Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpnlem2 16240
 Description: Lemma for infpn 16241. For any positive integer 𝑁, there exists a prime number 𝑗 greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑁   𝑗,𝐾,𝑘

Proof of Theorem infpnlem2
StepHypRef Expression
1 infpnlem.1 . . . . 5 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
2 nnnn0 11896 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
32faccld 13644 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
43peano2nnd 11646 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
51, 4eqeltrid 2897 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
63nnge1d 11677 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ (!‘𝑁))
7 1nn 11640 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
8 nnleltp1 12029 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
97, 3, 8sylancr 590 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 ≤ (!‘𝑁) ↔ 1 < ((!‘𝑁) + 1)))
106, 9mpbid 235 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < ((!‘𝑁) + 1))
1110, 1breqtrrdi 5075 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < 𝐾)
12 nncn 11637 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
13 nnne0 11663 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ≠ 0)
1412, 13jca 515 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0))
15 divid 11320 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (𝐾 / 𝐾) = 1)
165, 14, 153syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) = 1)
1716, 7eqeltrdi 2901 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)
18 breq2 5037 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝐾))
19 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝐾 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝐾))
2019eleq1d 2877 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐾 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ))
2118, 20anbi12d 633 . . . . 5 (𝑗 = 𝐾 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)))
2221rspcev 3574 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (1 < 𝐾 ∧ (𝐾 / 𝐾) ∈ ℕ)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
235, 11, 17, 22syl12anc 835 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
24 breq2 5037 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (1 < 𝑗 ↔ 1 < 𝑘))
25 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐾 / 𝑗) = (𝐾 / 𝑘))
2625eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ ↔ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ))
2724, 26anbi12d 633 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ)))
2827nnwos 12307 . . 3 (∃𝑗 ∈ ℕ (1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)))
2923, 28syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)))
301infpnlem1 16239 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)) → (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
3130reximdva 3236 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((1 < 𝑘 ∧ (𝐾 / 𝑘) ∈ ℕ) → 𝑗𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗)))))
3229, 31mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑗 ∈ ℕ (𝑁 < 𝑗 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝑗 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑘 = 1 ∨ 𝑘 = 𝑗))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668   ≤ cle 10669   / cdiv 11290  ℕcn 11629  !cfa 13633 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13369  df-fac 13634 This theorem is referenced by:  infpn  16241
 Copyright terms: Public domain W3C validator