Theorem elqaalem1 26376

Description: Lemma for elqaa 26379. The function 𝑁 represents the denominators of the rational coefficients 𝐵. By multiplying them all together to make 𝑅, we get a number big enough to clear all the denominators and make 𝑅 · 𝐹 an integer polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elqaa.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
elqaa.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
elqaa.3	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 0)
elqaa.4	⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
elqaa.5	⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
elqaa.6	⊢ 𝑅 = (seq0( · , 𝑁)‘(deg‘𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elqaalem1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛   𝜑,𝑘   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑅,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑅(𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem elqaalem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝐵‘𝑘) = (𝐵‘𝐾))
2	1	oveq1d 7446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) = ((𝐵‘𝐾) · 𝑛))
3	2	eleq1d 2824	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ))
4	3	rabbidv 3441	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ} = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
5	4	infeq1d 9515	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
6		elqaa.5	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝑘) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
7		ltso 11339	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
8	7	infex 9531	. . . . 5 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ V
9	5, 6, 8	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁‘𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
10	9	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ))
11		ssrab2 4090	. . . . 5 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ ℕ
12		nnuz 12919	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13	11, 12	sseqtri 4032	. . . 4 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1)
14		elqaa.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝}))
15	14	eldifad 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℚ))
16		0z 12622	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
17		zq 12994	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℚ
19		elqaa.4	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (coeff‘𝐹)
20	19	coef2 26285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 0 ∈ ℚ) → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
21	15, 18, 20	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵:ℕ0⟶ℚ)
22	21	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵‘𝐾) ∈ ℚ)
23		qmulz 12991	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵‘𝐾) ∈ ℚ → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
25		rabn0 4395	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ)
26	24, 25	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅)
27		infssuzcl 12972	. . . 4 ⊢ (({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ⊆ (ℤ≥‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
28	13, 26, 27	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
29	10, 28	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁‘𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ})
30		oveq2 7439	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝐾) → ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) = ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)))
31	30	eleq1d 2824	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑁‘𝐾) → (((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ ↔ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
32	31	elrab 3695	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝐾) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ((𝐵‘𝐾) · 𝑛) ∈ ℤ} ↔ ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))
33	29, 32	sylib 218	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ((𝑁‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((𝐵‘𝐾) · (𝑁‘𝐾)) ∈ ℤ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  {crab 3433   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  infcinf 9479  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℚcq 12988  seqcseq 14039  0_𝑝c0p 25718  Polycply 26238  coeffccoe 26240  degcdgr 26241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-0p 25719  df-ply 26242  df-coe 26244

This theorem is referenced by:  elqaalem2  26377