Theorem seqex 14054

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14053	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8472	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9712	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6664	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2840	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ⟨cop 4654   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  ωcom 7903  reccrdg 8465  1c1 11185   + caddc 11187  seqcseq 14052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-seq 14053

This theorem is referenced by:  seqshft  15134  clim2ser  15703  clim2ser2  15704  isermulc2  15706  isershft  15712  isercoll  15716  isercoll2  15717  iseralt  15733  fsumcvg  15760  sumrb  15761  isumclim3  15807  isumadd  15815  cvgcmp  15864  cvgcmpce  15866  trireciplem  15910  geolim  15918  geolim2  15919  geo2lim  15923  geomulcvg  15924  geoisum1c  15928  cvgrat  15931  mertens  15934  clim2prod  15936  clim2div  15937  ntrivcvg  15945  ntrivcvgfvn0  15947  ntrivcvgmullem  15949  fprodcvg  15978  prodrblem2  15979  fprodntriv  15990  iprodclim3  16048  iprodmul  16051  efcj  16140  eftlub  16157  eflegeo  16169  rpnnen2lem5  16266  mulgfvalALT  19110  ovoliunnul  25561  ioombl1lem4  25615  vitalilem5  25666  dvnfval  25978  aaliou3lem3  26404  dvradcnv  26482  pserulm  26483  abelthlem6  26498  abelthlem7  26500  abelthlem9  26502  logtayllem  26719  logtayl  26720  atantayl  26998  leibpilem2  27002  leibpi  27003  log2tlbnd  27006  zetacvg  27076  lgamgulm2  27097  lgamcvglem  27101  lgamcvg2  27116  dchrisumlem3  27553  dchrisum0re  27575  esumcvgsum  34052  sseqval  34353  iprodgam  35704  faclim  35708  knoppcnlem6  36464  knoppcnlem9  36467  knoppndvlem4  36481  knoppndvlem6  36483  knoppf  36501  geomcau  37719  dvradcnv2  44316  binomcxplemnotnn0  44325  sumnnodd  45551  stirlinglem5  45999  stirlinglem7  46001  fourierdlem112  46139  sge0isum  46348  itcoval  48395