Theorem seqex 14013

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14012	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8382	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9595	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6604	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 702	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2857	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⟨cop 4587   “ cima 5648  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  ωcom 7842  reccrdg 8375  1c1 11071   + caddc 11073  seqcseq 14011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-seq 14012

This theorem is referenced by:  seqshft  15095  clim2ser  15665  clim2ser2  15666  isermulc2  15668  isershft  15674  isercoll  15678  isercoll2  15679  iseralt  15695  fsumcvg  15722  sumrb  15723  isumclim3  15769  isumadd  15777  cvgcmp  15827  cvgcmpce  15829  trireciplem  15875  geolim  15883  geolim2  15884  geo2lim  15888  geomulcvg  15889  geoisum1c  15893  cvgrat  15896  mertens  15899  clim2prod  15901  clim2div  15902  ntrivcvg  15910  ntrivcvgfvn0  15912  ntrivcvgmullem  15914  fprodcvg  15943  prodrblem2  15944  fprodntriv  15955  iprodclim3  16013  iprodmul  16016  efcj  16105  eftlub  16124  eflegeo  16136  rpnnen2lem5  16233  mulgfvalALT  19095  ovoliunnul  25549  ioombl1lem4  25603  vitalilem5  25654  dvnfval  25964  aaliou3lem3  26385  dvradcnv  26461  pserulm  26462  abelthlem6  26476  abelthlem7  26478  abelthlem9  26480  logtayllem  26701  logtayl  26702  atantayl  26979  leibpilem2  26983  leibpi  26984  log2tlbnd  26987  zetacvg  27056  lgamgulm2  27077  lgamcvglem  27081  lgamcvg2  27096  dchrisumlem3  27532  dchrisum0re  27554  esumcvgsum  34346  sseqval  34646  iprodgam  36056  faclim  36060  knoppcnlem6  36900  knoppcnlem9  36903  knoppndvlem4  36917  knoppndvlem6  36919  knoppf  36937  geomcau  38222  dvradcnv2  44887  binomcxplemnotnn0  44896  sumnnodd  46170  stirlinglem5  46616  stirlinglem7  46618  fourierdlem112  46756  sge0isum  46965  itcoval  49247