MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmon2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmon2 19815
Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2.v · = ( ·𝑠𝑃)
mplmon2.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2.o 1 = (1r𝑅)
mplmon2.z 0 = (0g𝑅)
mplmon2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplmon2.i (𝜑𝐼𝑊)
mplmon2.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mplmon2.k (𝜑𝐾𝐷)
mplmon2.x (𝜑𝑋𝐵)
Assertion
Ref Expression
mplmon2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   · (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2
StepHypRef Expression
1 mplmon2.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplmon2.v . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
3 mplmon2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2799 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5 eqid 2799 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 mplmon2.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 mplmon2.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 mplmon2.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
9 mplmon2.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
10 mplmon2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
11 mplmon2.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 mplmon2.k . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
131, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12mplmon 19786 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
141, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13mplvsca 19770 . 2 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
15 ovex 6910 . . . . 5 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
166, 15rabex2 5009 . . . 4 𝐷 ∈ V
1716a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
187adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑋𝐵)
199fvexi 6425 . . . . 5 1 ∈ V
208fvexi 6425 . . . . 5 0 ∈ V
2119, 20ifex 4325 . . . 4 if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V
2221a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑦𝐷) → if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V)
23 fconstmpt 5368 . . . 4 (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋)
2423a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦𝐷𝑋))
25 eqidd 2800 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2617, 18, 22, 24, 25offval2 7148 . 2 (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
27 oveq2 6886 . . . . 5 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
2827eqeq1d 2801 . . . 4 ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
29 oveq2 6886 . . . . 5 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
3029eqeq1d 2801 . . . 4 ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
313, 5, 9ringridm 18888 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
3211, 7, 31syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = 𝑋)
33 iftrue 4283 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 𝑋)
3433eqcomd 2805 . . . . 5 (𝑦 = 𝐾𝑋 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
3532, 34sylan9eq 2853 . . . 4 ((𝜑𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
363, 5, 8ringrz 18904 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
3711, 7, 36syl2anc 580 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = 0 )
38 iffalse 4286 . . . . . 6 𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 0 )
3938eqcomd 2805 . . . . 5 𝑦 = 𝐾0 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4037, 39sylan9eq 2853 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4128, 30, 35, 40ifbothda 4314 . . 3 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
4241mpteq2dv 4938 . 2 (𝜑 → (𝑦𝐷 ↦ (𝑋(.r𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
4314, 26, 423eqtrd 2837 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3093  Vcvv 3385  ifcif 4277  {csn 4368  cmpt 4922   × cxp 5310  ccnv 5311  cima 5315  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑓 cof 7129  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195  cn 11312  0cn0 11580  Basecbs 16184  .rcmulr 16268   ·𝑠 cvsca 16271  0gc0g 16415  1rcur 18817  Ringcrg 18863   mPoly cmpl 19676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-tset 16286  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-psr 19679  df-mpl 19681
This theorem is referenced by:  mplascl  19818  mplmon2cl  19822  mplmon2mul  19823  mplcoe4  19825  coe1tm  19965
  Copyright terms: Public domain W3C validator