MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem1 26173
Description: Lemma for elqaa 26176. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐵. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 · 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
elqaa.4 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
elqaalem1 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝐾))
21oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐵𝑘) · 𝑛) = ((𝐵𝐾) · 𝑛))
32eleq1d 2810 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ))
43rabbidv 3432 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
54infeq1d 9468 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
6 elqaa.5 . . . . 5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
7 ltso 11291 . . . . . 6 < Or ℝ
87infex 9484 . . . . 5 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
95, 6, 8fvmpt 6988 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
109adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
11 ssrab2 4069 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
12 nnuz 12862 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1311, 12sseqtri 4010 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1)
14 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
1514eldifad 3952 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
16 0z 12566 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
17 zq 12935 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ ℚ
19 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐵 = (coeff‘𝐹)
2019coef2 26085 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
2115, 18, 20sylancl 585 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℚ)
2221ffvelcdmda 7076 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℚ)
23 qmulz 12932 . . . . . 6 ((𝐵𝐾) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
25 rabn0 4377 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
2624, 25sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
27 infssuzcl 12913 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
2813, 26, 27sylancr 586 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
2910, 28eqeltrd 2825 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
30 oveq2 7409 . . . 4 (𝑛 = (𝑁𝐾) → ((𝐵𝐾) · 𝑛) = ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)))
3130eleq1d 2810 . . 3 (𝑛 = (𝑁𝐾) → (((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
3231elrab 3675 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
3329, 32sylib 217 1 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wrex 3062  {crab 3424  cdif 3937  wss 3940  c0 4314  {csn 4620  cmpt 5221  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  infcinf 9432  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11245  cn 12209  0cn0 12469  cz 12555  cuz 12819  cq 12929  seqcseq 13963  0𝑝c0p 25520  Polycply 26038  coeffccoe 26040  degcdgr 26041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-0p 25521  df-ply 26042  df-coe 26044
This theorem is referenced by:  elqaalem2  26174
  Copyright terms: Public domain W3C validator