  34050
  Copyright terms: Public domain W3C validator