Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 20259
 Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2.v · = ( ·𝑠𝑃)
mplmon2.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2.o 1 = (1r𝑅)
mplmon2.z 0 = (0g𝑅)
mplmon2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplmon2.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplmon2.k (𝜑𝐾𝐷)
mplmon2.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   · (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplmon2.v . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
3 mplmon2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 eqid 2824 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 mplmon2.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
10 mplmon2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
11 mplmon2.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 20230 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 20213 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
15 ovex 7171 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
166, 15rabex2 5218 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
187adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
199fvexi 6665 . . . . 5 1 ∈ V
208fvexi 6665 . . . . 5 0 ∈ V
2119, 20ifex 4496 . . . 4 if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V)
23 fconstmpt 5595 . . . 4 (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋)
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋))
25 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2617, 18, 22, 24, 25offval2 7409 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
27 oveq2 7146 . . . . 5 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2827eqeq1d 2826 . . . 4 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
29 oveq2 7146 . . . . 5 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2826 . . . 4 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
313, 5, 9ringridm 19311 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
3211, 7, 31syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
33 iftrue 4454 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 𝑋)
3433eqcomd 2830 . . . . 5 (𝑦 = 𝐾𝑋 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
3532, 34sylan9eq 2879 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
363, 5, 8ringrz 19327 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3711, 7, 36syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
38 iffalse 4457 . . . . . 6 𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 0 )
3938eqcomd 2830 . . . . 5 𝑦 = 𝐾0 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4037, 39sylan9eq 2879 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4128, 30, 35, 40ifbothda 4485 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4241mpteq2dv 5143 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
4314, 26, 423eqtrd 2863 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3136  Vcvv 3479  ifcif 4448  {csn 4548   ↦ cmpt 5127   × cxp 5534  ◡ccnv 5535   “ cima 5539  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ∘f cof 7390   ↑m cmap 8389  Fincfn 8492  ℕcn 11623  ℕ0cn0 11883  Basecbs 16472  .rcmulr 16555   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  1rcur 19240  Ringcrg 19286   mPoly cmpl 20119 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-tset 16573  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-psr 20122  df-mpl 20124 This theorem is referenced by:  mplascl  20262  mplmon2cl  20266  mplmon2mul  20267  mplcoe4  20269  coe1tm  20427
 Copyright terms: Public domain W3C validator