Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovnome Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovnome 45750
Description: (voln*‘𝑋) is an outer measure on the space of multidimensional real numbers with dimension equal to the cardinality of the finite set 𝑋. Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ovnome.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
ovnome (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Proof of Theorem ovnome
Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovexd 7447 . 2 (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
2 ovnome.1 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
32ovnf 45740 . 2 (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
42ovn0 45743 . 2 (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)
523ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑋 ∈ Fin)
6 simp3 1137 . . 3 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
7 simp2 1136 . . 3 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
85, 6, 7ovnssle 45738 . 2 ((𝜑𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦𝑥) → ((voln*‘𝑋)‘𝑦) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝑥))
92adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
10 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
119, 10ovnsubadd 45749 . 2 ((𝜑𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → ((voln*‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝑎𝑛)))))
121, 3, 4, 8, 11isomennd 45708 1 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  Vcvv 3473  wss 3948  𝒫 cpw 4602  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  Fincfn 8945  cr 11115  cn 12219  OutMeascome 45666  voln*covoln 45713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-ac2 10464  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-ac 10117  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-prod 15857  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-drng 20585  df-psmet 21225  df-xmet 21226  df-met 21227  df-bl 21228  df-mopn 21229  df-cnfld 21234  df-top 22716  df-topon 22733  df-bases 22769  df-cmp 23211  df-ovol 25313  df-vol 25314  df-sumge0 45540  df-ome 45667  df-ovoln 45714
This theorem is referenced by:  vonmea  45751  dmvon  45783  rrnmbl  45791  unidmvon  45794  voncmpl  45798  hspmbl  45806  isvonmbl  45815  vonmblss  45817
  Copyright terms: Public domain W3C validator