Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd 26156
 Description: Lemma for pnt 26182. Establish smallness of 𝑅 at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd 𝑐 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦   𝑒,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd
Dummy variables 𝑑 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntibnd.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrsumbnd2 26135 . 2 𝑑 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑
3 simpl 485 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4 2rp 12386 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
5 rpaddcl 12403 . . . . 5 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancl 588 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
7 2re 11703 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
8 elioore 12760 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
98adantl 484 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10 eliooord 12788 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒𝑒 < 1))
1110adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑒𝑒 < 1))
1211simpld 497 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑒)
139, 12elrpd 12420 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
14 rerpdivcl 12411 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
157, 13, 14sylancr 589 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
1615rpefcld 15450 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+)
17 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
18 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (exp‘(2 / 𝑒)) = (exp‘(2 / 𝑒))
19 simplrr 776 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
20 simp-4l 781 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑)
22 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (𝑑 + 2) = (𝑑 + 2)
23 simplrl 775 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
24 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
251, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24pntpbnd2 26155 . . . . . . . 8 ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
26 iman 404 . . . . . . . 8 (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) ↔ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
2725, 26mpbir 233 . . . . . . 7 ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
2827ralrimivva 3189 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
29 oveq1 7155 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (𝑥(,)+∞) = ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
3029raleqdv 3414 . . . . . . . 8 (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
3130ralbidv 3195 . . . . . . 7 (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
3231rspcev 3621 . . . . . 6 (((exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
3316, 28, 32syl2anc 586 . . . . 5 (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
3433ralrimiva 3180 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
35 fvoveq1 7171 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝑑 + 2) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒)))
3635oveq1d 7163 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑑 + 2) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
3736raleqdv 3414 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
3837rexbidv 3295 . . . . . 6 (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
3938ralbidv 3195 . . . . 5 (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
4039rspcev 3621 . . . 4 (((𝑑 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
416, 34, 40syl2anc 586 . . 3 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
4241rexlimiva 3279 . 2 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
432, 42ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057   ↦ cmpt 5137  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  +∞cpnf 10664   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11630  2c2 11684  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381  (,)cioo 12730  [,)cico 12732  ...cfz 12884  abscabs 14585  Σcsu 15034  expce 15407  ψcchp 25662 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-o1 14839  df-lo1 14840  df-sum 15035  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15836  df-prm 16008  df-pc 16166  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-cmp 21987  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-ulm 24957  df-log 25132  df-cxp 25133  df-atan 25437  df-em 25562  df-cht 25666  df-vma 25667  df-chp 25668  df-ppi 25669 This theorem is referenced by:  pntibnd  26161
 Copyright terms: Public domain W3C validator