Theorem seqex 14059

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14058	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8412	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9622	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6629	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2862	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458  ⟨cop 4600   “ cima 5669  Fun wfun 6537  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  ωcom 7871  reccrdg 8405  1c1 11119   + caddc 11121  seqcseq 14057

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-seq 14058

This theorem is used by:  seqshft  15148  clim2ser  15732  clim2ser2  15733  isermulc2  15735  isershft  15741  isercoll  15745  isercoll2  15746  iseralt  15762  fsumcvg  15789  sumrb  15790  isumclim3  15836  isumadd  15844  cvgcmp  15894  cvgcmpce  15896  trireciplem  15942  geolim  15950  geolim2  15951  geo2lim  15955  geomulcvg  15956  geoisum1c  15960  cvgrat  15963  mertens  15966  clim2prod  15968  clim2div  15969  ntrivcvg  15977  ntrivcvgfvn0  15979  ntrivcvgmullem  15981  fprodcvg  16010  prodrblem2  16011  fprodntriv  16022  iprodclim3  16080  iprodmul  16083  efcj  16171  eftlub  16190  eflegeo  16202  rpnnen2lem5  16299  mulgfvalALT  19167  ovoliunnul  25703  ioombl1lem4  25757  vitalilem5  25808  dvnfval  26118  aaliou3lem3  26544  dvradcnv  26621  pserulm  26622  abelthlem6  26636  abelthlem7  26638  abelthlem9  26640  logtayllem  26861  logtayl  26862  atantayl  27139  leibpilem2  27143  leibpi  27144  log2tlbnd  27147  zetacvg  27216  lgamgulm2  27237  lgamcvglem  27241  lgamcvg2  27256  dchrisumlem3  27692  dchrisum0re  27714  esumcvgsum  34509  sseqval  34810  iprodgam  36255  faclim  36259  knoppcnlem6  37128  knoppcnlem9  37131  knoppndvlem4  37145  knoppndvlem6  37147  knoppf  37165  geomcau  38451  dvradcnv2  45098  binomcxplemnotnn0  45107  sumnnodd  46387  stirlinglem5  46833  stirlinglem7  46835  fourierdlem112  46973  sge0isum  47182  itcoval  49482