Theorem rng1nnzr 20857

Description: The (smallest) structure representing a zero ring is not a nonzero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rng1nnzr.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
rng1nnzr	⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Proof of Theorem rng1nnzr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5411	. . . . . . 7 ⊢ {𝑍} ∈ V
2		rng1nnzr.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
3	2	rngbase 17352	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑀))
4	1, 3	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → {𝑍} = (Base‘𝑀))
5	4	eqcomd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = {𝑍})
6	5	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = (♯‘{𝑍}))
7		hashsng 14405	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝑍}) = 1)
8	6, 7	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → (♯‘(Base‘𝑀)) = 1)
9	2	ring1 20393	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Ring)
10		0ringnnzr 20609	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
11	9, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ((♯‘(Base‘𝑀)) = 1 ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing))
12	8, 11	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
13		df-nel 3071	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑀 ∈ NzRing)
14	12, 13	sylibr 237	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∉ NzRing)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∉ wnel 3070  Vcvv 3463  {csn 4594  {ctp 4598  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  1c1 11101  ♯chash 14366  ndxcnx 17253  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311  Ringcrg 20315  NzRingcnzr 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-nzr 20596

This theorem is referenced by:  rng1nfld  20860  lmod1zrnlvec  49193