Theorem resunimafz0 14422

Description: TODO-AV: Revise using 𝐹 ∈ Word dom 𝐼? Formerly part of proof of eupth2lem3 30020: The union of a restriction by an image over an open range of nonnegative integers and a singleton of an ordered pair is a restriction by an image over an interval of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resunimafz0.i	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
resunimafz0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
resunimafz0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
resunimafz0	⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Proof of Theorem resunimafz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaundi 6148	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁}))
2		resunimafz0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3		elfzonn0 13695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		elnn0uz 12883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
6	4, 5	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzisfzounsn 13762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
9	8	imaeq2d 6057	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
10		resunimafz0.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
11	10	ffnd 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
12		fnsnfv 6971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
13	11, 2, 12	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
14	13	uneq2d 4159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁})))
15	1, 9, 14	3eqtr4a 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}))
16	15	reseq2d 5979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})))
17		resundi 5993	. . 3 ⊢ (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
18	16, 17	eqtrdi 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})))
19		resunimafz0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
20	19	funfnd 6578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
21	10, 2	ffvelcdmd 7089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
22		fnressn 7161	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23	20, 21, 22	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
24	23	uneq2d 4159	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
25	18, 24	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3942  {csn 4624  ⟨cop 4630  dom cdm 5672   ↾ cres 5674   “ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124  ℕ₀cn0 12488  ℤ_≥cuz 12838  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  ♯chash 14307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646

This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  30011