Theorem seqex 13968

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13967	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8416	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9638	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6635	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2830	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ⟨cop 4635   “ cima 5680  Fun wfun 6538  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  ωcom 7855  reccrdg 8409  1c1 11111   + caddc 11113  seqcseq 13966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-seq 13967

This theorem is referenced by:  seqshft  15032  clim2ser  15601  clim2ser2  15602  isermulc2  15604  isershft  15610  isercoll  15614  isercoll2  15615  iseralt  15631  fsumcvg  15658  sumrb  15659  isumclim3  15705  isumadd  15713  cvgcmp  15762  cvgcmpce  15764  trireciplem  15808  geolim  15816  geolim2  15817  geo2lim  15821  geomulcvg  15822  geoisum1c  15826  cvgrat  15829  mertens  15832  clim2prod  15834  clim2div  15835  ntrivcvg  15843  ntrivcvgfvn0  15845  ntrivcvgmullem  15847  fprodcvg  15874  prodrblem2  15875  fprodntriv  15886  iprodclim3  15944  iprodmul  15947  efcj  16035  eftlub  16052  eflegeo  16064  rpnnen2lem5  16161  mulgfvalALT  18953  ovoliunnul  25024  ioombl1lem4  25078  vitalilem5  25129  dvnfval  25439  aaliou3lem3  25857  dvradcnv  25933  pserulm  25934  abelthlem6  25948  abelthlem7  25950  abelthlem9  25952  logtayllem  26167  logtayl  26168  atantayl  26442  leibpilem2  26446  leibpi  26447  log2tlbnd  26450  zetacvg  26519  lgamgulm2  26540  lgamcvglem  26544  lgamcvg2  26559  dchrisumlem3  26994  dchrisum0re  27016  esumcvgsum  33117  sseqval  33418  iprodgam  34743  faclim  34747  knoppcnlem6  35422  knoppcnlem9  35425  knoppndvlem4  35439  knoppndvlem6  35441  knoppf  35459  geomcau  36675  dvradcnv2  43154  binomcxplemnotnn0  43163  sumnnodd  44394  stirlinglem5  44842  stirlinglem7  44844  fourierdlem112  44982  sge0isum  45191  itcoval  47395