Theorem ramub 16939

Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rami.c	⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
rami.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
rami.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rami.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
ramub.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
ramub.i	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))

Assertion

Ref	Expression
ramub	⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑐,𝑠,𝑥,𝐶   𝜑,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝐹,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑎,𝑏,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥,𝑀   𝑅,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥   𝑁,𝑎,𝑐,𝑓,𝑖,𝑠,𝑥   𝑉,𝑐,𝑓,𝑠,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑖,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑖,𝑎,𝑏)   𝑁(𝑏)   𝑉(𝑖,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem ramub

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rami.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
2		rami.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		rami.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑅⟶ℕ0)
4		breq1 5099	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ≤ (♯‘𝑠) ↔ 𝑁 ≤ (♯‘𝑠)))
5	4	imbi1d 341	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))) ↔ (𝑁 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))))
6	5	albidv 1921	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))) ↔ ∀𝑠(𝑁 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))))
7		ramub.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		elmapi 8784	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀)) → 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)
9		ramub.i	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 ≤ (♯‘𝑠) ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅)) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
10	9	ancom2s 650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑠))) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))
11	10	expr 456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:(𝑠𝐶𝑀)⟶𝑅) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑠) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
12	8, 11	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))) → (𝑁 ≤ (♯‘𝑠) → ∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
13	12	ralrimdva 3134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
14	13	alrimiv 1928	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠(𝑁 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐}))))
15	6, 7, 14	elrabd 3646	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))})
16		rami.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑎 ∈ V, 𝑖 ∈ ℕ0 ↦ {𝑏 ∈ 𝒫 𝑎 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑖})
17		eqid 2734	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))} = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}
18	16, 17	ramtub 16938	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝑅⟶ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑠(𝑛 ≤ (♯‘𝑠) → ∀𝑓 ∈ (𝑅 ↑m (𝑠𝐶𝑀))∃𝑐 ∈ 𝑅 ∃𝑥 ∈ 𝒫 𝑠((𝐹‘𝑐) ≤ (♯‘𝑥) ∧ (𝑥𝐶𝑀) ⊆ (◡𝑓 “ {𝑐})))}) → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)
19	1, 2, 3, 15, 18	syl31anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Ramsey 𝐹) ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   class class class wbr 5096  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8761   ≤ cle 11165  ℕ₀cn0 12399  ♯chash 14251   Ramsey cram 16925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-ram 16927

This theorem is referenced by:  ramub2  16940  0ram  16946  ram0  16948  ramz2  16950