MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psr1mulr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psr1mulr 19913
Description: Value of multiplication in a univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psr1plusg.y 𝑌 = (PwSer1𝑅)
psr1plusg.s 𝑆 = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
psr1mulr.n · = (.r𝑌)
Assertion
Ref Expression
psr1mulr · = (.r𝑆)

Proof of Theorem psr1mulr
StepHypRef Expression
1 psr1mulr.n . 2 · = (.r𝑌)
2 psr1plusg.s . . . 4 𝑆 = (1𝑜 mPwSer 𝑅)
3 psr1plusg.y . . . . 5 𝑌 = (PwSer1𝑅)
43psr1val 19875 . . . 4 𝑌 = ((1𝑜 ordPwSer 𝑅)‘∅)
5 0ss 4166 . . . . 5 ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜)
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → ∅ ⊆ (1𝑜 × 1𝑜))
72, 4, 6opsrmulr 19800 . . 3 (⊤ → (.r𝑆) = (.r𝑌))
87mptru 1661 . 2 (.r𝑆) = (.r𝑌)
91, 8eqtr4i 2822 1 · = (.r𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wtru 1654  wss 3767  c0 4113   × cxp 5308  cfv 6099  (class class class)co 6876  1𝑜c1o 7790  .rcmulr 16265   mPwSer cmps 19671  PwSer1cps1 19864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-dec 11780  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-mulr 16278  df-ple 16284  df-psr 19676  df-opsr 19680  df-psr1 19869
This theorem is referenced by:  ply1mulr  19916  coe1mul2  19958  coe1mul  19959
  Copyright terms: Public domain W3C validator