Theorem pntpbnd 27783

Description: Lemma for pnt 27809. Establish smallness of 𝑅 at a point. Lemma 10.6.1 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntpbnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦   𝑒,𝑐,𝑘,𝑛,𝑥,𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd

Dummy variables 𝑑 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntibnd.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrsumbnd2 27762	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑
3		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → 𝑑 ∈ ℝ+)
4		2rp 13033	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 13052	. . . . 5 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → (𝑑 + 2) ∈ ℝ+)
7		2re 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		elioore 13414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ)
10		eliooord 13444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
12	11	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑒)
13	9, 12	elrpd 13069	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
14		rerpdivcl 13060	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
15	7, 13, 14	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (2 / 𝑒) ∈ ℝ)
16	15	rpefcld 16179	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+)
17		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
18		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(2 / 𝑒)) = (exp‘(2 / 𝑒))
19		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
20		simp-4l 795	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
21		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑)
22		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 + 2) = (𝑑 + 2)
23		simplrl 789	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → 𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
24		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
25	1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24	pntpbnd2 27782	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
26		iman 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) ↔ ¬ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
27	25, 26	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
28	27	ralrimivva 3210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
29		oveq1 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (𝑥(,)+∞) = ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞))
30	29	raleqdv 3325	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
31	30	ralbidv 3190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (exp‘(2 / 𝑒)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
32	31	rspcev 3583	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘(2 / 𝑒)) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ ((exp‘(2 / 𝑒))(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
33	16, 28, 32	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
34	33	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
35		fvoveq1 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒)))
36	35	oveq1d 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞))
37	36	raleqdv 3325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
38	37	rexbidv 3191	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
39	38	ralbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝑑 + 2) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)))
40	39	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ (((𝑑 + 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘((𝑑 + 2) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
41	6, 34, 40	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
42	41	rexlimiva 3160	. 2 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑖 ∈ ℕ ∀𝑗 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (𝑖...𝑗)((𝑅‘𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒))
43	2, 42	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑒)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  +∞cpnf 11251   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℤcz 12602  ℝ⁺crp 13028  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  ...cfz 13547  abscabs 15305  Σcsu 15757  expce 16133  ψcchp 27288

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-o1 15561  df-lo1 15562  df-sum 15758  df-ef 16139  df-e 16140  df-sin 16141  df-cos 16142  df-tan 16143  df-pi 16144  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-pc 16915  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-cmp 23574  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057  df-ulm 26571  df-log 26752  df-cxp 26753  df-atan 27063  df-em 27188  df-cht 27292  df-vma 27293  df-chp 27294  df-ppi 27295

This theorem is used by:  pntibnd  27788