MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 21492
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
mplmon2.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mplmon2.d ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
mplmon2.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mplmon2.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mplmon2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mplmon2.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
mplmon2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mplmon2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)
mplmon2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฆ,๐ท   ๐‘“,๐ผ   ๐‘“,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ, 1   ๐‘ฆ,๐‘…   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘ฆ, 0
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ต(๐‘“)   ๐ท(๐‘“)   ๐‘ƒ(๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘…(๐‘“)   ยท (๐‘ฆ,๐‘“)   1 (๐‘“)   ๐ผ(๐‘ฆ)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘‹(๐‘“)   0 (๐‘“)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 mplmon2.v . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
3 mplmon2.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2733 . . 3 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
5 eqid 2733 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 mplmon2.d . . 3 ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1rโ€˜๐‘…)
10 mplmon2.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
11 mplmon2.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 21459 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 21442 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))))
15 ovex 7394 . . . . 5 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
166, 15rabex2 5295 . . . 4 ๐ท โˆˆ V
1716a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
187adantr 482 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
199fvexi 6860 . . . . 5 1 โˆˆ V
208fvexi 6860 . . . . 5 0 โˆˆ V
2119, 20ifex 4540 . . . 4 if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โˆˆ V
2221a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โˆˆ V)
23 fconstmpt 5698 . . . 4 (๐ท ร— {๐‘‹}) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)
2423a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ร— {๐‘‹}) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹))
25 eqidd 2734 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
2617, 18, 22, 24, 25offval2 7641 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))))
27 oveq2 7369 . . . . 5 ( 1 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
2827eqeq1d 2735 . . . 4 ( 1 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
29 oveq2 7369 . . . . 5 ( 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2735 . . . 4 ( 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
313, 5, 9ringridm 20001 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘‹)
3211, 7, 31syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘‹)
33 iftrue 4496 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐พ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) = ๐‘‹)
3433eqcomd 2739 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐พ โ†’ ๐‘‹ = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
3532, 34sylan9eq 2793 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
363, 5, 8ringrz 20020 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
3711, 7, 36syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
38 iffalse 4499 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) = 0 )
3938eqcomd 2739 . . . . 5 (ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ โ†’ 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4037, 39sylan9eq 2793 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4128, 30, 35, 40ifbothda 4528 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4241mpteq2dv 5211 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
4314, 26, 423eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3447  ifcif 4490  {csn 4590   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  โ—กccnv 5636   โ€œ cima 5640  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆ˜f cof 7619   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  โ„•cn 12161  โ„•0cn0 12421  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ยท๐‘  cvsca 17145  0gc0g 17329  1rcur 19921  Ringcrg 19972   mPoly cmpl 21331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-tset 17160  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-psr 21334  df-mpl 21336
This theorem is referenced by:  mplascl  21495  mplmon2cl  21499  mplmon2mul  21500  mplcoe4  21502  coe1tm  21667
  Copyright terms: Public domain W3C validator