Theorem pntpbnd 27650

Description: Lemma for pnt 27676. Establish smallness of 𝑅 at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦   𝑒,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd

Dummy variables 𝑑 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibnd.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd2 27629	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4		2rp 13062	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 13079	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
7		2re 12367	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		elioore 13437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10		eliooord 13466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
12	11	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑒)
13	9, 12	elrpd 13096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
14		rerpdivcl 13087	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
15	7, 13, 14	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
16	15	rpefcld 16153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+)
17		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
18		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(2 / 𝑒)) = (exp‘(2 / 𝑒))
19		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
20		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑)
22		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 + 2) = (𝑑 + 2)
23		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
25	1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	pntpbnd2 27649	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
26		iman 401	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) ↔ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
27	25, 26	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
28	27	ralrimivva 3208	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
29		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (𝑥(,)+∞) = ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
30	29	raleqdv 3334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
31	30	ralbidv 3184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
32	31	rspcev 3635	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
33	16, 28, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
34	33	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
35		fvoveq1 7471	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒)))
36	35	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
37	36	raleqdv 3334	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
38	37	rexbidv 3185	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
39	38	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
40	39	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ (((𝑑 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
41	6, 34, 40	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
42	41	rexlimiva 3153	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
43	2, 42	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℤcz 12639  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  [,)cico 13409  ...cfz 13567  abscabs 15283  Σcsu 15734  expce 16109  ψcchp 27154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-o1 15536  df-lo1 15537  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ulm 26438  df-log 26616  df-cxp 26617  df-atan 26928  df-em 27054  df-cht 27158  df-vma 27159  df-chp 27160  df-ppi 27161

This theorem is referenced by:  pntibnd  27655