Theorem ballotlemfmpn 34527

Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfmpn	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		nnaddcl 12263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 2, 7	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
9	8	nnzi 12616	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ballotlemfval 34522	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12		ssrab2 4055	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
13	3, 12	eqsstri 4005	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
14	13	sseli 3954	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
15	14	elpwid 4584	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16		sseqin2 4198	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
18	17	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
19		rabssab 4060	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
20	19	sseli 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
21	20, 3	eleq2s 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
22		fveqeq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((♯‘𝑏) = 𝑀 ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
23		fveqeq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝑀 ↔ (♯‘𝑏) = 𝑀))
24	23	cbvabv 2805	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑀}
25	22, 24	elab2g 3659	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
26	21, 25	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘𝐶) = 𝑀)
27	18, 26	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
28		fzfi 13990	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
29		hashssdif 14430	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
30	28, 15, 29	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
31	8	nnnn0i 12509	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
32		hashfz1 14364	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
33	31, 32	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
34	33, 26	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	1	nncni 12250	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
36	2	nncni 12250	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
37		pncan2 11489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
38	35, 36, 37	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
40	30, 34, 39	3eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
41	27, 40	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀 − 𝑁))
42	11, 41	eqtrd 2770	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  {crab 3415   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  𝒫 cpw 4575   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ♯chash 14348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-hash 14349

This theorem is referenced by:  ballotlem5  34532