MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngimf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngimf1o 20341
Description: An isomorphism of non-unital rings is a bijection. (Contributed by AV, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnghmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rngimf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)

Proof of Theorem rngimf1o
StepHypRef Expression
1 rngimrcl 20333 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → (𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V))
2 rnghmf1o.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rnghmf1o.c . . . 4 𝐶 = (Base‘𝑆)
42, 3isrngim2 20340 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)))
5 simpr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
64, 5syl6bi 253 . 2 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
71, 6mpcom 38 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  1-1-ontowf1o 6532  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140   RngHom crnghm 20321   RngIso crngim 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mgm 18560  df-mgmhm 18612  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-ghm 19124  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-rnghm 20323  df-rngim 20324
This theorem is referenced by:  rngisomfv1  20352  rngisom1  20353  rngisomring1  20355  rngcinv  20518  rngqiprngu  21156  rngcinvALTV  47105
  Copyright terms: Public domain W3C validator