Theorem seqex 14041

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 14040	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 8404	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 9613	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 6624	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2859	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ⟨cop 4596   “ cima 5666  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ωcom 7863  reccrdg 8397  1c1 11102   + caddc 11104  seqcseq 14039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-seq 14040

This theorem is referenced by:  seqshft  15124  clim2ser  15708  clim2ser2  15709  isermulc2  15711  isershft  15717  isercoll  15721  isercoll2  15722  iseralt  15738  fsumcvg  15765  sumrb  15766  isumclim3  15812  isumadd  15820  cvgcmp  15870  cvgcmpce  15872  trireciplem  15918  geolim  15926  geolim2  15927  geo2lim  15931  geomulcvg  15932  geoisum1c  15936  cvgrat  15939  mertens  15942  clim2prod  15944  clim2div  15945  ntrivcvg  15953  ntrivcvgfvn0  15955  ntrivcvgmullem  15957  fprodcvg  15986  prodrblem2  15987  fprodntriv  15998  iprodclim3  16056  iprodmul  16059  efcj  16147  eftlub  16166  eflegeo  16178  rpnnen2lem5  16275  mulgfvalALT  19137  ovoliunnul  25647  ioombl1lem4  25701  vitalilem5  25752  dvnfval  26062  aaliou3lem3  26488  dvradcnv  26565  pserulm  26566  abelthlem6  26580  abelthlem7  26582  abelthlem9  26584  logtayllem  26805  logtayl  26806  atantayl  27083  leibpilem2  27087  leibpi  27088  log2tlbnd  27091  zetacvg  27160  lgamgulm2  27181  lgamcvglem  27185  lgamcvg2  27200  dchrisumlem3  27636  dchrisum0re  27658  esumcvgsum  34459  sseqval  34759  iprodgam  36215  faclim  36219  knoppcnlem6  37068  knoppcnlem9  37071  knoppndvlem4  37085  knoppndvlem6  37087  knoppf  37105  geomcau  38391  dvradcnv2  45040  binomcxplemnotnn0  45049  sumnnodd  46329  stirlinglem5  46775  stirlinglem7  46777  fourierdlem112  46915  sge0isum  47124  itcoval  49424