Theorem rngisomring 20537

Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then both rings are unital. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rngisomring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngisomring

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Rng)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rngisomfv1 20535	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
5	4	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
6		oveq1 7407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥))
7	6	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
8		oveq2 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
9	8	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
10	7, 9	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ (((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
11	10	ralbidv 3188	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
12	11	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
14	2, 3, 13	rngisom1 20536	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
15	5, 12, 14	rspcedvd 3586	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥))
16	3, 13	isringrng 20358	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Ring ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥)))
17	1, 15, 16	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  ._rcmulr 17299  Rngcrng 20218  1_rcur 20251  Ringcrg 20303   RngIso crngim 20505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-plusg 17311  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-mgmhm 18738  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-ghm 19272  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-rnghm 20506  df-rngim 20507

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21406