Theorem prmgapprmolem 17003

Description: Lemma for prmgapprmo 17004: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgapprmolem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16637	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
4		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐼 ↔ 𝑝 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
7		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
8	7	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
10	2, 6, 9	rspcedvd 3580	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
11		prmdvdsprmop 16985	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
12	10, 11	r19.29a 3146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
13		nnnn0 12422	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		prmocl 16976	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
16		elfzuz 13450	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
17		eluz2nn 12815	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19		nnaddcl 12182	. . . 4 ⊢ (((#p‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
21	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22		ncoprmgcdgt1b 16592	. . 3 ⊢ ((((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
23	20, 21, 22	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
24	12, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180   ≤ cle 11181  ℕcn 12159  2c2 12214  ℕ₀cn0 12415  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437   ∥ cdvds 16193   gcd cgcd 16435  ℙcprime 16612  #_pcprmo 16973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-prod 15841  df-dvds 16194  df-gcd 16436  df-prm 16613  df-prmo 16974

This theorem is referenced by:  prmgapprmo  17004