MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rng1nnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rng1nnzr 20760
Description: The (smallest) structure representing a zero ring is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rng1nnzr.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
rng1nnzr (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 βˆ‰ NzRing)

Proof of Theorem rng1nnzr
StepHypRef Expression
1 snex 5393 . . . . . . 7 {𝑍} ∈ V
2 rng1nnzr.m . . . . . . . 8 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
32rngbase 17187 . . . . . . 7 ({𝑍} ∈ V β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
41, 3mp1i 13 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
54eqcomd 2743 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = {𝑍})
65fveq2d 6851 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘€)) = (β™―β€˜{𝑍}))
7 hashsng 14276 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜{𝑍}) = 1)
86, 7eqtrd 2777 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (β™―β€˜(Baseβ€˜π‘€)) = 1)
92ring1 20033 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)
10 0ringnnzr 20755 . . . 4 (𝑀 ∈ Ring β†’ ((β™―β€˜(Baseβ€˜π‘€)) = 1 ↔ Β¬ 𝑀 ∈ NzRing))
119, 10syl 17 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((β™―β€˜(Baseβ€˜π‘€)) = 1 ↔ Β¬ 𝑀 ∈ NzRing))
128, 11mpbid 231 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ NzRing)
13 df-nel 3051 . 2 (𝑀 βˆ‰ NzRing ↔ Β¬ 𝑀 ∈ NzRing)
1412, 13sylibr 233 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 βˆ‰ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3050  Vcvv 3448  {csn 4591  {ctp 4595  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  1c1 11059  β™―chash 14237  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Ringcrg 19971  NzRingcnzr 20743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-nzr 20744
This theorem is referenced by:  rng1nfld  20764  lmod1zrnlvec  46649
  Copyright terms: Public domain W3C validator