Theorem ovnome 41581

Description: (voln*‘𝑋) is an outer measure on the space of multidimensional real numbers with dimension equal to the cardinality of the finite set 𝑋. Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovnome.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ovnome	⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Proof of Theorem ovnome

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 6939	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ V)
2		ovnome.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	ovnf 41571	. 2 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)⟶(0[,]+∞))
4	2	ovn0 41574	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)
5	2	3ad2ant1 1169	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑋 ∈ Fin)
6		simp3 1174	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
7		simp2 1173	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
8	5, 6, 7	ovnssle 41569	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → ((voln*‘𝑋)‘𝑦) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝑥))
9	2	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
10		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
11	9, 10	ovnsubadd 41580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → ((voln*‘𝑋)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝑎‘𝑛)))))
12	1, 3, 4, 8, 11	isomennd 41539	1 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4378  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   ↑_𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222  ℝcr 10251  ℕcn 11350  OutMeascome 41497  voln*covoln 41544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cc 9572  ax-ac2 9600  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-disj 4842  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-acn 9081  df-ac 9252  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-prod 15009  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-0g 16455  df-topgen 16457  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-subg 17942  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121  df-cmp 21561  df-ovol 23630  df-vol 23631  df-sumge0 41371  df-ome 41498  df-ovoln 41545

This theorem is referenced by:  vonmea  41582  dmvon  41614  rrnmbl  41622  unidmvon  41625  voncmpl  41629  hspmbl  41637  isvonmbl  41646  vonmblss  41648