Theorem seqex 13928

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13927	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8345	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9558	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6573	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2824	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ⟨cop 4585   “ cima 5626  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ωcom 7806  reccrdg 8338  1c1 11029   + caddc 11031  seqcseq 13926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seq 13927

This theorem is referenced by:  seqshft  15010  clim2ser  15580  clim2ser2  15581  isermulc2  15583  isershft  15589  isercoll  15593  isercoll2  15594  iseralt  15610  fsumcvg  15637  sumrb  15638  isumclim3  15684  isumadd  15692  cvgcmp  15741  cvgcmpce  15743  trireciplem  15787  geolim  15795  geolim2  15796  geo2lim  15800  geomulcvg  15801  geoisum1c  15805  cvgrat  15808  mertens  15811  clim2prod  15813  clim2div  15814  ntrivcvg  15822  ntrivcvgfvn0  15824  ntrivcvgmullem  15826  fprodcvg  15855  prodrblem2  15856  fprodntriv  15867  iprodclim3  15925  iprodmul  15928  efcj  16017  eftlub  16036  eflegeo  16048  rpnnen2lem5  16145  mulgfvalALT  18967  ovoliunnul  25424  ioombl1lem4  25478  vitalilem5  25529  dvnfval  25840  aaliou3lem3  26268  dvradcnv  26346  pserulm  26347  abelthlem6  26362  abelthlem7  26364  abelthlem9  26366  logtayllem  26584  logtayl  26585  atantayl  26863  leibpilem2  26867  leibpi  26868  log2tlbnd  26871  zetacvg  26941  lgamgulm2  26962  lgamcvglem  26966  lgamcvg2  26981  dchrisumlem3  27418  dchrisum0re  27440  esumcvgsum  34057  sseqval  34358  iprodgam  35717  faclim  35721  knoppcnlem6  36474  knoppcnlem9  36477  knoppndvlem4  36491  knoppndvlem6  36493  knoppf  36511  geomcau  37741  dvradcnv2  44323  binomcxplemnotnn0  44332  sumnnodd  45615  stirlinglem5  46063  stirlinglem7  46065  fourierdlem112  46203  sge0isum  46412  itcoval  48650