Theorem rngisomring 20408

Description: If there is a non-unital ring isomorphism between a unital ring and a non-unital ring, then both rings are unital. (Contributed by AV, 27-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rngisomring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Proof of Theorem rngisomring

Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Rng)
2		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4	2, 3	rngisomfv1 20406	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
5	4	3adant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑆))
6		oveq1 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥))
7	6	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ↔ ((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
8		oveq2 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))))
9	8	eqeq1d 2727	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → ((𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
10	7, 9	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ (((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
11	10	ralbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅)) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
12	11	adantl 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) ∧ 𝑖 = (𝐹‘(1r‘𝑅))) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥)))
13		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
14	2, 3, 13	rngisom1 20407	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((𝐹‘(1r‘𝑅))(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅))) = 𝑥))
15	5, 12, 14	rspcedvd 3604	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥))
16	3, 13	isringrng 20225	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ Ring ↔ (𝑆 ∈ Rng ∧ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)((𝑖(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)𝑖) = 𝑥)))
17	1, 15, 16	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Rng ∧ 𝐹 ∈ (𝑅 RngIso 𝑆)) → 𝑆 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231  Rngcrng 20094  1_rcur 20123  Ringcrg 20175   RngIso crngim 20376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-mgmhm 18649  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-ghm 19170  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-rnghm 20377  df-rngim 20378

This theorem is referenced by:  rngringbdlem2  21199