Theorem psr1vsca 19915

Description: Value of scalar multiplication in a univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psr1plusg.y	⊢ 𝑌 = (PwSer1‘𝑅)
psr1plusg.s	⊢ 𝑆 = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
psr1vscafval.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
psr1vsca	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Proof of Theorem psr1vsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psr1vscafval.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		psr1plusg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
3		psr1plusg.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (PwSer1‘𝑅)
4	3	psr1val 19878	. . . 4 ⊢ 𝑌 = ((1𝑜 ordPwSer 𝑅)‘∅)
5		0ss 4168	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜)
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜))
7	2, 4, 6	opsrvsca 19804	. . 3 ⊢ (⊤ → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑌))
8	7	mptru 1661	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
9	1, 8	eqtr4i 2824	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Syntax hints:   = wceq 1653  ⊤wtru 1654   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115   × cxp 5310  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  1_𝑜c1o 7792   ·_𝑠 cvsca 16271   mPwSer cmps 19674  PwSer₁cps1 19867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-dec 11784  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-vsca 16284  df-ple 16287  df-psr 19679  df-opsr 19683  df-psr1 19872

This theorem is referenced by:  ply1vsca  19918