MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem5 25139
Description: Lemma for emcl 25142. The partial sums of the series 𝑇, which is used in the definition df-em 25132, is in fact the same as 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
Assertion
Ref Expression
emcllem5 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 12663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
21adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ)
32nncnd 11368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4 1cnd 10351 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 1 ∈ ℂ)
52nnne0d 11401 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ≠ 0)
63, 4, 3, 5divdird 11165 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
73, 5dividd 11125 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
87oveq1d 6920 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
96, 8eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = (1 + (1 / 𝑚)))
109fveq2d 6437 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
11 peano2nn 11364 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
1312nnrpd 12154 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
142nnrpd 12154 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1513, 14relogdivd 24771 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
1610, 15eqtr3d 2863 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
1716sumeq2dv 14810 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
18 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑚 → (log‘𝑥) = (log‘𝑚))
19 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑚 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑚 + 1)))
20 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
21 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑛 + 1)))
22 nnz 11727 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
23 peano2nn 11364 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24 nnuz 12005 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2523, 24syl6eleq 2916 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘1))
26 elfznn 12663 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
2726adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
2827nnrpd 12154 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2928relogcld 24768 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
3029recnd 10385 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3118, 19, 20, 21, 22, 25, 30telfsum2 14911 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)))
32 log1 24731 . . . . . . . 8 (log‘1) = 0
3332oveq2i 6916 . . . . . . 7 ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − 0)
3423nnrpd 12154 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
3534relogcld 24768 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
3635recnd 10385 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
3736subid1d 10702 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − 0) = (log‘(𝑛 + 1)))
3833, 37syl5eq 2873 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = (log‘(𝑛 + 1)))
3917, 31, 383eqtrd 2865 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = (log‘(𝑛 + 1)))
4039oveq2d 6921 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41 fzfid 13067 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
422nnrecred 11402 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
4342recnd 10385 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
44 1rp 12116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
4514rpreccld 12166 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
46 rpaddcl 12136 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
4744, 45, 46sylancr 583 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
4847relogcld 24768 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
4948recnd 10385 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℂ)
5041, 43, 49fsumsub 14894 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
51 oveq2 6913 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
5251oveq2d 6921 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
5352fveq2d 6437 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
5451, 53oveq12d 6923 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
55 emcl.4 . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
56 ovex 6937 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ V
5754, 55, 56fvmpt 6529 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑇𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
582, 57syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑇𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
59 id 22 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
6059, 24syl6eleq 2916 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
6142, 48resubcld 10782 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
6261recnd 10385 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
6358, 60, 62fsumser 14838 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
6450, 63eqtr3d 2863 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
6540, 64eqtr3d 2863 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
6665mpteq2ia 4963 . 2 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
67 emcl.2 . 2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
68 1z 11735 . . . . 5 1 ∈ ℤ
69 seqfn 13107 . . . . 5 (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ‘1))
7068, 69ax-mp 5 . . . 4 seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ‘1)
7124fneq2i 6219 . . . 4 (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ‘1))
7270, 71mpbir 223 . . 3 seq1( + , 𝑇) Fn ℕ
73 dffn5 6488 . . 3 (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛)))
7472, 73mpbi 222 . 2 seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
7566, 67, 743eqtr4i 2859 1 𝐺 = seq1( + , 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  cmpt 4952   Fn wfn 6118  cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255  cmin 10585   / cdiv 11009  cn 11350  cz 11704  cuz 11968  +crp 12112  ...cfz 12619  seqcseq 13095  Σcsu 14793  logclog 24700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702
This theorem is referenced by:  emcllem6  25140
  Copyright terms: Public domain W3C validator