Theorem seqex 13651

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13650	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8218	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9331	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6504	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 688	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2835	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ⟨cop 4564   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  ωcom 7687  reccrdg 8211  1c1 10803   + caddc 10805  seqcseq 13649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-seq 13650

This theorem is referenced by:  seqshft  14724  clim2ser  15294  clim2ser2  15295  isermulc2  15297  isershft  15303  isercoll  15307  isercoll2  15308  iseralt  15324  fsumcvg  15352  sumrb  15353  isumclim3  15399  isumadd  15407  cvgcmp  15456  cvgcmpce  15458  trireciplem  15502  geolim  15510  geolim2  15511  geo2lim  15515  geomulcvg  15516  geoisum1c  15520  cvgrat  15523  mertens  15526  clim2prod  15528  clim2div  15529  ntrivcvg  15537  ntrivcvgfvn0  15539  ntrivcvgmullem  15541  fprodcvg  15568  prodrblem2  15569  fprodntriv  15580  iprodclim3  15638  iprodmul  15641  efcj  15729  eftlub  15746  eflegeo  15758  rpnnen2lem5  15855  mulgfvalALT  18618  ovoliunnul  24576  ioombl1lem4  24630  vitalilem5  24681  dvnfval  24991  aaliou3lem3  25409  dvradcnv  25485  pserulm  25486  abelthlem6  25500  abelthlem7  25502  abelthlem9  25504  logtayllem  25719  logtayl  25720  atantayl  25992  leibpilem2  25996  leibpi  25997  log2tlbnd  26000  zetacvg  26069  lgamgulm2  26090  lgamcvglem  26094  lgamcvg2  26109  dchrisumlem3  26544  dchrisum0re  26566  esumcvgsum  31956  sseqval  32255  iprodgam  33614  faclim  33618  knoppcnlem6  34605  knoppcnlem9  34608  knoppndvlem4  34622  knoppndvlem6  34624  knoppf  34642  geomcau  35844  dvradcnv2  41854  binomcxplemnotnn0  41863  sumnnodd  43061  stirlinglem5  43509  stirlinglem7  43511  fourierdlem112  43649  sge0isum  43855  itcoval  45895