Theorem rng1nnzr 20858

Description: The (smallest) structure representing a zero ring is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rng1nnzr.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
rng1nnzr	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Proof of Theorem rng1nnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5410	. . . . . . 7 ⊢ {𝑍} ∈ V
2		rng1nnzr.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
3	2	rngbase 17351	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑀))
4	1, 3	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} = (Base‘𝑀))
5	4	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = {𝑍})
6	5	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = (♯‘{𝑍}))
7		hashsng 14404	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑍}) = 1)
8	6, 7	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = 1)
9	2	ring1 20392	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Ring)
10		0ringnnzr 20608	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
12	8, 11	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
13		df-nel 3063	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3062  Vcvv 3453  {csn 4588  {ctp 4592  ⟨cop 4594  ‘cfv 6536  1c1 11100  ♯chash 14365  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  Ringcrg 20314  NzRingcnzr 20594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-nzr 20595

This theorem is referenced by:  rng1nfld  20861  lmod1zrnlvec  49219