Theorem elqaalem1 26385

Description: Lemma for elqaa 26388. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐵. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 · 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝐾))
2	1	oveq1d 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝐾) · 𝑛))
3	2	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ))
4	3	rabbidv 3423	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
5	4	infeq1d 9426	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
6		elqaa.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
7		ltso 11265	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8	7	infex 9443	. . . . 5 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
9	5, 6, 8	fvmpt 6977	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
10	9	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
11		ssrab2 4035	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
12		nnuz 12880	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	11, 12	sseqtri 3986	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
14		elqaa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
15	14	eldifad 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
16		0z 12581	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zq 12957	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℚ
19		elqaa.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
20	19	coef2 26293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
21	15, 18, 20	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
22	21	ffvelcdmda 7067	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝐾) ∈ ℚ)
23		qmulz 12954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝐾) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
25		rabn0 4345	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
26	24, 25	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
27		infssuzcl 12935	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
28	13, 26, 27	sylancr 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
29	10, 28	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
30		oveq2 7406	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝐾) → ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) = ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)))
31	30	eleq1d 2849	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝐾) → (((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
32	31	elrab 3652	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
33	29, 32	sylib 220	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∃wrex 3088  {crab 3416   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4584   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  infcinf 9389  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   < clt 11218  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12483  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841  ℚcq 12951  seqcseq 14016  0_𝑝c0p 25733  Polycply 26246  coeffccoe 26248  degcdgr 26249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-0p 25734  df-ply 26250  df-coe 26252

This theorem is referenced by:  elqaalem2  26386