Theorem rng1nnzr 20793

Description: The (smallest) structure representing a zero ring is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rng1nnzr.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
rng1nnzr	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Proof of Theorem rng1nnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5442	. . . . . . 7 ⊢ {𝑍} ∈ V
2		rng1nnzr.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
3	2	rngbase 17345	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑀))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} = (Base‘𝑀))
5	4	eqcomd 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = {𝑍})
6	5	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = (♯‘{𝑍}))
7		hashsng 14405	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑍}) = 1)
8	6, 7	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = 1)
9	2	ring1 20324	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Ring)
10		0ringnnzr 20542	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
12	8, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
13		df-nel 3045	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  Vcvv 3478  {csn 4631  {ctp 4635  ⟨cop 4637  ‘cfv 6563  1c1 11154  ♯chash 14366  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Ringcrg 20251  NzRingcnzr 20529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-nzr 20530

This theorem is referenced by:  rng1nfld  20797  lmod1zrnlvec  48340