Theorem prmgapprmolem 16973

Description: Lemma for prmgapprmo 16974: The primorial of a number plus an integer greater than 1 and less than or equal to the number are not coprime. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) (Revised by AV, 29-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmgapprmolem	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Proof of Theorem prmgapprmolem

Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16607	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
2	1	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3		breq1 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ↔ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
4		breq1 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 ∥ 𝐼 ↔ 𝑝 ∥ 𝐼))
5	3, 4	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) ∧ 𝑞 = 𝑝) → ((𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼)))
7		pm3.22 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
8	7	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → (𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑝 ∥ 𝐼))
10	2, 6, 9	rspcedvd 3579	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼))) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
11		prmdvdsprmop 16955	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ≤ 𝑁 ∧ 𝑝 ∥ 𝐼 ∧ 𝑝 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼)))
12	10, 11	r19.29a 3137	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼))
13		nnnn0 12391	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
14		prmocl 16946	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (#p‘𝑁) ∈ ℕ)
16		elfzuz 13423	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ≥‘2))
17		eluz2nn 12789	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
19		nnaddcl 12151	. . . 4 ⊢ (((#p‘𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
20	15, 18, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ)
21	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℕ)
22		ncoprmgcdgt1b 16562	. . 3 ⊢ ((((#p‘𝑁) + 𝐼) ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (∃𝑞 ∈ (ℤ≥‘2)(𝑞 ∥ ((#p‘𝑁) + 𝐼) ∧ 𝑞 ∥ 𝐼) ↔ 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼)))
24	12, 23	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 1 < (((#p‘𝑁) + 𝐼) gcd 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410   ∥ cdvds 16163   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582  #_pcprmo 16943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-prod 15811  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-prmo 16944

This theorem is referenced by:  prmgapprmo  16974