Theorem seqex 13914

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13913	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8343	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9542	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6575	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2829	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ⟨cop 4583   “ cima 5624  Fun wfun 6482  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ∈ cmpo 7356  ωcom 7804  reccrdg 8336  1c1 11016   + caddc 11018  seqcseq 13912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7357  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-seq 13913

This theorem is referenced by:  seqshft  14996  clim2ser  15566  clim2ser2  15567  isermulc2  15569  isershft  15575  isercoll  15579  isercoll2  15580  iseralt  15596  fsumcvg  15623  sumrb  15624  isumclim3  15670  isumadd  15678  cvgcmp  15727  cvgcmpce  15729  trireciplem  15773  geolim  15781  geolim2  15782  geo2lim  15786  geomulcvg  15787  geoisum1c  15791  cvgrat  15794  mertens  15797  clim2prod  15799  clim2div  15800  ntrivcvg  15808  ntrivcvgfvn0  15810  ntrivcvgmullem  15812  fprodcvg  15841  prodrblem2  15842  fprodntriv  15853  iprodclim3  15911  iprodmul  15914  efcj  16003  eftlub  16022  eflegeo  16034  rpnnen2lem5  16131  mulgfvalALT  18987  ovoliunnul  25438  ioombl1lem4  25492  vitalilem5  25543  dvnfval  25854  aaliou3lem3  26282  dvradcnv  26360  pserulm  26361  abelthlem6  26376  abelthlem7  26378  abelthlem9  26380  logtayllem  26598  logtayl  26599  atantayl  26877  leibpilem2  26881  leibpi  26882  log2tlbnd  26885  zetacvg  26955  lgamgulm2  26976  lgamcvglem  26980  lgamcvg2  26995  dchrisumlem3  27432  dchrisum0re  27454  esumcvgsum  34124  sseqval  34424  iprodgam  35809  faclim  35813  knoppcnlem6  36565  knoppcnlem9  36568  knoppndvlem4  36582  knoppndvlem6  36584  knoppf  36602  geomcau  37822  dvradcnv2  44467  binomcxplemnotnn0  44476  sumnnodd  45757  stirlinglem5  46203  stirlinglem7  46205  fourierdlem112  46343  sge0isum  46552  itcoval  48789