Theorem seqex 13968

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13967	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8384	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9596	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6603	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2824	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ⟨cop 4595   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  ωcom 7842  reccrdg 8377  1c1 11069   + caddc 11071  seqcseq 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-seq 13967

This theorem is referenced by:  seqshft  15051  clim2ser  15621  clim2ser2  15622  isermulc2  15624  isershft  15630  isercoll  15634  isercoll2  15635  iseralt  15651  fsumcvg  15678  sumrb  15679  isumclim3  15725  isumadd  15733  cvgcmp  15782  cvgcmpce  15784  trireciplem  15828  geolim  15836  geolim2  15837  geo2lim  15841  geomulcvg  15842  geoisum1c  15846  cvgrat  15849  mertens  15852  clim2prod  15854  clim2div  15855  ntrivcvg  15863  ntrivcvgfvn0  15865  ntrivcvgmullem  15867  fprodcvg  15896  prodrblem2  15897  fprodntriv  15908  iprodclim3  15966  iprodmul  15969  efcj  16058  eftlub  16077  eflegeo  16089  rpnnen2lem5  16186  mulgfvalALT  19002  ovoliunnul  25408  ioombl1lem4  25462  vitalilem5  25513  dvnfval  25824  aaliou3lem3  26252  dvradcnv  26330  pserulm  26331  abelthlem6  26346  abelthlem7  26348  abelthlem9  26350  logtayllem  26568  logtayl  26569  atantayl  26847  leibpilem2  26851  leibpi  26852  log2tlbnd  26855  zetacvg  26925  lgamgulm2  26946  lgamcvglem  26950  lgamcvg2  26965  dchrisumlem3  27402  dchrisum0re  27424  esumcvgsum  34078  sseqval  34379  iprodgam  35729  faclim  35733  knoppcnlem6  36486  knoppcnlem9  36489  knoppndvlem4  36503  knoppndvlem6  36505  knoppf  36523  geomcau  37753  dvradcnv2  44336  binomcxplemnotnn0  44345  sumnnodd  45628  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  fourierdlem112  46216  sge0isum  46425  itcoval  48650