Theorem reuccatpfxs1lem 13816

Description: Lemma for reuccatpfxs1 13817. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reuccatpfxs1lem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ Word 𝑉))
2		fveq2 6411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑈))
3	2	eqeq1d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
4	1, 3	anbi12d 625	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
5	4	rspcv 3493	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6	5	adantl 474	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
7		simpl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8	7	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9		simpl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10	9	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
11		simprr 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
12		ccats1pfxeqrex 13767	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
14		s1eq 13620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
15	14	oveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
16	15	eleq1d 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
17		eqeq2 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠 ↔ 𝑆 = 𝑢))
18	16, 17	imbi12d 336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
19	18	rspcv 3493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
20		eleq1 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
21		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢))
22	21	imp 396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
23	22	eqcomd 2805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
24	23	s1eqd 13621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
25	24	oveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
26	25	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
27	26	biimpd 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
28	27	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
30	20, 29	sylbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
31	30	com3l 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
32	19, 31	sylan9r 505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
33	32	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
34	33	rexlimdva 3212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
35	34	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
36	35	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
37	13, 36	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
38	37	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
39	38	ex 402	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
40	6, 39	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41	40	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
42	41	3imp 1138	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1c1 10225   + caddc 10227  ♯chash 13370  Word cword 13534   ++ cconcat 13590  ⟨“cs1 13615   prefix cpfx 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714

This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  13817