MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elqaalem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elqaalem1 25070
Description: Lemma for elqaa 25073. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐵. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 · 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elqaa.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
elqaa.4 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))
Assertion
Ref Expression
elqaalem1 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 6677 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝐾))
21oveq1d 7188 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐵𝑘) · 𝑛) = ((𝐵𝐾) · 𝑛))
32eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ))
43rabbidv 3382 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
54infeq1d 9017 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
6 elqaa.5 . . . . 5 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
7 ltso 10802 . . . . . 6 < Or ℝ
87infex 9033 . . . . 5 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
95, 6, 8fvmpt 6778 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
109adantl 485 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
11 ssrab2 3970 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
12 nnuz 12366 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
1311, 12sseqtri 3914 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1)
14 elqaa.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
1514eldifad 3856 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
16 0z 12076 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
17 zq 12439 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ ℚ
19 elqaa.4 . . . . . . . . 9 𝐵 = (coeff‘𝐹)
2019coef2 24983 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
2115, 18, 20sylancl 589 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℚ)
2221ffvelrnda 6864 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℚ)
23 qmulz 12436 . . . . . 6 ((𝐵𝐾) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
25 rabn0 4275 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
2624, 25sylibr 237 . . . 4 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
27 infssuzcl 12417 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
2813, 26, 27sylancr 590 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
2910, 28eqeltrd 2834 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
30 oveq2 7181 . . . 4 (𝑛 = (𝑁𝐾) → ((𝐵𝐾) · 𝑛) = ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)))
3130eleq1d 2818 . . 3 (𝑛 = (𝑁𝐾) → (((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
3231elrab 3589 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
3329, 32sylib 221 1 ((𝜑𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵𝐾) · (𝑁𝐾)) ∈ ℤ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wrex 3055  {crab 3058  cdif 3841  wss 3844  c0 4212  {csn 4517  cmpt 5111  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  infcinf 8981  cc 10616  cr 10617  0cc0 10618  1c1 10619   · cmul 10623   < clt 10756  cn 11719  0cn0 11979  cz 12065  cuz 12327  cq 12433  seqcseq 13463  0𝑝c0p 24424  Polycply 24936  coeffccoe 24938  degcdgr 24939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-fl 13256  df-seq 13464  df-exp 13525  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-rlim 14939  df-sum 15139  df-0p 24425  df-ply 24940  df-coe 24942
This theorem is referenced by:  elqaalem2  25071
  Copyright terms: Public domain W3C validator