Theorem ovnome 45587

Description: (voln*‘𝑋) is an outer measure on the space of multidimensional real numbers with dimension equal to the cardinality of the finite set 𝑋. Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovnome.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ovnome	⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Proof of Theorem ovnome

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
2		ovnome.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	ovnf 45577	. 2 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
4	2	ovn0 45580	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)
5	2	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑋 ∈ Fin)
6		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
7		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	ovnssle 45575	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → ((voln*‘𝑋)‘𝑦) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝑥))
9	2	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
10		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
11	9, 10	ovnsubadd 45586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → ((voln*‘𝑋)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝑎‘𝑛)))))
12	1, 3, 4, 8, 11	isomennd 45545	1 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℝcr 11111  ℕcn 12216  OutMeascome 45503  voln*covoln 45550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-rest 17372  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-sumge0 45377  df-ome 45504  df-ovoln 45551

This theorem is referenced by:  vonmea  45588  dmvon  45620  rrnmbl  45628  unidmvon  45631  voncmpl  45635  hspmbl  45643  isvonmbl  45652  vonmblss  45654