Theorem seqex 13374

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 13373	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8055	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9109	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6443	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2912	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497  ⟨cop 4576   “ cima 5561  Fun wfun 6352  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∈ cmpo 7161  ωcom 7583  reccrdg 8048  1c1 10541   + caddc 10543  seqcseq 13372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-seq 13373

This theorem is referenced by:  seqshft  14447  clim2ser  15014  clim2ser2  15015  isermulc2  15017  isershft  15023  isercoll  15027  isercoll2  15028  iseralt  15044  fsumcvg  15072  sumrb  15073  isumclim3  15117  isumadd  15125  cvgcmp  15174  cvgcmpce  15176  trireciplem  15220  geolim  15229  geolim2  15230  geo2lim  15234  geomulcvg  15235  geoisum1c  15239  cvgrat  15242  mertens  15245  clim2prod  15247  clim2div  15248  ntrivcvg  15256  ntrivcvgfvn0  15258  ntrivcvgmullem  15260  fprodcvg  15287  prodrblem2  15288  fprodntriv  15299  iprodclim3  15357  iprodmul  15360  efcj  15448  eftlub  15465  eflegeo  15477  rpnnen2lem5  15574  mulgfvalALT  18230  ovoliunnul  24111  ioombl1lem4  24165  vitalilem5  24216  dvnfval  24522  aaliou3lem3  24936  dvradcnv  25012  pserulm  25013  abelthlem6  25027  abelthlem7  25029  abelthlem9  25031  logtayllem  25245  logtayl  25246  atantayl  25518  leibpilem2  25522  leibpi  25523  log2tlbnd  25526  zetacvg  25595  lgamgulm2  25616  lgamcvglem  25620  lgamcvg2  25635  dchrisumlem3  26070  dchrisum0re  26092  esumcvgsum  31351  sseqval  31650  iprodgam  32978  faclim  32982  knoppcnlem6  33841  knoppcnlem9  33844  knoppndvlem4  33858  knoppndvlem6  33860  knoppf  33878  geomcau  35038  dvradcnv2  40685  binomcxplemnotnn0  40694  sumnnodd  41917  stirlinglem5  42370  stirlinglem7  42372  fourierdlem112  42510  sge0isum  42716