Theorem ballotlemfmpn 32461

Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfmpn	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		nnaddcl 11996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 2, 7	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
9	8	nnzi 12344	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ballotlemfval 32456	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12		ssrab2 4013	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
13	3, 12	eqsstri 3955	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
14	13	sseli 3917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
15	14	elpwid 4544	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16		sseqin2 4149	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
18	17	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
19		rabssab 4018	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
20	19	sseli 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
21	20, 3	eleq2s 2857	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
22		fveqeq2 6783	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((♯‘𝑏) = 𝑀 ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
23		fveqeq2 6783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝑀 ↔ (♯‘𝑏) = 𝑀))
24	23	cbvabv 2811	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑀}
25	22, 24	elab2g 3611	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
26	21, 25	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘𝐶) = 𝑀)
27	18, 26	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
28		fzfi 13692	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
29		hashssdif 14127	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
30	28, 15, 29	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
31	8	nnnn0i 12241	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
32		hashfz1 14060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
33	31, 32	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
34	33, 26	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	1	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
36	2	nncni 11983	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
37		pncan2 11228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
38	35, 36, 37	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
40	30, 34, 39	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
41	27, 40	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀 − 𝑁))
42	11, 41	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {cab 2715  {crab 3068   ∖ cdif 3884   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ♯chash 14044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045

This theorem is referenced by:  ballotlem5  32466