MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqex 13917
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 13916 . 2 seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω)
2 rdgfun 8366 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
3 omex 9587 . . 3 ω ∈ V
4 funimaexg 6591 . . 3 ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 691 . 2 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
61, 5eqeltri 2830 1 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107  Vcvv 3447  cop 4596  cima 5640  Fun wfun 6494  cfv 6500  (class class class)co 7361  cmpo 7363  ωcom 7806  reccrdg 8359  1c1 11060   + caddc 11062  seqcseq 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-seq 13916
This theorem is referenced by:  seqshft  14979  clim2ser  15548  clim2ser2  15549  isermulc2  15551  isershft  15557  isercoll  15561  isercoll2  15562  iseralt  15578  fsumcvg  15605  sumrb  15606  isumclim3  15652  isumadd  15660  cvgcmp  15709  cvgcmpce  15711  trireciplem  15755  geolim  15763  geolim2  15764  geo2lim  15768  geomulcvg  15769  geoisum1c  15773  cvgrat  15776  mertens  15779  clim2prod  15781  clim2div  15782  ntrivcvg  15790  ntrivcvgfvn0  15792  ntrivcvgmullem  15794  fprodcvg  15821  prodrblem2  15822  fprodntriv  15833  iprodclim3  15891  iprodmul  15894  efcj  15982  eftlub  15999  eflegeo  16011  rpnnen2lem5  16108  mulgfvalALT  18883  ovoliunnul  24894  ioombl1lem4  24948  vitalilem5  24999  dvnfval  25309  aaliou3lem3  25727  dvradcnv  25803  pserulm  25804  abelthlem6  25818  abelthlem7  25820  abelthlem9  25822  logtayllem  26037  logtayl  26038  atantayl  26310  leibpilem2  26314  leibpi  26315  log2tlbnd  26318  zetacvg  26387  lgamgulm2  26408  lgamcvglem  26412  lgamcvg2  26427  dchrisumlem3  26862  dchrisum0re  26884  esumcvgsum  32751  sseqval  33052  iprodgam  34378  faclim  34382  knoppcnlem6  35014  knoppcnlem9  35017  knoppndvlem4  35031  knoppndvlem6  35033  knoppf  35051  geomcau  36268  dvradcnv2  42719  binomcxplemnotnn0  42728  sumnnodd  43961  stirlinglem5  44409  stirlinglem7  44411  fourierdlem112  44549  sge0isum  44758  itcoval  46837
  Copyright terms: Public domain W3C validator