Theorem ovnome 46529

Description: (voln*‘𝑋) is an outer measure on the space of multidimensional real numbers with dimension equal to the cardinality of the finite set 𝑋. Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovnome.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
ovnome	⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Proof of Theorem ovnome

Dummy variables 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovexd 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V)
2		ovnome.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3	2	ovnf 46519	. 2 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋):𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)⟶(0[,]+∞))
4	2	ovn0 46522	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘∅) = 0)
5	2	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑋 ∈ Fin)
6		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
7		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋))
8	5, 6, 7	ovnssle 46517	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → ((voln*‘𝑋)‘𝑦) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝑥))
9	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
10		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
11	9, 10	ovnsubadd 46528	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎:ℕ⟶𝒫 (ℝ ↑m 𝑋)) → ((voln*‘𝑋)‘∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑎‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln*‘𝑋)‘(𝑎‘𝑛)))))
12	1, 3, 4, 8, 11	isomennd 46487	1 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℝcr 11152  ℕcn 12264  OutMeascome 46445  voln*covoln 46492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-prod 15937  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cmp 23411  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-sumge0 46319  df-ome 46446  df-ovoln 46493

This theorem is referenced by:  vonmea  46530  dmvon  46562  rrnmbl  46570  unidmvon  46573  voncmpl  46577  hspmbl  46585  isvonmbl  46594  vonmblss  46596