Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemimin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemimin 33169
Description: (𝐼𝐶) is the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemimin (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸   𝑖,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemimin
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzle2 13454 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
21adantl 483 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1))
3 elfzelz 13450 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
4 ballotth.m . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ ℕ
5 ballotth.n . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ ℕ
6 ballotth.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
7 ballotth.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
8 ballotth.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
9 ballotth.e . . . . . . . . 9 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
10 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9 𝑁 < 𝑀
11 ballotth.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
124, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemiex 33165 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1312simpld 496 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
1413elfzelzd 13451 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
15 zltlem1 12564 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐼𝐶) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
163, 14, 15syl2anr 598 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 ≤ ((𝐼𝐶) − 1)))
172, 16mpbird 257 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
1817adantr 482 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → 𝑘 < (𝐼𝐶))
19 1zzd 12542 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℤ)
2014, 19zsubcld 12620 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ)
2120zred 12615 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℝ)
22 nnaddcl 12184 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
234, 5, 22mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
2524nnred 12176 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℝ)
26 elfzle2 13454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁))
2824nnzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
29 zlem1lt 12563 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3014, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ≤ (𝑀 + 𝑁) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁)))
3127, 30mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) < (𝑀 + 𝑁))
3221, 25, 31ltled 11311 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁))
33 eluz 12785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝐶) − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3420, 28, 33syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) ↔ ((𝐼𝐶) − 1) ≤ (𝑀 + 𝑁)))
3532, 34mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)))
36 fzss2 13490 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘((𝐼𝐶) − 1)) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1...((𝐼𝐶) − 1)) ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
3837sseld 3947 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) → 𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))))
39 rabid 3426 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0))
404, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemsup 33168 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
41 ltso 11243 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
4241a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → < Or ℝ)
43 id 22 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)))
4442, 43inflb 9433 . . . . . . . . . 10 (∃𝑧 ∈ ℝ (∀𝑤 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ¬ 𝑤 < 𝑧 ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑤 → ∃𝑦 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}𝑦 < 𝑤)) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4540, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
464, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11ballotlemi 33164 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) = inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
4746breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4847notbid 318 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (¬ 𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ ¬ 𝑘 < inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < )))
4945, 48sylibrd 259 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5039, 49biimtrrid 242 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5138, 50syland 604 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶)))
5251imp 408 . . . . 5 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
53 biid 261 . . . . 5 (𝑘 < (𝐼𝐶) ↔ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5452, 53sylnib 328 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1)) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5554anassrs 469 . . 3 (((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) ∧ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0) → ¬ 𝑘 < (𝐼𝐶))
5618, 55pm2.65da 816 . 2 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))) → ¬ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
5756nrexdv 3143 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ¬ ∃𝑘 ∈ (1...((𝐼𝐶) − 1))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  cdif 3911  cin 3913  wss 3914  𝒫 cpw 4564   class class class wbr 5109  cmpt 5192   Or wor 5548  cfv 6500  (class class class)co 7361  infcinf 9385  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  cle 11198  cmin 11393   / cdiv 11820  cn 12161  cz 12507  cuz 12771  ...cfz 13433  chash 14239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-hash 14240
This theorem is referenced by:  ballotlemic  33170  ballotlem1c  33171
  Copyright terms: Public domain W3C validator