MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqex 13354
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 13353 . 2 seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω)
2 rdgfun 8027 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
3 omex 9082 . . 3 ω ∈ V
4 funimaexg 6413 . . 3 ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 691 . 2 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
61, 5eqeltri 2908 1 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115  Vcvv 3471  cop 4546  cima 5531  Fun wfun 6322  cfv 6328  (class class class)co 7130  cmpo 7132  ωcom 7555  reccrdg 8020  1c1 10515   + caddc 10517  seqcseq 13352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-seq 13353
This theorem is referenced by:  seqshft  14423  clim2ser  14990  clim2ser2  14991  isermulc2  14993  isershft  14999  isercoll  15003  isercoll2  15004  iseralt  15020  fsumcvg  15048  sumrb  15049  isumclim3  15093  isumadd  15101  cvgcmp  15150  cvgcmpce  15152  trireciplem  15196  geolim  15205  geolim2  15206  geo2lim  15210  geomulcvg  15211  geoisum1c  15215  cvgrat  15218  mertens  15221  clim2prod  15223  clim2div  15224  ntrivcvg  15232  ntrivcvgfvn0  15234  ntrivcvgmullem  15236  fprodcvg  15263  prodrblem2  15264  fprodntriv  15275  iprodclim3  15333  iprodmul  15336  efcj  15424  eftlub  15441  eflegeo  15453  rpnnen2lem5  15550  mulgfvalALT  18206  ovoliunnul  24090  ioombl1lem4  24144  vitalilem5  24195  dvnfval  24504  aaliou3lem3  24919  dvradcnv  24995  pserulm  24996  abelthlem6  25010  abelthlem7  25012  abelthlem9  25014  logtayllem  25229  logtayl  25230  atantayl  25502  leibpilem2  25506  leibpi  25507  log2tlbnd  25510  zetacvg  25579  lgamgulm2  25600  lgamcvglem  25604  lgamcvg2  25619  dchrisumlem3  26054  dchrisum0re  26076  esumcvgsum  31355  sseqval  31654  iprodgam  32982  faclim  32986  knoppcnlem6  33845  knoppcnlem9  33848  knoppndvlem4  33862  knoppndvlem6  33864  knoppf  33882  geomcau  35083  dvradcnv2  40866  binomcxplemnotnn0  40875  sumnnodd  42095  stirlinglem5  42543  stirlinglem7  42545  fourierdlem112  42683  sge0isum  42889  itcoval  44886
  Copyright terms: Public domain W3C validator