Theorem rngisomfv1 20737

Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then the function value of the ring unity of the unital ring is an element of the base set of the non-unital ring. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngisom1.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
rngisom1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rngisomfv1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngisomfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		rngisom1.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3	1, 2	rngimf1o 20726	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶1-1onto𝐵)
4		f1of 6852	. . . 4 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶1-1onto𝐵 → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶𝐵)
7		rngisom1.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
8	1, 7	ringidcl 20536	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Base‘𝑅))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 1 ∈ (Base‘𝑅))
10	6, 9	ffvelcdmd 7115	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘ 1 ) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟶wf 6560  ⟶1-1ontowf1o 6563  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  Basecbs 17428  1_rcur 20449  Ringcrg 20501   RngIso crngim 20707

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-plusg 17482  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-mgmhm 18922  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-ghm 19469  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-rnghm 20708  df-rngim 20709

This theorem is used by:  rngisom1  20738  rngisomring  20739