MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem1 26209
Description: Lemma for elqaa 26212. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐡. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 Β· 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
elqaa.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
elqaa.3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
elqaa.4 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
elqaa.5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
Assertion
Ref Expression
elqaalem1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝐡,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐾,𝑛   π‘˜,𝑁,𝑛   𝑅,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜πΎ))
21oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛))
32eleq1d 2812 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€))
43rabbidv 3434 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
54infeq1d 9474 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
6 elqaa.5 . . . . 5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
7 ltso 11298 . . . . . 6 < Or ℝ
87infex 9490 . . . . 5 inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ V
95, 6, 8fvmpt 6992 . . . 4 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (π‘β€˜πΎ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
109adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
11 ssrab2 4072 . . . . 5 {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† β„•
12 nnuz 12869 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1311, 12sseqtri 4013 . . . 4 {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
14 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
1514eldifad 3955 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š))
16 0z 12573 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
17 zq 12942 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ β„š)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ β„š
19 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
2019coef2 26120 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 0 ∈ β„š) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„š)
2115, 18, 20sylancl 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„š)
2221ffvelcdmda 7080 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜πΎ) ∈ β„š)
23 qmulz 12939 . . . . . 6 ((π΅β€˜πΎ) ∈ β„š β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
25 rabn0 4380 . . . . 5 ({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
2624, 25sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ…)
27 infssuzcl 12920 . . . 4 (({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2813, 26, 27sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2910, 28eqeltrd 2827 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
30 oveq2 7413 . . . 4 (𝑛 = (π‘β€˜πΎ) β†’ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)))
3130eleq1d 2812 . . 3 (𝑛 = (π‘β€˜πΎ) β†’ (((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
3231elrab 3678 . 2 ((π‘β€˜πΎ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} ↔ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
3329, 32sylib 217 1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  infcinf 9438  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„šcq 12936  seqcseq 13972  0𝑝c0p 25553  Polycply 26073  coeffccoe 26075  degcdgr 26076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-0p 25554  df-ply 26077  df-coe 26079
This theorem is referenced by:  elqaalem2  26210
  Copyright terms: Public domain W3C validator