Theorem prmgapprmolem 17027

Description: Lemma for prmgapprmo 17028: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgapprmolem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16660	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
4		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐼 ↔ 𝑝 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
7		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
8	7	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
10	2, 6, 9	rspcedvd 3567	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
11		prmdvdsprmop 17009	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
12	10, 11	r19.29a 3146	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
13		nnnn0 12439	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		prmocl 17000	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
16		elfzuz 13469	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
17		eluz2nn 12833	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19		nnaddcl 12192	. . . 4 ⊢ (((#p‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
21	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22		ncoprmgcdgt1b 16615	. . 3 ⊢ ((((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
23	20, 21, 22	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
24	12, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕcn 12169  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456   ∥ cdvds 16216   gcd cgcd 16458  ℙcprime 16635  #_pcprmo 16997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-prod 15864  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-prm 16636  df-prmo 16998

This theorem is referenced by:  prmgapprmo  17028