Theorem seqex 13910

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13909	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8335	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9533	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6568	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2827	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ⟨cop 4582   “ cima 5619  Fun wfun 6475  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  ωcom 7796  reccrdg 8328  1c1 11007   + caddc 11009  seqcseq 13908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-seq 13909

This theorem is referenced by:  seqshft  14992  clim2ser  15562  clim2ser2  15563  isermulc2  15565  isershft  15571  isercoll  15575  isercoll2  15576  iseralt  15592  fsumcvg  15619  sumrb  15620  isumclim3  15666  isumadd  15674  cvgcmp  15723  cvgcmpce  15725  trireciplem  15769  geolim  15777  geolim2  15778  geo2lim  15782  geomulcvg  15783  geoisum1c  15787  cvgrat  15790  mertens  15793  clim2prod  15795  clim2div  15796  ntrivcvg  15804  ntrivcvgfvn0  15806  ntrivcvgmullem  15808  fprodcvg  15837  prodrblem2  15838  fprodntriv  15849  iprodclim3  15907  iprodmul  15910  efcj  15999  eftlub  16018  eflegeo  16030  rpnnen2lem5  16127  mulgfvalALT  18983  ovoliunnul  25436  ioombl1lem4  25490  vitalilem5  25541  dvnfval  25852  aaliou3lem3  26280  dvradcnv  26358  pserulm  26359  abelthlem6  26374  abelthlem7  26376  abelthlem9  26378  logtayllem  26596  logtayl  26597  atantayl  26875  leibpilem2  26879  leibpi  26880  log2tlbnd  26883  zetacvg  26953  lgamgulm2  26974  lgamcvglem  26978  lgamcvg2  26993  dchrisumlem3  27430  dchrisum0re  27452  esumcvgsum  34099  sseqval  34399  iprodgam  35784  faclim  35788  knoppcnlem6  36538  knoppcnlem9  36541  knoppndvlem4  36555  knoppndvlem6  36557  knoppf  36575  geomcau  37805  dvradcnv2  44386  binomcxplemnotnn0  44395  sumnnodd  45676  stirlinglem5  46122  stirlinglem7  46124  fourierdlem112  46262  sge0isum  46471  itcoval  48699