Theorem infpnlem2 16882

Description: Lemma for infpn 16883. For any positive integer 𝑁, there exists a prime number 𝑗 greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
infpnlem.1	⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)

Assertion

Ref	Expression
infpnlem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝑗,𝐾,𝑘

Proof of Theorem infpnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpnlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
2		nnnn0 12449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	faccld 14249	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 12203	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
5	1, 4	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
6	3	nnge1d 12234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (!‘𝑁))
7		1nn 12197	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
8		nnleltp1 12589	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
9	7, 3, 8	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
10	6, 9	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((!‘𝑁) + 1))
11	10, 1	breqtrrdi 5149	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 𝐾)
12		nncn 12194	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
13		nnne0 12220	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
14	12, 13	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
15		divid 11868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 / 𝐾) = 1)
16	5, 14, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) = 1)
17	16, 7	eqeltrdi 2836	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)
18		breq2 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝐾))
19		oveq2 7395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝐾))
20	19	eleq1d 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ))
21	18, 20	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐾 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)))
22	21	rspcev 3588	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
23	5, 11, 17, 22	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
24		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝑘))
25		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝑘))
26	25	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ))
27	24, 26	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ)))
28	27	nnwos 12874	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
29	23, 28	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)))
30	1	infpnlem1 16881	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
31	30	reximdva 3146	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗 ≤ 𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
32	29, 31	mpd 15	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  !cfa 14238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-fac 14239

This theorem is referenced by:  infpn  16883