Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reuccatpfxs1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reuccatpfxs1lem 14102
 Description: Lemma for reuccatpfxs1 14103. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
reuccatpfxs1lem (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ ∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2877 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉))
2 fveqeq2 6655 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
31, 2anbi12d 633 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
43rspcv 3566 . . . . 5 (𝑈𝑋 → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
54adantl 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
98adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11 ccats1pfxeqrex 14071 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
127, 9, 10, 11syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13 s1eq 13948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
1413oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
1514eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
16 eqeq2 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠𝑆 = 𝑢))
1715, 16imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢)))
1817rspcv 3566 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑉 → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢)))
19 eleq1 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢))
2120imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
2221eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
2322s1eqd 13949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
2423oveq2d 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
2524eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
2625biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
2726ex 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
2827com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
2919, 28sylbid 243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3029com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3118, 30sylan9r 512 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑋𝑢𝑉) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3231com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑋𝑢𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3332rexlimdva 3243 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑋 → (∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3433adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3534adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3612, 35syld 47 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3736com23 86 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3837ex 416 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
395, 38syld 47 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
4039com23 86 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41403imp 1108 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ ∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1c1 10530   + caddc 10532  ♯chash 13689  Word cword 13860   ++ cconcat 13916  ⟨“cs1 13943   prefix cpfx 14026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027 This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  14103
 Copyright terms: Public domain W3C validator