Theorem pfxccatin12d 14748

Description: The subword of a concatenation of two words within both of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
swrdccatind.l	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
pfxccatin12d.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
pfxccatin12d.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Proof of Theorem pfxccatin12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatind.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		pfxccatin12d.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
3		pfxccatin12d.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
4		swrdccatind.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝐿)
5	4	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(♯‘𝐴)) = (0...𝐿))
6	5	eleq2d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ↔ 𝑀 ∈ (0...𝐿)))
7	4	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝐿 + (♯‘𝐵)))
8	4, 7	oveq12d 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))
9	8	eleq2d 2812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))))
10	6, 9	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))))
11	2, 3, 10	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
12		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘𝐴)
13	12	pfxccatin12 14736	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...(♯‘𝐴)) ∧ 𝑁 ∈ ((♯‘𝐴)...((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴))))))
14	1, 11, 13	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴)))))
15	4	opeq2d 4878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
16	15	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
17	4	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − (♯‘𝐴)) = (𝑁 − 𝐿))
18	17	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴))) = (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿)))
19	16, 18	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, (♯‘𝐴)⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − (♯‘𝐴)))) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))
20	14, 19	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ⟨cop 4629  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149   + caddc 11152   − cmin 11485  ...cfz 13532  ♯chash 14342  Word cword 14517   ++ cconcat 14573   substr csubstr 14643   prefix cpfx 14673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-hash 14343  df-word 14518  df-concat 14574  df-substr 14644  df-pfx 14674

This theorem is referenced by: (None)