Theorem prmgapprmolem 17068

Description: Lemma for prmgapprmo 17069: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgapprmolem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16702	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
4		breq1 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐼 ↔ 𝑝 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
7		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
8	7	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
10	2, 6, 9	rspcedvd 3601	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
11		prmdvdsprmop 17050	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
12	10, 11	r19.29a 3146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
13		nnnn0 12501	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		prmocl 17041	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
16		elfzuz 13527	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
17		eluz2nn 12891	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19		nnaddcl 12256	. . . 4 ⊢ (((#p‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
21	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22		ncoprmgcdgt1b 16657	. . 3 ⊢ ((((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
24	12, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059   class class class wbr 5117  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  1c1 11123   + caddc 11125   < clt 11262   ≤ cle 11263  ℕcn 12233  2c2 12288  ℕ₀cn0 12494  ℤ_≥cuz 12845  ...cfz 13514   ∥ cdvds 16259   gcd cgcd 16500  ℙcprime 16677  #_pcprmo 17038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-inf2 9648  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199  ax-pre-sup 11200

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-int 4921  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-2o 8476  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-sup 9449  df-inf 9450  df-oi 9517  df-card 9946  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11888  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-n0 12495  df-z 12582  df-uz 12846  df-rp 13002  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14010  df-exp 14070  df-hash 14339  df-cj 15107  df-re 15108  df-im 15109  df-sqrt 15243  df-abs 15244  df-clim 15493  df-prod 15909  df-dvds 16260  df-gcd 16501  df-prm 16678  df-prmo 17039

This theorem is referenced by:  prmgapprmo  17069