Theorem pntpbnd 27521

Description: Lemma for pnt 27547. Establish smallness of 𝑅 at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦   𝑒,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd

Dummy variables 𝑑 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibnd.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd2 27500	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑
3		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4		2rp 12890	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 12909	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
7		2re 12194	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		elioore 13270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10		eliooord 13300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
12	11	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑒)
13	9, 12	elrpd 12926	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
14		rerpdivcl 12917	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
15	7, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
16	15	rpefcld 16009	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+)
17		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
18		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(2 / 𝑒)) = (exp‘(2 / 𝑒))
19		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
20		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑)
22		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 + 2) = (𝑑 + 2)
23		simplrl 776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
24		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
25	1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	pntpbnd2 27520	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
26		iman 401	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) ↔ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
27	25, 26	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
28	27	ralrimivva 3175	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
29		oveq1 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (𝑥(,)+∞) = ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
30	29	raleqdv 3292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
31	30	ralbidv 3155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
32	31	rspcev 3572	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
33	16, 28, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
34	33	ralrimiva 3124	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
35		fvoveq1 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒)))
36	35	oveq1d 7356	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
37	36	raleqdv 3292	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
38	37	rexbidv 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
39	38	ralbidv 3155	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
40	39	rspcev 3572	. . . 4 ⊢ (((𝑑 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
41	6, 34, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
42	41	rexlimiva 3125	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
43	2, 42	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004   · cmul 11006  +∞cpnf 11138   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  ℤcz 12463  ℝ⁺crp 12885  (,)cioo 13240  [,)cico 13242  ...cfz 13402  abscabs 15136  Σcsu 15588  expce 15963  ψcchp 27025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-o1 15392  df-lo1 15393  df-sum 15589  df-ef 15969  df-e 15970  df-sin 15971  df-cos 15972  df-tan 15973  df-pi 15974  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-prm 16578  df-pc 16744  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-cmp 23297  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790  df-ulm 26308  df-log 26487  df-cxp 26488  df-atan 26799  df-em 26925  df-cht 27029  df-vma 27030  df-chp 27031  df-ppi 27032

This theorem is referenced by:  pntibnd  27526