MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrvsca 19803
Description: The scalar product operation of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrbas.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrbas.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrvsca (𝜑 → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑂))

Proof of Theorem opsrvsca
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . 2 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrbas.o . 2 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3 opsrbas.t . 2 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
4 df-vsca 16283 . 2 ·𝑠 = Slot 6
5 6nn 11404 . 2 6 ∈ ℕ
6 6lt10 11918 . 2 6 < 10
71, 2, 3, 4, 5, 6opsrbaslem 19799 1 (𝜑 → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wss 3770   × cxp 5311  cfv 6102  (class class class)co 6879  6c6 11371   ·𝑠 cvsca 16270   mPwSer cmps 19673   ordPwSer copws 19677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-dec 11783  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-vsca 16283  df-ple 16286  df-psr 19678  df-opsr 19682
This theorem is referenced by:  opsrassa  19810  ply1lss  19887  psr1vsca  19914  opsrlmod  19937
  Copyright terms: Public domain W3C validator