Theorem mplmon2 21999

Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mplmon2.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmon2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmon2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplmon2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplmon2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmon2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
mplmon2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplmon2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   · (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplmon2.v	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplmon2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		mplmon2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplmon2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mplmon2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mplmon2.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		mplmon2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
11		mplmon2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		mplmon2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13	1, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12	mplmon 21967	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13	mplvsca 21951	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
15		ovex 7448	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	6, 15	rabex2 5331	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
18	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	9	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20	8	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
21	19, 20	ifex 4575	. . . 4 ⊢ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V)
23		fconstmpt 5735	. . . 4 ⊢ (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
25		eqidd 2729	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
26	17, 18, 22, 24, 25	offval2 7700	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
27		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
28	27	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
29		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
30	29	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
31	3, 5, 9	ringridm 20200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑋)
32	11, 7, 31	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑋)
33		iftrue 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 𝑋)
34	33	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → 𝑋 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
35	32, 34	sylan9eq 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
36	3, 5, 8	ringrz 20224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	11, 7, 36	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
38		iffalse 4534	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 0 )
39	38	eqcomd 2734	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝐾 → 0 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
40	37, 39	sylan9eq 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
41	28, 30, 35, 40	ifbothda 4563	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
42	41	mpteq2dv 5245	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
43	14, 26, 42	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470  ifcif 4525  {csn 4625   ↦ cmpt 5226   × cxp 5671  ^◡ccnv 5672   “ cima 5676  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415   ∘_f cof 7678   ↑_m cmap 8839  Fincfn 8958  ℕcn 12237  ℕ₀cn0 12497  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17415  1_rcur 20115  Ringcrg 20167   mPoly cmpl 21833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-psr 21836  df-mpl 21838

This theorem is referenced by:  mplascl  22002  mplmon2cl  22006  mplmon2mul  22007  mplcoe4  22009  coe1tm  22186