Theorem seqex 13010

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13009	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 7665	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 8704	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6115	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 664	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2846	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  ⟨cop 4322   “ cima 5252  Fun wfun 6025  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  ωcom 7212  reccrdg 7658  1c1 10139   + caddc 10141  seqcseq 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-seq 13009

This theorem is referenced by:  seqshft  14033  clim2ser  14593  clim2ser2  14594  isermulc2  14596  isershft  14602  isercoll  14606  isercoll2  14607  iseralt  14623  fsumcvg  14651  sumrb  14652  isumclim3  14698  isumadd  14706  cvgcmp  14755  cvgcmpce  14757  trireciplem  14801  geolim  14808  geolim2  14809  geo2lim  14813  geomulcvg  14814  geoisum1c  14818  cvgrat  14822  mertens  14825  clim2prod  14827  clim2div  14828  ntrivcvg  14836  ntrivcvgfvn0  14838  ntrivcvgmullem  14840  fprodcvg  14867  prodrblem2  14868  fprodntriv  14879  iprodclim3  14937  iprodmul  14940  efcj  15028  eftlub  15045  eflegeo  15057  rpnnen2lem5  15153  mulgfval  17750  ovoliunnul  23495  ioombl1lem4  23549  vitalilem5  23600  dvnfval  23905  aaliou3lem3  24319  dvradcnv  24395  pserulm  24396  abelthlem6  24410  abelthlem7  24412  abelthlem9  24414  logtayllem  24626  logtayl  24627  atantayl  24885  leibpilem2  24889  leibpi  24890  log2tlbnd  24893  zetacvg  24962  lgamgulm2  24983  lgamcvglem  24987  lgamcvg2  25002  dchrisumlem3  25401  dchrisum0re  25423  esumcvgsum  30490  sseqval  30790  iprodgam  31966  faclim  31970  knoppcnlem6  32825  knoppcnlem9  32828  knoppndvlem4  32843  knoppndvlem6  32845  knoppf  32863  geomcau  33887  dvradcnv2  39072  binomcxplemnotnn0  39081  sumnnodd  40380  stirlinglem5  40812  stirlinglem7  40814  fourierdlem112  40952  sge0isum  41161