Theorem pntpbnd 26641

Description: Lemma for pnt 26667. Establish smallness of 𝑅 at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦   𝑒,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd

Dummy variables 𝑑 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibnd.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd2 26620	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4		2rp 12664	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 12681	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
7		2re 11977	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		elioore 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10		eliooord 13067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
12	11	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑒)
13	9, 12	elrpd 12698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
14		rerpdivcl 12689	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
15	7, 13, 14	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
16	15	rpefcld 15742	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+)
17		simpllr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
18		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(2 / 𝑒)) = (exp‘(2 / 𝑒))
19		simplrr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
20		simp-4l 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		simp-4r 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑)
22		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 + 2) = (𝑑 + 2)
23		simplrl 773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
25	1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	pntpbnd2 26640	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
26		iman 401	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) ↔ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
27	25, 26	mpbir 230	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
28	27	ralrimivva 3114	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
29		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (𝑥(,)+∞) = ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
30	29	raleqdv 3339	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
31	30	ralbidv 3120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
32	31	rspcev 3552	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
33	16, 28, 32	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
34	33	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
35		fvoveq1 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒)))
36	35	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
37	36	raleqdv 3339	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
38	37	rexbidv 3225	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
39	38	ralbidv 3120	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
40	39	rspcev 3552	. . . 4 ⊢ (((𝑑 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
41	6, 34, 40	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
42	41	rexlimiva 3209	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
43	2, 42	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  +∞cpnf 10937   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  [,)cico 13010  ...cfz 13168  abscabs 14873  Σcsu 15325  expce 15699  ψcchp 26147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-o1 15127  df-lo1 15128  df-sum 15326  df-ef 15705  df-e 15706  df-sin 15707  df-cos 15708  df-tan 15709  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-ulm 25441  df-log 25617  df-cxp 25618  df-atan 25922  df-em 26047  df-cht 26151  df-vma 26152  df-chp 26153  df-ppi 26154

This theorem is referenced by:  pntibnd  26646