Theorem seqex 14027

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14026	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8391	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9600	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6612	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2861	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ⟨cop 4591   “ cima 5654  Fun wfun 6519  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ωcom 7850  reccrdg 8384  1c1 11089   + caddc 11091  seqcseq 14025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-seq 14026

This theorem is referenced by:  seqshft  15110  clim2ser  15694  clim2ser2  15695  isermulc2  15697  isershft  15703  isercoll  15707  isercoll2  15708  iseralt  15724  fsumcvg  15751  sumrb  15752  isumclim3  15798  isumadd  15806  cvgcmp  15856  cvgcmpce  15858  trireciplem  15904  geolim  15912  geolim2  15913  geo2lim  15917  geomulcvg  15918  geoisum1c  15922  cvgrat  15925  mertens  15928  clim2prod  15930  clim2div  15931  ntrivcvg  15939  ntrivcvgfvn0  15941  ntrivcvgmullem  15943  fprodcvg  15972  prodrblem2  15973  fprodntriv  15984  iprodclim3  16042  iprodmul  16045  efcj  16134  eftlub  16153  eflegeo  16165  rpnnen2lem5  16262  mulgfvalALT  19124  ovoliunnul  25623  ioombl1lem4  25677  vitalilem5  25728  dvnfval  26038  aaliou3lem3  26462  dvradcnv  26538  pserulm  26539  abelthlem6  26553  abelthlem7  26555  abelthlem9  26557  logtayllem  26778  logtayl  26779  atantayl  27056  leibpilem2  27060  leibpi  27061  log2tlbnd  27064  zetacvg  27133  lgamgulm2  27154  lgamcvglem  27158  lgamcvg2  27173  dchrisumlem3  27609  dchrisum0re  27631  esumcvgsum  34390  sseqval  34690  iprodgam  36100  faclim  36104  knoppcnlem6  36944  knoppcnlem9  36947  knoppndvlem4  36961  knoppndvlem6  36963  knoppf  36981  geomcau  38265  dvradcnv2  44916  binomcxplemnotnn0  44925  sumnnodd  46205  stirlinglem5  46651  stirlinglem7  46653  fourierdlem112  46791  sge0isum  47000  itcoval  49293