MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 21621
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
mplmon2.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mplmon2.d ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
mplmon2.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mplmon2.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mplmon2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mplmon2.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
mplmon2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mplmon2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)
mplmon2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฆ,๐ท   ๐‘“,๐ผ   ๐‘“,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ, 1   ๐‘ฆ,๐‘…   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘ฆ, 0
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ต(๐‘“)   ๐ท(๐‘“)   ๐‘ƒ(๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘…(๐‘“)   ยท (๐‘ฆ,๐‘“)   1 (๐‘“)   ๐ผ(๐‘ฆ)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘‹(๐‘“)   0 (๐‘“)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 mplmon2.v . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
3 mplmon2.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2732 . . 3 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
5 eqid 2732 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 mplmon2.d . . 3 ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1rโ€˜๐‘…)
10 mplmon2.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
11 mplmon2.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 21589 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 21573 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))))
15 ovex 7441 . . . . 5 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
166, 15rabex2 5334 . . . 4 ๐ท โˆˆ V
1716a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
187adantr 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
199fvexi 6905 . . . . 5 1 โˆˆ V
208fvexi 6905 . . . . 5 0 โˆˆ V
2119, 20ifex 4578 . . . 4 if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โˆˆ V
2221a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โˆˆ V)
23 fconstmpt 5738 . . . 4 (๐ท ร— {๐‘‹}) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)
2423a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ร— {๐‘‹}) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹))
25 eqidd 2733 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
2617, 18, 22, 24, 25offval2 7689 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))))
27 oveq2 7416 . . . . 5 ( 1 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
2827eqeq1d 2734 . . . 4 ( 1 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
29 oveq2 7416 . . . . 5 ( 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2734 . . . 4 ( 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
313, 5, 9ringridm 20086 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘‹)
3211, 7, 31syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘‹)
33 iftrue 4534 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐พ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) = ๐‘‹)
3433eqcomd 2738 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐พ โ†’ ๐‘‹ = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
3532, 34sylan9eq 2792 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
363, 5, 8ringrz 20107 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
3711, 7, 36syl2anc 584 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
38 iffalse 4537 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) = 0 )
3938eqcomd 2738 . . . . 5 (ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ โ†’ 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4037, 39sylan9eq 2792 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4128, 30, 35, 40ifbothda 4566 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4241mpteq2dv 5250 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
4314, 26, 423eqtrd 2776 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474  ifcif 4528  {csn 4628   โ†ฆ cmpt 5231   ร— cxp 5674  โ—กccnv 5675   โ€œ cima 5679  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   โˆ˜f cof 7667   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  Basecbs 17143  .rcmulr 17197   ยท๐‘  cvsca 17200  0gc0g 17384  1rcur 20003  Ringcrg 20055   mPoly cmpl 21458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-tset 17215  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-psr 21461  df-mpl 21463
This theorem is referenced by:  mplascl  21624  mplmon2cl  21628  mplmon2mul  21629  mplcoe4  21631  coe1tm  21794
  Copyright terms: Public domain W3C validator