Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnome Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnome 42845
 Description: (voln*‘𝑋) is an outer measure on the space of multidimensional real numbers with dimension equal to the cardinality of the finite set 𝑋. Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ovnome.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ovnome (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Proof of Theorem ovnome
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7183 . 2 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
2 ovnome.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
32ovnf 42835 . 2 (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
42ovn0 42838 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)
523ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑋 ∈ Fin)
6 simp3 1133 . . 3 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
7 simp2 1132 . . 3 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
85, 6, 7ovnssle 42833 . 2 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → ((voln*‘𝑋)‘𝑦) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝑥))
92adantr 483 . . 3 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
10 simpr 487 . . 3 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
119, 10ovnsubadd 42844 . 2 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝑛)))))
121, 3, 4, 8, 11isomennd 42803 1 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   ∈ wcel 2108  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  𝒫 cpw 4537  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ↑m cmap 8398  Fincfn 8501  ℝcr 10528  ℕcn 11630  OutMeascome 42761  voln*covoln 42808 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cc 9849  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-seq 13362  df-exp 13422  df-hash 13683  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-prod 15252  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-rest 16688  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cmp 21987  df-ovol 24057  df-vol 24058  df-sumge0 42635  df-ome 42762  df-ovoln 42809 This theorem is referenced by:  vonmea  42846  dmvon  42878  rrnmbl  42886  unidmvon  42889  voncmpl  42893  hspmbl  42901  isvonmbl  42910  vonmblss  42912
 Copyright terms: Public domain W3C validator