Theorem ovnome 47404

Description: (voln*‘𝑋) is an outer measure on the space of multidimensional real numbers with dimension equal to the cardinality of the finite set 𝑋. Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovnome.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ovnome	⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Proof of Theorem ovnome

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
2		ovnome.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	ovnf 47394	. 2 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
4	2	ovn0 47397	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)
5	2	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑋 ∈ Fin)
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
7		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	ovnssle 47392	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → ((voln*‘𝑋)‘𝑦) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝑥))
9	2	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
11	9, 10	ovnsubadd 47403	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → ((voln*‘𝑋)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝑎‘𝑛)))))
12	1, 3, 4, 8, 11	isomennd 47362	1 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8829  Fincfn 8955  ℝcr 11126  ℕcn 12260  OutMeascome 47320  voln*covoln 47367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9623  ax-cc 10440  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-xneg 13166  df-xadd 13167  df-xmul 13168  df-ioo 13405  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-clim 15578  df-rlim 15579  df-sum 15777  df-prod 15996  df-rest 17510  df-topgen 17531  df-psmet 21580  df-xmet 21581  df-met 21582  df-bl 21583  df-mopn 21584  df-top 23122  df-topon 23139  df-bases 23174  df-cmp 23615  df-ovol 25695  df-vol 25696  df-sumge0 47194  df-ome 47321  df-ovoln 47368

This theorem is used by:  vonmea  47405  dmvon  47437  rrnmbl  47445  unidmvon  47448  voncmpl  47452  hspmbl  47460  isvonmbl  47469  vonmblss  47471