Theorem ballotlemfmpn 35127

Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfmpn	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑐)   𝑃(𝑥, 𝑖, 𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 23	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		nnaddcl 12358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 2, 7	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
9	8	nnzi 12720	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ballotlemfval 35122	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12		ssrab2 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
13	3, 12	eqsstri 3977	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
14	13	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
15	14	elpwid 4566	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16		sseqin2 4169	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
18	17	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
19		rabssab 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
20	19	sseli 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
21	20, 3	eleq2s 2879	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
22		fveqeq2 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((♯‘𝑏) = 𝑀 ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
23		fveqeq2 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝑀 ↔ (♯‘𝑏) = 𝑀))
24	23	cbvabv 2831	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑀}
25	22, 24	elab2g 3634	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
26	21, 25	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘𝐶) = 𝑀)
27	18, 26	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
28		fzfi 14115	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
29		hashssdif 14557	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
30	28, 15, 29	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
31	8	nnnn0i 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
32		hashfz1 14490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
33	31, 32	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
34	33, 26	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
35	1	nncni 12345	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
36	2	nncni 12345	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
37		pncan2 11564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
38	35, 36, 37	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
40	30, 34, 39	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
41	27, 40	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀 − 𝑁))
42	11, 41	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2739  {crab 3413   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  1c1 11201   + caddc 11203   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ...cfz 13639  ♯chash 14474

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-hash 14475

This theorem is used by:  ballotlem5  35132