Theorem seqex 13967

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13966	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8415	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9637	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6634	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2829	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ⟨cop 4634   “ cima 5679  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  ωcom 7854  reccrdg 8408  1c1 11110   + caddc 11112  seqcseq 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-seq 13966

This theorem is referenced by:  seqshft  15031  clim2ser  15600  clim2ser2  15601  isermulc2  15603  isershft  15609  isercoll  15613  isercoll2  15614  iseralt  15630  fsumcvg  15657  sumrb  15658  isumclim3  15704  isumadd  15712  cvgcmp  15761  cvgcmpce  15763  trireciplem  15807  geolim  15815  geolim2  15816  geo2lim  15820  geomulcvg  15821  geoisum1c  15825  cvgrat  15828  mertens  15831  clim2prod  15833  clim2div  15834  ntrivcvg  15842  ntrivcvgfvn0  15844  ntrivcvgmullem  15846  fprodcvg  15873  prodrblem2  15874  fprodntriv  15885  iprodclim3  15943  iprodmul  15946  efcj  16034  eftlub  16051  eflegeo  16063  rpnnen2lem5  16160  mulgfvalALT  18952  ovoliunnul  25023  ioombl1lem4  25077  vitalilem5  25128  dvnfval  25438  aaliou3lem3  25856  dvradcnv  25932  pserulm  25933  abelthlem6  25947  abelthlem7  25949  abelthlem9  25951  logtayllem  26166  logtayl  26167  atantayl  26439  leibpilem2  26443  leibpi  26444  log2tlbnd  26447  zetacvg  26516  lgamgulm2  26537  lgamcvglem  26541  lgamcvg2  26556  dchrisumlem3  26991  dchrisum0re  27013  esumcvgsum  33081  sseqval  33382  iprodgam  34707  faclim  34711  knoppcnlem6  35369  knoppcnlem9  35372  knoppndvlem4  35386  knoppndvlem6  35388  knoppf  35406  geomcau  36622  dvradcnv2  43096  binomcxplemnotnn0  43105  sumnnodd  44336  stirlinglem5  44784  stirlinglem7  44786  fourierdlem112  44924  sge0isum  45133  itcoval  47337