MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reuccatpfxs1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reuccatpfxs1lem 14098
Description: Lemma for reuccatpfxs1 14099. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
reuccatpfxs1lem (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ ∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2905 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉))
2 fveqeq2 6676 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
31, 2anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
43rspcv 3622 . . . . 5 (𝑈𝑋 → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
54adantl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
98adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11 ccats1pfxeqrex 14067 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
127, 9, 10, 11syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13 s1eq 13944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
1413oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
1514eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
16 eqeq2 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠𝑆 = 𝑢))
1715, 16imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢)))
1817rspcv 3622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢𝑉 → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢)))
19 eleq1 2905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
20 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢))
2120imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
2221eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
2322s1eqd 13945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
2423oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
2524eqeq2d 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
2625biimpd 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
2726ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
2827com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
2919, 28sylbid 241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3029com3l 89 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3118, 30sylan9r 509 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝑋𝑢𝑉) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3231com23 86 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑋𝑢𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3332rexlimdva 3289 . . . . . . . . 9 (𝑈𝑋 → (∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3433adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3534adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3612, 35syld 47 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3736com23 86 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
3837ex 413 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
395, 38syld 47 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
4039com23 86 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) → (∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41403imp 1105 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑈𝑋) ∧ ∀𝑠𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  cfv 6352  (class class class)co 7148  1c1 10527   + caddc 10529  chash 13680  Word cword 13851   ++ cconcat 13912  ⟨“cs1 13939   prefix cpfx 14022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-lsw 13905  df-concat 13913  df-s1 13940  df-substr 13993  df-pfx 14023
This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  14099
  Copyright terms: Public domain W3C validator