Theorem reuccatpfxs1lem 14818

Description: Lemma for reuccatpfxs1 14819. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reuccatpfxs1lem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ Word 𝑉))
2		fveqeq2 6888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
3	1, 2	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
4	3	rspcv 3572	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
9	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11		ccats1pfxeqrex 14787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13		s1eq 14670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
14	13	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
15	14	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
16		eqeq2 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠 ↔ 𝑆 = 𝑢))
17	15, 16	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
18	17	rspcv 3572	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
19		eleq1 2848	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
20		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢))
21	20	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
22	21	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
23	22	s1eqd 14671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
24	23	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
25	24	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
26	25	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
27	26	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
28	27	com13 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
29	19, 28	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
30	29	com3l 90	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
31	18, 30	sylan9r 518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
32	31	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
33	32	rexlimdva 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
35	34	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
36	12, 35	syld 48	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
37	36	com23 87	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
38	37	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
39	5, 38	syld 48	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
40	39	com23 87	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41	40	3imp 1128	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  1c1 11128   + caddc 11130  ♯chash 14397  Word cword 14581   ++ cconcat 14638  ⟨“cs1 14665   prefix cpfx 14743

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-hash 14398  df-word 14582  df-lsw 14631  df-concat 14639  df-s1 14666  df-substr 14712  df-pfx 14744

This theorem is used by:  reuccatpfxs1  14819