Theorem seqex 14150

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14149	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8428	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9648	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6627	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2856	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟨cop 4834   “ cima 5653  Fun wfun 6533  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ωcom 7878  reccrdg 8421  1c1 11205   + caddc 11207  seqcseq 14148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-seq 14149

This theorem is used by:  seqshft  15244  clim2ser  15828  clim2ser2  15829  isermulc2  15831  isershft  15837  isercoll  15841  isercoll2  15842  iseralt  15858  fsumcvg  15884  sumrb  15885  isumclim3  15931  isumadd  15939  cvgcmp  15989  cvgcmpce  15991  trireciplem  16037  geolim  16045  geolim2  16046  geo2lim  16050  geomulcvg  16051  geoisum1c  16055  cvgrat  16058  mertens  16061  clim2prod  16063  clim2div  16064  ntrivcvg  16072  ntrivcvgfvn0  16074  ntrivcvgmullem  16076  fprodcvg  16103  prodrblem2  16104  fprodntriv  16115  iprodclim3  16173  iprodmul  16176  efcj  16264  eftlub  16283  eflegeo  16295  rpnnen2lem5  16392  mulgfvalALT  19286  ovoliunnul  25834  ioombl1lem4  25888  vitalilem5  25939  dvnfval  26248  aaliou3lem3  26677  dvradcnv  26754  pserulm  26755  abelthlem6  26769  abelthlem7  26771  abelthlem9  26773  logtayllem  26993  logtayl  26994  atantayl  27271  leibpilem2  27275  leibpi  27276  log2tlbnd  27279  zetacvg  27348  lgamgulm2  27369  lgamcvglem  27373  lgamcvg2  27388  dchrisumlem3  27824  dchrisum0re  27846  esumcvgsum  34767  sseqval  35067  iprodgam  36600  faclim  36604  knoppcnlem6  37457  knoppcnlem9  37460  knoppndvlem4  37474  knoppndvlem6  37476  knoppf  37494  geomcau  38787  dvradcnv2  45425  binomcxplemnotnn0  45434  sumnnodd  46736  stirlinglem5  47182  stirlinglem7  47184  fourierdlem112  47322  sge0isum  47531  itcoval  49867