Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfmpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfmpn 31772
 Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfmpn (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 nnaddcl 11648 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
81, 2, 7mp2an 691 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
98nnzi 11994 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
109a1i 11 . . 3 (𝐶𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ballotlemfval 31767 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12 ssrab2 4040 . . . . . . . . 9 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
133, 12eqsstri 3985 . . . . . . . 8 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
1413sseli 3947 . . . . . . 7 (𝐶𝑂𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
1514elpwid 4531 . . . . . 6 (𝐶𝑂𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16 sseqin2 4175 . . . . . 6 (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1715, 16sylib 221 . . . . 5 (𝐶𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1817fveq2d 6657 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
19 rabssab 4044 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2019sseli 3947 . . . . . 6 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
2120, 3eleq2s 2934 . . . . 5 (𝐶𝑂𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
22 fveqeq2 6662 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐶 → ((♯‘𝑏) = 𝑀 ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
23 fveqeq2 6662 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝑀 ↔ (♯‘𝑏) = 𝑀))
2423cbvabv 2892 . . . . . 6 {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑀}
2522, 24elab2g 3653 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
2621, 25mpbid 235 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘𝐶) = 𝑀)
2718, 26eqtrd 2859 . . 3 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
28 fzfi 13335 . . . . 5 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
29 hashssdif 13769 . . . . 5 (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
3028, 15, 29sylancr 590 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
318nnnn0i 11893 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
32 hashfz1 13702 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3331, 32mp1i 13 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3433, 26oveq12d 7158 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
351nncni 11635 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
362nncni 11635 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
37 pncan2 10880 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
3835, 36, 37mp2an 691 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
3938a1i 11 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
4030, 34, 393eqtrd 2863 . . 3 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
4127, 40oveq12d 7158 . 2 (𝐶𝑂 → ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀𝑁))
4211, 41eqtrd 2859 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {cab 2802  {crab 3136   ∖ cdif 3915   ∩ cin 3917   ⊆ wss 3918  𝒫 cpw 4520   ↦ cmpt 5129  ‘cfv 6338  (class class class)co 7140  Fincfn 8494  ℂcc 10522  1c1 10525   + caddc 10527   − cmin 10857   / cdiv 11284  ℕcn 11625  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ♯chash 13686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5173  ax-sep 5186  ax-nul 5193  ax-pow 5249  ax-pr 5313  ax-un 7446  ax-cnex 10580  ax-resscn 10581  ax-1cn 10582  ax-icn 10583  ax-addcl 10584  ax-addrcl 10585  ax-mulcl 10586  ax-mulrcl 10587  ax-mulcom 10588  ax-addass 10589  ax-mulass 10590  ax-distr 10591  ax-i2m1 10592  ax-1ne0 10593  ax-1rid 10594  ax-rnegex 10595  ax-rrecex 10596  ax-cnre 10597  ax-pre-lttri 10598  ax-pre-lttrn 10599  ax-pre-ltadd 10600  ax-pre-mulgt0 10601 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4822  df-int 4860  df-iun 4904  df-br 5050  df-opab 5112  df-mpt 5130  df-tr 5156  df-id 5443  df-eprel 5448  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5497  df-we 5499  df-xp 5544  df-rel 5545  df-cnv 5546  df-co 5547  df-dm 5548  df-rn 5549  df-res 5550  df-ima 5551  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6297  df-fun 6340  df-fn 6341  df-f 6342  df-f1 6343  df-fo 6344  df-f1o 6345  df-fv 6346  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10664  df-mnf 10665  df-xr 10666  df-ltxr 10667  df-le 10668  df-sub 10859  df-neg 10860  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-hash 13687 This theorem is referenced by:  ballotlem5  31777
 Copyright terms: Public domain W3C validator