Theorem seqex 13926

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13925	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8347	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9552	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6579	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2832	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ⟨cop 4586   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  ωcom 7808  reccrdg 8340  1c1 11027   + caddc 11029  seqcseq 13924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-seq 13925

This theorem is referenced by:  seqshft  15008  clim2ser  15578  clim2ser2  15579  isermulc2  15581  isershft  15587  isercoll  15591  isercoll2  15592  iseralt  15608  fsumcvg  15635  sumrb  15636  isumclim3  15682  isumadd  15690  cvgcmp  15739  cvgcmpce  15741  trireciplem  15785  geolim  15793  geolim2  15794  geo2lim  15798  geomulcvg  15799  geoisum1c  15803  cvgrat  15806  mertens  15809  clim2prod  15811  clim2div  15812  ntrivcvg  15820  ntrivcvgfvn0  15822  ntrivcvgmullem  15824  fprodcvg  15853  prodrblem2  15854  fprodntriv  15865  iprodclim3  15923  iprodmul  15926  efcj  16015  eftlub  16034  eflegeo  16046  rpnnen2lem5  16143  mulgfvalALT  19000  ovoliunnul  25464  ioombl1lem4  25518  vitalilem5  25569  dvnfval  25880  aaliou3lem3  26308  dvradcnv  26386  pserulm  26387  abelthlem6  26402  abelthlem7  26404  abelthlem9  26406  logtayllem  26624  logtayl  26625  atantayl  26903  leibpilem2  26907  leibpi  26908  log2tlbnd  26911  zetacvg  26981  lgamgulm2  27002  lgamcvglem  27006  lgamcvg2  27021  dchrisumlem3  27458  dchrisum0re  27480  esumcvgsum  34245  sseqval  34545  iprodgam  35936  faclim  35940  knoppcnlem6  36698  knoppcnlem9  36701  knoppndvlem4  36715  knoppndvlem6  36717  knoppf  36735  geomcau  37960  dvradcnv2  44588  binomcxplemnotnn0  44597  sumnnodd  45876  stirlinglem5  46322  stirlinglem7  46324  fourierdlem112  46462  sge0isum  46671  itcoval  48907