Theorem seqex 13366

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13365	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8035	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9090	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6410	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 691	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2886	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ⟨cop 4531   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  ωcom 7560  reccrdg 8028  1c1 10527   + caddc 10529  seqcseq 13364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-seq 13365

This theorem is referenced by:  seqshft  14436  clim2ser  15003  clim2ser2  15004  isermulc2  15006  isershft  15012  isercoll  15016  isercoll2  15017  iseralt  15033  fsumcvg  15061  sumrb  15062  isumclim3  15106  isumadd  15114  cvgcmp  15163  cvgcmpce  15165  trireciplem  15209  geolim  15218  geolim2  15219  geo2lim  15223  geomulcvg  15224  geoisum1c  15228  cvgrat  15231  mertens  15234  clim2prod  15236  clim2div  15237  ntrivcvg  15245  ntrivcvgfvn0  15247  ntrivcvgmullem  15249  fprodcvg  15276  prodrblem2  15277  fprodntriv  15288  iprodclim3  15346  iprodmul  15349  efcj  15437  eftlub  15454  eflegeo  15466  rpnnen2lem5  15563  mulgfvalALT  18219  ovoliunnul  24111  ioombl1lem4  24165  vitalilem5  24216  dvnfval  24525  aaliou3lem3  24940  dvradcnv  25016  pserulm  25017  abelthlem6  25031  abelthlem7  25033  abelthlem9  25035  logtayllem  25250  logtayl  25251  atantayl  25523  leibpilem2  25527  leibpi  25528  log2tlbnd  25531  zetacvg  25600  lgamgulm2  25621  lgamcvglem  25625  lgamcvg2  25640  dchrisumlem3  26075  dchrisum0re  26097  esumcvgsum  31457  sseqval  31756  iprodgam  33087  faclim  33091  knoppcnlem6  33950  knoppcnlem9  33953  knoppndvlem4  33967  knoppndvlem6  33969  knoppf  33987  geomcau  35197  dvradcnv2  41051  binomcxplemnotnn0  41060  sumnnodd  42272  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  fourierdlem112  42860  sge0isum  43066  itcoval  45075