MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem1 25695
Description: Lemma for elqaa 25698. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐡. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 Β· 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
elqaa.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
elqaa.3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
elqaa.4 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
elqaa.5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
Assertion
Ref Expression
elqaalem1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝐡,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐾,𝑛   π‘˜,𝑁,𝑛   𝑅,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜πΎ))
21oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛))
32eleq1d 2823 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€))
43rabbidv 3418 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
54infeq1d 9420 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
6 elqaa.5 . . . . 5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
7 ltso 11242 . . . . . 6 < Or ℝ
87infex 9436 . . . . 5 inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ V
95, 6, 8fvmpt 6953 . . . 4 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (π‘β€˜πΎ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
109adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
11 ssrab2 4042 . . . . 5 {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† β„•
12 nnuz 12813 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1311, 12sseqtri 3985 . . . 4 {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
14 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
1514eldifad 3927 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š))
16 0z 12517 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
17 zq 12886 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ β„š)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ β„š
19 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
2019coef2 25608 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 0 ∈ β„š) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„š)
2115, 18, 20sylancl 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„š)
2221ffvelcdmda 7040 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜πΎ) ∈ β„š)
23 qmulz 12883 . . . . . 6 ((π΅β€˜πΎ) ∈ β„š β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
25 rabn0 4350 . . . . 5 ({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
2624, 25sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ…)
27 infssuzcl 12864 . . . 4 (({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2813, 26, 27sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2910, 28eqeltrd 2838 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
30 oveq2 7370 . . . 4 (𝑛 = (π‘β€˜πΎ) β†’ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)))
3130eleq1d 2823 . . 3 (𝑛 = (π‘β€˜πΎ) β†’ (((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
3231elrab 3650 . 2 ((π‘β€˜πΎ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} ↔ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
3329, 32sylib 217 1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   ↦ cmpt 5193  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  infcinf 9384  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   < clt 11196  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„šcq 12880  seqcseq 13913  0𝑝c0p 25049  Polycply 25561  coeffccoe 25563  degcdgr 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-0p 25050  df-ply 25565  df-coe 25567
This theorem is referenced by:  elqaalem2  25696
  Copyright terms: Public domain W3C validator