Theorem pfxccatin12d 14386

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
pfxccatin12d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
pfxccatin12d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		pfxccatin12d.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
3		pfxccatin12d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
4		swrdccatind.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
5	4	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐴)) = (0...𝐿))
6	5	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝐿)))
7	4	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
8	4, 7	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
9	8	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
10	6, 9	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
11	2, 3, 10	mpbir2and 709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
13	12	pfxccatin12 14374	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴))))))
14	1, 11, 13	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴)))))
15	4	opeq2d 4808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
16	15	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
17	4	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (♯‘𝐴)) = (𝑁 − 𝐿))
18	17	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴))) = (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))
19	16, 18	oveq12d 7273	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴)))) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
20	14, 19	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805   − cmin 11135  ...cfz 13168  ♯chash 13972  Word cword 14145   ++ cconcat 14201   substr csubstr 14281   prefix cpfx 14311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-substr 14282  df-pfx 14312

This theorem is referenced by: (None)