Theorem seqex 14044

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14043	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8456	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9683	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6653	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2837	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ⟨cop 4632   “ cima 5688  Fun wfun 6555  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ωcom 7887  reccrdg 8449  1c1 11156   + caddc 11158  seqcseq 14042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seq 14043

This theorem is referenced by:  seqshft  15124  clim2ser  15691  clim2ser2  15692  isermulc2  15694  isershft  15700  isercoll  15704  isercoll2  15705  iseralt  15721  fsumcvg  15748  sumrb  15749  isumclim3  15795  isumadd  15803  cvgcmp  15852  cvgcmpce  15854  trireciplem  15898  geolim  15906  geolim2  15907  geo2lim  15911  geomulcvg  15912  geoisum1c  15916  cvgrat  15919  mertens  15922  clim2prod  15924  clim2div  15925  ntrivcvg  15933  ntrivcvgfvn0  15935  ntrivcvgmullem  15937  fprodcvg  15966  prodrblem2  15967  fprodntriv  15978  iprodclim3  16036  iprodmul  16039  efcj  16128  eftlub  16145  eflegeo  16157  rpnnen2lem5  16254  mulgfvalALT  19088  ovoliunnul  25542  ioombl1lem4  25596  vitalilem5  25647  dvnfval  25958  aaliou3lem3  26386  dvradcnv  26464  pserulm  26465  abelthlem6  26480  abelthlem7  26482  abelthlem9  26484  logtayllem  26701  logtayl  26702  atantayl  26980  leibpilem2  26984  leibpi  26985  log2tlbnd  26988  zetacvg  27058  lgamgulm2  27079  lgamcvglem  27083  lgamcvg2  27098  dchrisumlem3  27535  dchrisum0re  27557  esumcvgsum  34089  sseqval  34390  iprodgam  35742  faclim  35746  knoppcnlem6  36499  knoppcnlem9  36502  knoppndvlem4  36516  knoppndvlem6  36518  knoppf  36536  geomcau  37766  dvradcnv2  44366  binomcxplemnotnn0  44375  sumnnodd  45645  stirlinglem5  46093  stirlinglem7  46095  fourierdlem112  46233  sge0isum  46442  itcoval  48582