Theorem seqex 14001

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14000	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8437	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9667	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6639	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2825	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  ⟨cop 4635   “ cima 5681  Fun wfun 6542  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ωcom 7870  reccrdg 8430  1c1 11140   + caddc 11142  seqcseq 13999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-seq 14000

This theorem is referenced by:  seqshft  15065  clim2ser  15634  clim2ser2  15635  isermulc2  15637  isershft  15643  isercoll  15647  isercoll2  15648  iseralt  15664  fsumcvg  15691  sumrb  15692  isumclim3  15738  isumadd  15746  cvgcmp  15795  cvgcmpce  15797  trireciplem  15841  geolim  15849  geolim2  15850  geo2lim  15854  geomulcvg  15855  geoisum1c  15859  cvgrat  15862  mertens  15865  clim2prod  15867  clim2div  15868  ntrivcvg  15876  ntrivcvgfvn0  15878  ntrivcvgmullem  15880  fprodcvg  15907  prodrblem2  15908  fprodntriv  15919  iprodclim3  15977  iprodmul  15980  efcj  16069  eftlub  16086  eflegeo  16098  rpnnen2lem5  16195  mulgfvalALT  19026  ovoliunnul  25449  ioombl1lem4  25503  vitalilem5  25554  dvnfval  25865  aaliou3lem3  26292  dvradcnv  26370  pserulm  26371  abelthlem6  26386  abelthlem7  26388  abelthlem9  26390  logtayllem  26606  logtayl  26607  atantayl  26882  leibpilem2  26886  leibpi  26887  log2tlbnd  26890  zetacvg  26960  lgamgulm2  26981  lgamcvglem  26985  lgamcvg2  27000  dchrisumlem3  27437  dchrisum0re  27459  esumcvgsum  33707  sseqval  34008  iprodgam  35336  faclim  35340  knoppcnlem6  35973  knoppcnlem9  35976  knoppndvlem4  35990  knoppndvlem6  35992  knoppf  36010  geomcau  37232  dvradcnv2  43784  binomcxplemnotnn0  43793  sumnnodd  45018  stirlinglem5  45466  stirlinglem7  45468  fourierdlem112  45606  sge0isum  45815  itcoval  47734