Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfmpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfmpn 32023
Description: (𝐹𝐶) finishes counting at (𝑀𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfmpn (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 nnaddcl 11732 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
81, 2, 7mp2an 692 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
98nnzi 12080 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
109a1i 11 . . 3 (𝐶𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ballotlemfval 32018 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12 ssrab2 3967 . . . . . . . . 9 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
133, 12eqsstri 3909 . . . . . . . 8 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
1413sseli 3871 . . . . . . 7 (𝐶𝑂𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
1514elpwid 4496 . . . . . 6 (𝐶𝑂𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16 sseqin2 4104 . . . . . 6 (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1715, 16sylib 221 . . . . 5 (𝐶𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1817fveq2d 6672 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
19 rabssab 3972 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2019sseli 3871 . . . . . 6 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
2120, 3eleq2s 2851 . . . . 5 (𝐶𝑂𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
22 fveqeq2 6677 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐶 → ((♯‘𝑏) = 𝑀 ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
23 fveqeq2 6677 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝑀 ↔ (♯‘𝑏) = 𝑀))
2423cbvabv 2806 . . . . . 6 {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑀}
2522, 24elab2g 3572 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
2621, 25mpbid 235 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘𝐶) = 𝑀)
2718, 26eqtrd 2773 . . 3 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
28 fzfi 13424 . . . . 5 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
29 hashssdif 13858 . . . . 5 (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
3028, 15, 29sylancr 590 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
318nnnn0i 11977 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
32 hashfz1 13791 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3331, 32mp1i 13 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3433, 26oveq12d 7182 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
351nncni 11719 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
362nncni 11719 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
37 pncan2 10964 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
3835, 36, 37mp2an 692 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
3938a1i 11 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
4030, 34, 393eqtrd 2777 . . 3 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
4127, 40oveq12d 7182 . 2 (𝐶𝑂 → ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀𝑁))
4211, 41eqtrd 2773 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  {cab 2716  {crab 3057  cdif 3838  cin 3840  wss 3841  𝒫 cpw 4485  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  Fincfn 8548  cc 10606  1c1 10609   + caddc 10611  cmin 10941   / cdiv 11368  cn 11709  0cn0 11969  cz 12055  ...cfz 12974  chash 13775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-oadd 8128  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-hash 13776
This theorem is referenced by:  ballotlem5  32028
  Copyright terms: Public domain W3C validator