Theorem resunimafz0 14411

Description: TODO-AV: Revise using 𝐹 ∈ Word dom 𝐼? Formerly part of proof of eupth2lem3 29922: The union of a restriction by an image over an open range of nonnegative integers and a singleton of an ordered pair is a restriction by an image over an interval of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resunimafz0.i	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
resunimafz0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
resunimafz0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
resunimafz0	⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Proof of Theorem resunimafz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaundi 6149	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁}))
2		resunimafz0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3		elfzonn0 13684	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		elnn0uz 12874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzisfzounsn 13751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
9	8	imaeq2d 6059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
10		resunimafz0.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
11	10	ffnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
12		fnsnfv 6970	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
13	11, 2, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
14	13	uneq2d 4163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁})))
15	1, 9, 14	3eqtr4a 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}))
16	15	reseq2d 5981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})))
17		resundi 5995	. . 3 ⊢ (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
18	16, 17	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})))
19		resunimafz0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
20	19	funfnd 6579	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
21	10, 2	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
22		fnressn 7158	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23	20, 21, 22	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
24	23	uneq2d 4163	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
25	18, 24	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∪ cun 3946  {csn 4628  ⟨cop 4634  dom cdm 5676   ↾ cres 5678   “ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11116  ℕ₀cn0 12479  ℤ_≥cuz 12829  ...cfz 13491  ..^cfzo 13634  ♯chash 14297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635

This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  29913