MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 21999
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
mplmon2.v ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
mplmon2.d ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
mplmon2.o 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mplmon2.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mplmon2.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mplmon2.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
mplmon2.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mplmon2.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)
mplmon2.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐ต   ๐‘ฆ,๐ท   ๐‘“,๐ผ   ๐‘“,๐พ,๐‘ฆ   ๐‘ฆ, 1   ๐‘ฆ,๐‘…   ๐‘ฆ,๐‘‹   ๐‘ฆ, 0
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ต(๐‘“)   ๐ท(๐‘“)   ๐‘ƒ(๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘…(๐‘“)   ยท (๐‘ฆ,๐‘“)   1 (๐‘“)   ๐ผ(๐‘ฆ)   ๐‘Š(๐‘ฆ,๐‘“)   ๐‘‹(๐‘“)   0 (๐‘“)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 ๐‘ƒ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 mplmon2.v . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘ƒ)
3 mplmon2.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 eqid 2728 . . 3 (Baseโ€˜๐‘ƒ) = (Baseโ€˜๐‘ƒ)
5 eqid 2728 . . 3 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 mplmon2.d . . 3 ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0gโ€˜๐‘…)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1rโ€˜๐‘…)
10 mplmon2.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
11 mplmon2.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐ท)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 21967 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘ƒ))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 21951 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))))
15 ovex 7448 . . . . 5 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
166, 15rabex2 5331 . . . 4 ๐ท โˆˆ V
1716a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
187adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
199fvexi 6906 . . . . 5 1 โˆˆ V
208fvexi 6906 . . . . 5 0 โˆˆ V
2119, 20ifex 4575 . . . 4 if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โˆˆ V
2221a1i 11 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ท) โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โˆˆ V)
23 fconstmpt 5735 . . . 4 (๐ท ร— {๐‘‹}) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹)
2423a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ร— {๐‘‹}) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐‘‹))
25 eqidd 2729 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
2617, 18, 22, 24, 25offval2 7700 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))))
27 oveq2 7423 . . . . 5 ( 1 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
2827eqeq1d 2730 . . . 4 ( 1 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
29 oveq2 7423 . . . . 5 ( 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2730 . . . 4 ( 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) โ†” (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
313, 5, 9ringridm 20200 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘‹)
3211, 7, 31syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = ๐‘‹)
33 iftrue 4531 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐พ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) = ๐‘‹)
3433eqcomd 2734 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐พ โ†’ ๐‘‹ = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
3532, 34sylan9eq 2788 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 1 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
363, 5, 8ringrz 20224 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
3711, 7, 36syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = 0 )
38 iffalse 4534 . . . . . 6 (ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ โ†’ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ) = 0 )
3938eqcomd 2734 . . . . 5 (ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ โ†’ 0 = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4037, 39sylan9eq 2788 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐‘ฆ = ๐พ) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…) 0 ) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4128, 30, 35, 40ifbothda 4563 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 )) = if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 ))
4241mpteq2dv 5245 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
4314, 26, 423eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, 1 , 0 ))) = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โ†ฆ if(๐‘ฆ = ๐พ, ๐‘‹, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {crab 3428  Vcvv 3470  ifcif 4525  {csn 4625   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5671  โ—กccnv 5672   โ€œ cima 5676  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7415   โˆ˜f cof 7678   โ†‘m cmap 8839  Fincfn 8958  โ„•cn 12237  โ„•0cn0 12497  Basecbs 17174  .rcmulr 17228   ยท๐‘  cvsca 17231  0gc0g 17415  1rcur 20115  Ringcrg 20167   mPoly cmpl 21833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-cmn 19731  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-ur 20116  df-ring 20169  df-psr 21836  df-mpl 21838
This theorem is referenced by:  mplascl  22002  mplmon2cl  22006  mplmon2mul  22007  mplcoe4  22009  coe1tm  22186
  Copyright terms: Public domain W3C validator