Theorem rng1nnzr 20685

Description: The (smallest) structure representing a zero ring is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rng1nnzr.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
rng1nnzr	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Proof of Theorem rng1nnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5369	. . . . . . 7 ⊢ {𝑍} ∈ V
2		rng1nnzr.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
3	2	rngbase 17198	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑀))
4	1, 3	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} = (Base‘𝑀))
5	4	eqcomd 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = {𝑍})
6	5	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = (♯‘{𝑍}))
7		hashsng 14271	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑍}) = 1)
8	6, 7	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = 1)
9	2	ring1 20223	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Ring)
10		0ringnnzr 20435	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
12	8, 11	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
13		df-nel 3033	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  Vcvv 3436  {csn 4571  {ctp 4575  ⟨cop 4577  ‘cfv 6476  1c1 11002  ♯chash 14232  ndxcnx 17099  Basecbs 17115  +_gcplusg 17156  ._rcmulr 17157  Ringcrg 20146  NzRingcnzr 20422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-nzr 20423

This theorem is referenced by:  rng1nfld  20689  lmod1zrnlvec  48526