Theorem qmulz 12855

Description: If 𝐴 is rational, then some integer multiple of it is an integer. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
qmulz	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem qmulz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 12854	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥))
2		rexcom 3262	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥))
3		zcn 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℂ)
5		nncn 12144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
7		nnne0 12170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑥 ≠ 0)
9	4, 6, 8	divcan1d 11909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) = 𝑦)
10		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → 𝑦 ∈ ℤ)
11	9, 10	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) ∈ ℤ)
12		oveq1 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) = ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥))
13	12	eleq1d 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ((𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ ↔ ((𝑦 / 𝑥) · 𝑥) ∈ ℤ))
14	11, 13	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ))
15	14	rexlimdva 3134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ))
16	15	reximia 3068	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℕ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
17	2, 16	sylbi 217	. 2 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑥 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑦 / 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)
18	1, 17	sylbi 217	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → ∃𝑥 ∈ ℕ (𝐴 · 𝑥) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017   · cmul 11022   / cdiv 11785  ℕcn 12136  ℤcz 12479  ℚcq 12852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-z 12480  df-q 12853

This theorem is referenced by:  elqaalem1  26274  elqaalem3  26276