Theorem infpnlem2 17098

Description: Lemma for infpn 17099. For any positive integer 𝑁, there exists a prime number 𝑗 greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝑗,𝐾,𝑘

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
2		nnnn0 12620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14435	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 12359	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
5	1, 4	eqeltrid 2864	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	3	nnge1d 12393	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (!‘𝑁))
7		1nn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		nnleltp1 12761	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
9	7, 3, 8	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
10	6, 9	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((!‘𝑁) + 1))
11	10, 1	breqtrrdi 5146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 𝐾)
12		nncn 12350	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
13		nnne0 12379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
14	12, 13	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
15		divid 12011	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 / 𝐾) = 1)
16	5, 14, 15	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) = 1)
17	16, 7	eqeltrdi 2868	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)
18		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝐾))
19		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝐾))
20	19	eleq1d 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ))
21	18, 20	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)))
22	21	rspcev 3576	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
24		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝑘))
25		oveq2 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝑘))
26	25	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ))
27	24, 26	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ)))
28	27	nnwos 13049	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
29	23, 28	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
30	1	infpnlem1 17097	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
31	30	reximdva 3175	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
32	29, 31	mpd 16	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350   ≤ cle 11351   / cdiv 11980  ℕcn 12342  !cfa 14424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-seq 14152  df-fac 14425

This theorem is used by:  infpn  17099