Theorem elqaalem1 26254

Description: Lemma for elqaa 26257. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐵. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 · 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝐾))
2	1	oveq1d 7361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝐾) · 𝑛))
3	2	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ))
4	3	rabbidv 3402	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
5	4	infeq1d 9362	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
6		elqaa.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
7		ltso 11193	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8	7	infex 9379	. . . . 5 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
9	5, 6, 8	fvmpt 6929	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
11		ssrab2 4027	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
12		nnuz 12775	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	11, 12	sseqtri 3978	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
14		elqaa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
15	14	eldifad 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
16		0z 12479	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zq 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℚ
19		elqaa.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
20	19	coef2 26163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
21	15, 18, 20	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
22	21	ffvelcdmda 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝐾) ∈ ℚ)
23		qmulz 12849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝐾) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
25		rabn0 4336	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
26	24, 25	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
27		infssuzcl 12830	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
28	13, 26, 27	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
29	10, 28	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
30		oveq2 7354	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝐾) → ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) = ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)))
31	30	eleq1d 2816	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝐾) → (((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
32	31	elrab 3642	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
33	29, 32	sylib 218	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573   ↦ cmpt 5170  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  infcinf 9325  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011   < clt 11146  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ℚcq 12846  seqcseq 13908  0_𝑝c0p 25597  Polycply 26116  coeffccoe 26118  degcdgr 26119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-0p 25598  df-ply 26120  df-coe 26122

This theorem is referenced by:  elqaalem2  26255