Theorem seqex 14040

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14039	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8454	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9680	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6653	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 692	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2834	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2105  Vcvv 3477  ⟨cop 4636   “ cima 5691  Fun wfun 6556  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ∈ cmpo 7432  ωcom 7886  reccrdg 8447  1c1 11153   + caddc 11155  seqcseq 14038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-seq 14039

This theorem is referenced by:  seqshft  15120  clim2ser  15687  clim2ser2  15688  isermulc2  15690  isershft  15696  isercoll  15700  isercoll2  15701  iseralt  15717  fsumcvg  15744  sumrb  15745  isumclim3  15791  isumadd  15799  cvgcmp  15848  cvgcmpce  15850  trireciplem  15894  geolim  15902  geolim2  15903  geo2lim  15907  geomulcvg  15908  geoisum1c  15912  cvgrat  15915  mertens  15918  clim2prod  15920  clim2div  15921  ntrivcvg  15929  ntrivcvgfvn0  15931  ntrivcvgmullem  15933  fprodcvg  15962  prodrblem2  15963  fprodntriv  15974  iprodclim3  16032  iprodmul  16035  efcj  16124  eftlub  16141  eflegeo  16153  rpnnen2lem5  16250  mulgfvalALT  19100  ovoliunnul  25555  ioombl1lem4  25609  vitalilem5  25660  dvnfval  25972  aaliou3lem3  26400  dvradcnv  26478  pserulm  26479  abelthlem6  26494  abelthlem7  26496  abelthlem9  26498  logtayllem  26715  logtayl  26716  atantayl  26994  leibpilem2  26998  leibpi  26999  log2tlbnd  27002  zetacvg  27072  lgamgulm2  27093  lgamcvglem  27097  lgamcvg2  27112  dchrisumlem3  27549  dchrisum0re  27571  esumcvgsum  34068  sseqval  34369  iprodgam  35721  faclim  35725  knoppcnlem6  36480  knoppcnlem9  36483  knoppndvlem4  36497  knoppndvlem6  36499  knoppf  36517  geomcau  37745  dvradcnv2  44342  binomcxplemnotnn0  44351  sumnnodd  45585  stirlinglem5  46033  stirlinglem7  46035  fourierdlem112  46173  sge0isum  46382  itcoval  48510