Theorem seqex 13732

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13731	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8256	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9410	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6527	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 689	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2836	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3433  ⟨cop 4568   “ cima 5593  Fun wfun 6431  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ∈ cmpo 7286  ωcom 7721  reccrdg 8249  1c1 10881   + caddc 10883  seqcseq 13730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-seq 13731

This theorem is referenced by:  seqshft  14805  clim2ser  15375  clim2ser2  15376  isermulc2  15378  isershft  15384  isercoll  15388  isercoll2  15389  iseralt  15405  fsumcvg  15433  sumrb  15434  isumclim3  15480  isumadd  15488  cvgcmp  15537  cvgcmpce  15539  trireciplem  15583  geolim  15591  geolim2  15592  geo2lim  15596  geomulcvg  15597  geoisum1c  15601  cvgrat  15604  mertens  15607  clim2prod  15609  clim2div  15610  ntrivcvg  15618  ntrivcvgfvn0  15620  ntrivcvgmullem  15622  fprodcvg  15649  prodrblem2  15650  fprodntriv  15661  iprodclim3  15719  iprodmul  15722  efcj  15810  eftlub  15827  eflegeo  15839  rpnnen2lem5  15936  mulgfvalALT  18712  ovoliunnul  24680  ioombl1lem4  24734  vitalilem5  24785  dvnfval  25095  aaliou3lem3  25513  dvradcnv  25589  pserulm  25590  abelthlem6  25604  abelthlem7  25606  abelthlem9  25608  logtayllem  25823  logtayl  25824  atantayl  26096  leibpilem2  26100  leibpi  26101  log2tlbnd  26104  zetacvg  26173  lgamgulm2  26194  lgamcvglem  26198  lgamcvg2  26213  dchrisumlem3  26648  dchrisum0re  26670  esumcvgsum  32065  sseqval  32364  iprodgam  33717  faclim  33721  knoppcnlem6  34687  knoppcnlem9  34690  knoppndvlem4  34704  knoppndvlem6  34706  knoppf  34724  geomcau  35926  dvradcnv2  41972  binomcxplemnotnn0  41981  sumnnodd  43178  stirlinglem5  43626  stirlinglem7  43628  fourierdlem112  43766  sge0isum  43972  itcoval  46018