Theorem mplmon2 21934

Description: Express a scaled monomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmon2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon2.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mplmon2.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmon2.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
mplmon2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mplmon2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mplmon2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mplmon2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mplmon2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
mplmon2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mplmon2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   𝑓,𝐾,𝑦   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋   𝑦, 0

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   · (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   𝑊(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmon2.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		mplmon2.v	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
3		mplmon2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5		eqid 2724	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		mplmon2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		mplmon2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		mplmon2.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		mplmon2.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		mplmon2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
11		mplmon2.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		mplmon2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐷)
13	1, 4, 8, 9, 6, 10, 11, 12	mplmon 21902	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13	mplvsca 21886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
15		ovex 7435	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
16	6, 15	rabex2 5325	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
18	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
19	9	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ V
20	8	fvexi 6896	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
21	19, 20	ifex 4571	. . . 4 ⊢ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) ∈ V)
23		fconstmpt 5729	. . . 4 ⊢ (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝑋}) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
25		eqidd 2725	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
26	17, 18, 22, 24, 25	offval2 7684	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))))
27		oveq2 7410	. . . . 5 ⊢ ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
28	27	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ ( 1 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
29		oveq2 7410	. . . . 5 ⊢ ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )))
30	29	eqeq1d 2726	. . . 4 ⊢ ( 0 = if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ) → ((𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) ↔ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
31	3, 5, 9	ringridm 20161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑋)
32	11, 7, 31	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑋)
33		iftrue 4527	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 𝑋)
34	33	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐾 → 𝑋 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
35	32, 34	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅) 1 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
36	3, 5, 8	ringrz 20185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
37	11, 7, 36	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = 0 )
38		iffalse 4530	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝐾 → if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ) = 0 )
39	38	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦 = 𝐾 → 0 = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
40	37, 39	sylan9eq 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑦 = 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅) 0 ) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
41	28, 30, 35, 40	ifbothda 4559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 )) = if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 ))
42	41	mpteq2dv 5241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ (𝑋(.r‘𝑅)if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))
43	14, 26, 42	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝐾, 𝑋, 0 )))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  ifcif 4521  {csn 4621   ↦ cmpt 5222   × cxp 5665  ^◡ccnv 5666   “ cima 5670  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402   ∘_f cof 7662   ↑_m cmap 8817  Fincfn 8936  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12470  Basecbs 17145  ._rcmulr 17199   ·_𝑠 cvsca 17202  0_gc0g 17386  1_rcur 20078  Ringcrg 20130   mPoly cmpl 21770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-psr 21773  df-mpl 21775

This theorem is referenced by:  mplascl  21937  mplmon2cl  21941  mplmon2mul  21942  mplcoe4  21944  coe1tm  22116