Theorem reuccatpfxs1lem 14634

Description: Lemma for reuccatpfxs1 14635. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reuccatpfxs1lem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ Word 𝑉))
2		fveqeq2 6851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
3	1, 2	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
4	3	rspcv 3577	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11		ccats1pfxeqrex 14603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13		s1eq 14488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
14	13	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
15	14	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
16		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠 ↔ 𝑆 = 𝑢))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
18	17	rspcv 3577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
19		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
23	22	s1eqd 14489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
24	23	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
25	24	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
26	25	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
28	27	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
29	19, 28	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
30	29	com3l 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
31	18, 30	sylan9r 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
32	31	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
33	32	rexlimdva 3152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
34	33	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
36	12, 35	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
37	36	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
38	37	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
39	5, 38	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
40	39	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41	40	3imp 1111	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  1c1 11052   + caddc 11054  ♯chash 14230  Word cword 14402   ++ cconcat 14458  ⟨“cs1 14483   prefix cpfx 14558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559

This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  14635