Theorem rngisomring 20425

Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then both rings are unital. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rngisomring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngisomring

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Rng)
2		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rngisomfv1 20423	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
5	4	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
6		oveq1 7410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥))
7	6	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
8		oveq2 7411	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
9	8	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
10	7, 9	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ (((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
11	10	ralbidv 3163	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
14	2, 3, 13	rngisom1 20424	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
15	5, 12, 14	rspcedvd 3603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥))
16	3, 13	isringrng 20245	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Ring ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥)))
17	1, 15, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  ._rcmulr 17270  Rngcrng 20110  1_rcur 20139  Ringcrg 20191   RngIso crngim 20393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-mgmhm 18668  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-ghm 19194  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-rnghm 20394  df-rngim 20395

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21266