Theorem seqex 14019

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14018	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8428	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9655	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6622	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2830	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ⟨cop 4607   “ cima 5657  Fun wfun 6524  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   ∈ cmpo 7405  ωcom 7859  reccrdg 8421  1c1 11128   + caddc 11130  seqcseq 14017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-seq 14018

This theorem is referenced by:  seqshft  15102  clim2ser  15669  clim2ser2  15670  isermulc2  15672  isershft  15678  isercoll  15682  isercoll2  15683  iseralt  15699  fsumcvg  15726  sumrb  15727  isumclim3  15773  isumadd  15781  cvgcmp  15830  cvgcmpce  15832  trireciplem  15876  geolim  15884  geolim2  15885  geo2lim  15889  geomulcvg  15890  geoisum1c  15894  cvgrat  15897  mertens  15900  clim2prod  15902  clim2div  15903  ntrivcvg  15911  ntrivcvgfvn0  15913  ntrivcvgmullem  15915  fprodcvg  15944  prodrblem2  15945  fprodntriv  15956  iprodclim3  16014  iprodmul  16017  efcj  16106  eftlub  16125  eflegeo  16137  rpnnen2lem5  16234  mulgfvalALT  19051  ovoliunnul  25458  ioombl1lem4  25512  vitalilem5  25563  dvnfval  25874  aaliou3lem3  26302  dvradcnv  26380  pserulm  26381  abelthlem6  26396  abelthlem7  26398  abelthlem9  26400  logtayllem  26618  logtayl  26619  atantayl  26897  leibpilem2  26901  leibpi  26902  log2tlbnd  26905  zetacvg  26975  lgamgulm2  26996  lgamcvglem  27000  lgamcvg2  27015  dchrisumlem3  27452  dchrisum0re  27474  esumcvgsum  34065  sseqval  34366  iprodgam  35705  faclim  35709  knoppcnlem6  36462  knoppcnlem9  36465  knoppndvlem4  36479  knoppndvlem6  36481  knoppf  36499  geomcau  37729  dvradcnv2  44319  binomcxplemnotnn0  44328  sumnnodd  45607  stirlinglem5  46055  stirlinglem7  46057  fourierdlem112  46195  sge0isum  46404  itcoval  48589