Theorem seqex 14126

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14125	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8408	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9628	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6618	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2857	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⟨cop 4590   “ cima 5654  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ωcom 7866  reccrdg 8401  1c1 11182   + caddc 11184  seqcseq 14124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-seq 14125

This theorem is used by:  seqshft  15218  clim2ser  15802  clim2ser2  15803  isermulc2  15805  isershft  15811  isercoll  15815  isercoll2  15816  iseralt  15832  fsumcvg  15858  sumrb  15859  isumclim3  15905  isumadd  15913  cvgcmp  15963  cvgcmpce  15965  trireciplem  16011  geolim  16019  geolim2  16020  geo2lim  16024  geomulcvg  16025  geoisum1c  16029  cvgrat  16032  mertens  16035  clim2prod  16037  clim2div  16038  ntrivcvg  16046  ntrivcvgfvn0  16048  ntrivcvgmullem  16050  fprodcvg  16077  prodrblem2  16078  fprodntriv  16089  iprodclim3  16147  iprodmul  16150  efcj  16238  eftlub  16257  eflegeo  16269  rpnnen2lem5  16366  mulgfvalALT  19260  ovoliunnul  25808  ioombl1lem4  25862  vitalilem5  25913  dvnfval  26222  aaliou3lem3  26653  dvradcnv  26730  pserulm  26731  abelthlem6  26745  abelthlem7  26747  abelthlem9  26749  logtayllem  26969  logtayl  26970  atantayl  27247  leibpilem2  27251  leibpi  27252  log2tlbnd  27255  zetacvg  27324  lgamgulm2  27345  lgamcvglem  27349  lgamcvg2  27364  dchrisumlem3  27800  dchrisum0re  27822  esumcvgsum  34702  sseqval  35003  iprodgam  36476  faclim  36480  knoppcnlem6  37334  knoppcnlem9  37337  knoppndvlem4  37351  knoppndvlem6  37353  knoppf  37371  geomcau  38661  dvradcnv2  45290  binomcxplemnotnn0  45299  sumnnodd  46586  stirlinglem5  47032  stirlinglem7  47034  fourierdlem112  47172  sge0isum  47381  itcoval  49717