MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resunimafz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resunimafz0 14349
Description: TODO-AV: Revise using 𝐹 ∈ Word dom 𝐼? Formerly part of proof of eupth2lem3 29222: The union of a restriction by an image over an open range of nonnegative integers and a singleton of an ordered pair is a restriction by an image over an interval of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resunimafz0.i (𝜑 → Fun 𝐼)
resunimafz0.f (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
resunimafz0.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
Assertion
Ref Expression
resunimafz0 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}))

Proof of Theorem resunimafz0
StepHypRef Expression
1 imaundi 6107 . . . . 5 (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁}))
2 resunimafz0.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3 elfzonn0 13624 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5 elnn0uz 12815 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
64, 5sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
7 fzisfzounsn 13691 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
98imaeq2d 6018 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
10 resunimafz0.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
1110ffnd 6674 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
12 fnsnfv 6925 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝐹𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
1311, 2, 12syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → {(𝐹𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
1413uneq2d 4128 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹𝑁)}) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁})))
151, 9, 143eqtr4a 2803 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹𝑁)}))
1615reseq2d 5942 . . 3 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹𝑁)})))
17 resundi 5956 . . 3 (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹𝑁)}))
1816, 17eqtrdi 2793 . 2 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹𝑁)})))
19 resunimafz0.i . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐼)
2019funfnd 6537 . . . 4 (𝜑𝐼 Fn dom 𝐼)
2110, 2ffvelcdmd 7041 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ dom 𝐼)
22 fnressn 7109 . . . 4 ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹𝑁)}) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
2320, 21, 22syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹𝑁)}) = {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩})
2423uneq2d 4128 . 2 (𝜑 → ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}))
2518, 24eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹𝑁), (𝐼‘(𝐹𝑁))⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3913  {csn 4591  cop 4597  dom cdm 5638  cres 5640  cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  0cn0 12420  cuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575
This theorem is referenced by:  trlsegvdeg  29213
  Copyright terms: Public domain W3C validator