Theorem seqex 13965

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13964	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8355	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9564	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6585	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 693	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2832	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ⟨cop 4573   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  ωcom 7817  reccrdg 8348  1c1 11039   + caddc 11041  seqcseq 13963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-seq 13964

This theorem is referenced by:  seqshft  15047  clim2ser  15617  clim2ser2  15618  isermulc2  15620  isershft  15626  isercoll  15630  isercoll2  15631  iseralt  15647  fsumcvg  15674  sumrb  15675  isumclim3  15721  isumadd  15729  cvgcmp  15779  cvgcmpce  15781  trireciplem  15827  geolim  15835  geolim2  15836  geo2lim  15840  geomulcvg  15841  geoisum1c  15845  cvgrat  15848  mertens  15851  clim2prod  15853  clim2div  15854  ntrivcvg  15862  ntrivcvgfvn0  15864  ntrivcvgmullem  15866  fprodcvg  15895  prodrblem2  15896  fprodntriv  15907  iprodclim3  15965  iprodmul  15968  efcj  16057  eftlub  16076  eflegeo  16088  rpnnen2lem5  16185  mulgfvalALT  19046  ovoliunnul  25474  ioombl1lem4  25528  vitalilem5  25579  dvnfval  25889  aaliou3lem3  26310  dvradcnv  26386  pserulm  26387  abelthlem6  26401  abelthlem7  26403  abelthlem9  26405  logtayllem  26623  logtayl  26624  atantayl  26901  leibpilem2  26905  leibpi  26906  log2tlbnd  26909  zetacvg  26978  lgamgulm2  26999  lgamcvglem  27003  lgamcvg2  27018  dchrisumlem3  27454  dchrisum0re  27476  esumcvgsum  34232  sseqval  34532  iprodgam  35924  faclim  35928  knoppcnlem6  36758  knoppcnlem9  36761  knoppndvlem4  36775  knoppndvlem6  36777  knoppf  36795  geomcau  38080  dvradcnv2  44774  binomcxplemnotnn0  44783  sumnnodd  46060  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  fourierdlem112  46646  sge0isum  46855  itcoval  49137