Theorem resunimafz0 14489

Description: TODO-AV: Revise using 𝐹 ∈ Word dom 𝐼? Formerly part of proof of eupth2lem3 30598: The union of a restriction by an image over an open range of nonnegative integers and a singleton of an ordered pair is a restriction by an image over an interval of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resunimafz0.i	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
resunimafz0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
resunimafz0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))

Assertion

Ref	Expression
resunimafz0	⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

Proof of Theorem resunimafz0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaundi 6146	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁}))
2		resunimafz0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
3		elfzonn0 13743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5		elnn0uz 12909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
6	4, 5	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
7		fzisfzounsn 13816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
9	8	imaeq2d 6061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁})))
10		resunimafz0.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
11	10	ffnd 6706	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
12		fnsnfv 6960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
13	11, 2, 12	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝐹‘𝑁)} = (𝐹 “ {𝑁}))
14	13	uneq2d 4121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ (𝐹 “ {𝑁})))
15	1, 9, 14	3eqtr4a 2823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0...𝑁)) = ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)}))
16	15	reseq2d 5977	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})))
17		resundi 5991	. . 3 ⊢ (𝐼 ↾ ((𝐹 “ (0..^𝑁)) ∪ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}))
18	16, 17	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})))
19		resunimafz0.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
20	19	funfnd 6567	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
21	10, 2	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼)
22		fnressn 7155	. . . 4 ⊢ ((𝐼 Fn dom 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ dom 𝐼) → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
23	20, 21, 22	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)}) = {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩})
24	23	uneq2d 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ (𝐼 ↾ {(𝐹‘𝑁)})) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))
25	18, 24	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0...𝑁))) = ((𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))) ∪ {⟨(𝐹‘𝑁), (𝐼‘(𝐹‘𝑁))⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902  {csn 4588  ⟨cop 4594  dom cdm 5660   ↾ cres 5662   “ cima 5663  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  0cc0 11106  ℕ₀cn0 12510  ℤ_≥cuz 12868  ...cfz 13541  ..^cfzo 13689  ♯chash 14373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690

This theorem is used by:  trlsegvdeg  30589