MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem1 26272
Description: Lemma for elqaa 26275. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐡. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 Β· 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
elqaa.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
elqaa.3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 0)
elqaa.4 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
elqaa.5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( Β· , 𝑁)β€˜(degβ€˜πΉ))
Assertion
Ref Expression
elqaalem1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑛,𝐴   𝐡,π‘˜,𝑛   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝐾,𝑛   π‘˜,𝑁,𝑛   𝑅,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜πΎ))
21oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝐾 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛))
32eleq1d 2810 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐾 β†’ (((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€))
43rabbidv 3427 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐾 β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€} = {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
54infeq1d 9500 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐾 β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
6 elqaa.5 . . . . 5 𝑁 = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜π‘˜) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
7 ltso 11324 . . . . . 6 < Or ℝ
87infex 9516 . . . . 5 inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ V
95, 6, 8fvmpt 7000 . . . 4 (𝐾 ∈ β„•0 β†’ (π‘β€˜πΎ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
109adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) = inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ))
11 ssrab2 4069 . . . . 5 {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† β„•
12 nnuz 12895 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1311, 12sseqtri 4009 . . . 4 {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1)
14 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
1514eldifad 3951 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š))
16 0z 12599 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
17 zq 12968 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ 0 ∈ β„š)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ β„š
19 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐡 = (coeffβ€˜πΉ)
2019coef2 26183 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 0 ∈ β„š) β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„š)
2115, 18, 20sylancl 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:β„•0βŸΆβ„š)
2221ffvelcdmda 7089 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π΅β€˜πΎ) ∈ β„š)
23 qmulz 12965 . . . . . 6 ((π΅β€˜πΎ) ∈ β„š β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
25 rabn0 4381 . . . . 5 ({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€)
2624, 25sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ…)
27 infssuzcl 12946 . . . 4 (({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∧ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2813, 26, 27sylancr 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ inf({𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
2910, 28eqeltrd 2825 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜πΎ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€})
30 oveq2 7424 . . . 4 (𝑛 = (π‘β€˜πΎ) β†’ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) = ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)))
3130eleq1d 2810 . . 3 (𝑛 = (π‘β€˜πΎ) β†’ (((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€ ↔ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
3231elrab 3674 . 2 ((π‘β€˜πΎ) ∈ {𝑛 ∈ β„• ∣ ((π΅β€˜πΎ) Β· 𝑛) ∈ β„€} ↔ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
3329, 32sylib 217 1 ((πœ‘ ∧ 𝐾 ∈ β„•0) β†’ ((π‘β€˜πΎ) ∈ β„• ∧ ((π΅β€˜πΎ) Β· (π‘β€˜πΎ)) ∈ β„€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  infcinf 9464  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   < clt 11278  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  β„šcq 12962  seqcseq 13998  0𝑝c0p 25616  Polycply 26136  coeffccoe 26138  degcdgr 26139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-0p 25617  df-ply 26140  df-coe 26142
This theorem is referenced by:  elqaalem2  26273
  Copyright terms: Public domain W3C validator