Theorem reuccatpfxs1lem 14557

Description: Lemma for reuccatpfxs1 14558. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reuccatpfxs1lem	⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠   𝑥,𝑈   𝑉,𝑠,𝑥   𝑊,𝑠,𝑥   𝑋,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem reuccatpfxs1lem

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ Word 𝑉))
2		fveqeq2 6834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1) ↔ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)))
3	1, 2	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑈 → ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) ↔ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
4	3	rspcv 3566	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))))
6		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → 𝑈 ∈ Word 𝑉)
10		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))
11		ccats1pfxeqrex 14526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → ∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩)))
13		s1eq 14404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ⟨“𝑠”⟩ = ⟨“𝑢”⟩)
14	13	oveq2d 7353	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩))
15	14	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
16		eqeq2 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑆 = 𝑠 ↔ 𝑆 = 𝑢))
17	15, 16	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
18	17	rspcv 3566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑉 → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢)))
19		eleq1 2824	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋))
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢))
21	20	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑆 = 𝑢)
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → 𝑢 = 𝑆)
23	22	s1eqd 14405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → ⟨“𝑢”⟩ = ⟨“𝑆”⟩)
24	23	oveq2d 7353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))
25	24	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ↔ 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
26	25	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
28	27	com13 88	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
29	19, 28	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
30	29	com3l 89	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑢) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
31	18, 30	sylan9r 509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
32	31	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
33	32	rexlimdva 3148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑋 → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
34	33	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∃𝑢 ∈ 𝑉 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑢”⟩) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
36	12, 35	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
37	36	com23 86	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩))))
38	37	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑈) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
39	5, 38	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
40	39	com23 86	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) → (∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1)) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))))
41	40	3imp 1110	1 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑉 ((𝑊 ++ ⟨“𝑠”⟩) ∈ 𝑋 → 𝑆 = 𝑠) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = ((♯‘𝑊) + 1))) → (𝑊 = (𝑈 prefix (♯‘𝑊)) → 𝑈 = (𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  1c1 10973   + caddc 10975  ♯chash 14145  Word cword 14317   ++ cconcat 14373  ⟨“cs1 14399   prefix cpfx 14481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-n0 12335  df-xnn0 12407  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-hash 14146  df-word 14318  df-lsw 14366  df-concat 14374  df-s1 14400  df-substr 14452  df-pfx 14482

This theorem is referenced by:  reuccatpfxs1  14558