Theorem seqex 13938

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13937	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8357	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9564	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6587	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2833	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⟨cop 4588   “ cima 5635  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ωcom 7818  reccrdg 8350  1c1 11039   + caddc 11041  seqcseq 13936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-seq 13937

This theorem is referenced by:  seqshft  15020  clim2ser  15590  clim2ser2  15591  isermulc2  15593  isershft  15599  isercoll  15603  isercoll2  15604  iseralt  15620  fsumcvg  15647  sumrb  15648  isumclim3  15694  isumadd  15702  cvgcmp  15751  cvgcmpce  15753  trireciplem  15797  geolim  15805  geolim2  15806  geo2lim  15810  geomulcvg  15811  geoisum1c  15815  cvgrat  15818  mertens  15821  clim2prod  15823  clim2div  15824  ntrivcvg  15832  ntrivcvgfvn0  15834  ntrivcvgmullem  15836  fprodcvg  15865  prodrblem2  15866  fprodntriv  15877  iprodclim3  15935  iprodmul  15938  efcj  16027  eftlub  16046  eflegeo  16058  rpnnen2lem5  16155  mulgfvalALT  19012  ovoliunnul  25476  ioombl1lem4  25530  vitalilem5  25581  dvnfval  25892  aaliou3lem3  26320  dvradcnv  26398  pserulm  26399  abelthlem6  26414  abelthlem7  26416  abelthlem9  26418  logtayllem  26636  logtayl  26637  atantayl  26915  leibpilem2  26919  leibpi  26920  log2tlbnd  26923  zetacvg  26993  lgamgulm2  27014  lgamcvglem  27018  lgamcvg2  27033  dchrisumlem3  27470  dchrisum0re  27492  esumcvgsum  34265  sseqval  34565  iprodgam  35955  faclim  35959  knoppcnlem6  36717  knoppcnlem9  36720  knoppndvlem4  36734  knoppndvlem6  36736  knoppf  36754  geomcau  38007  dvradcnv2  44700  binomcxplemnotnn0  44709  sumnnodd  45987  stirlinglem5  46433  stirlinglem7  46435  fourierdlem112  46573  sge0isum  46782  itcoval  49018