MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 22102
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2.v · = ( ·𝑠𝑃)
mplmon2.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2.o 1 = (1r𝑅)
mplmon2.z 0 = (0g𝑅)
mplmon2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplmon2.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplmon2.k (𝜑𝐾𝐷)
mplmon2.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   · (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplmon2.v . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
3 mplmon2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2734 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 eqid 2734 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 mplmon2.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
10 mplmon2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
11 mplmon2.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 22070 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 22052 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
15 ovex 7463 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
166, 15rabex2 5346 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
187adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
199fvexi 6920 . . . . 5 1 ∈ V
208fvexi 6920 . . . . 5 0 ∈ V
2119, 20ifex 4580 . . . 4 if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V)
23 fconstmpt 5750 . . . 4 (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋)
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋))
25 eqidd 2735 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2617, 18, 22, 24, 25offval2 7716 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
27 oveq2 7438 . . . . 5 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2827eqeq1d 2736 . . . 4 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
29 oveq2 7438 . . . . 5 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2736 . . . 4 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
313, 5, 9ringridm 20283 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
3211, 7, 31syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
33 iftrue 4536 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 𝑋)
3433eqcomd 2740 . . . . 5 (𝑦 = 𝐾𝑋 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
3532, 34sylan9eq 2794 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
363, 5, 8ringrz 20307 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3711, 7, 36syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
38 iffalse 4539 . . . . . 6 𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 0 )
3938eqcomd 2740 . . . . 5 𝑦 = 𝐾0 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4037, 39sylan9eq 2794 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4128, 30, 35, 40ifbothda 4568 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4241mpteq2dv 5249 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
4314, 26, 423eqtrd 2778 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  ifcif 4530  {csn 4630  cmpt 5230   × cxp 5686  ccnv 5687  cima 5691  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  m cmap 8864  Fincfn 8983  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  .rcmulr 17298   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17485  1rcur 20198  Ringcrg 20250   mPoly cmpl 21943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-psr 21946  df-mpl 21948
This theorem is referenced by:  mplascl  22105  mplmon2cl  22109  mplmon2mul  22110  mplcoe4  22112  coe1tm  22291
  Copyright terms: Public domain W3C validator