Theorem emcllem5 26349

Description: Lemma for emcl 26352. The partial sums of the series 𝑇, which is used in Definition df-em 26342, is in fact the same as 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem5	⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4		1cnd 11150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 1 ∈ ℂ)
5	2	nnne0d 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ≠ 0)
6	3, 4, 3, 5	divdird 11969	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
7	3, 5	dividd 11929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
8	7	oveq1d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
9	6, 8	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = (1 + (1 / 𝑚)))
10	9	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
11		peano2nn 12165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
14	2	nnrpd 12955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
15	13, 14	relogdivd 25981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
16	10, 15	eqtr3d 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
17	16	sumeq2dv 15588	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
18		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (log‘𝑥) = (log‘𝑚))
19		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑚 + 1)))
20		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
21		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑛 + 1)))
22		nnz 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
23		peano2nn 12165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24		nnuz 12806	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrdi 2848	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
26		elfznn 13470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 25978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
31	18, 19, 20, 21, 22, 25, 30	telfsum2 15690	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)))
32		log1 25941	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
33	32	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − 0)
34	23	nnrpd 12955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
35	34	relogcld 25978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
37	36	subid1d 11501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − 0) = (log‘(𝑛 + 1)))
38	33, 37	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = (log‘(𝑛 + 1)))
39	17, 31, 38	3eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = (log‘(𝑛 + 1)))
40	39	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41		fzfid 13878	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
42	2	nnrecred 12204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
44		1rp 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
45	14	rpreccld 12967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
46		rpaddcl 12937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
47	44, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
48	47	relogcld 25978	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℂ)
50	41, 43, 49	fsumsub 15673	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
51		oveq2 7365	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
52	51	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
53	52	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
54	51, 53	oveq12d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
55		emcl.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
56		ovex 7390	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
58	2, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑇‘𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
59		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
60	59, 24	eleqtrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
61	42, 48	resubcld 11583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
63	58, 60, 62	fsumser 15615	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
64	50, 63	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
65	40, 64	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
66	65	mpteq2ia 5208	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
67		emcl.2	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
68		1z 12533	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
69		seqfn 13918	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1)
71	24	fneq2i 6600	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1))
72	70, 71	mpbir 230	. . 3 ⊢ seq1( + , 𝑇) Fn ℕ
73		dffn5 6901	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛)))
74	72, 73	mpbi 229	. 2 ⊢ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
75	66, 67, 74	3eqtr4i 2774	1 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6491  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ...cfz 13424  seqcseq 13906  Σcsu 15570  logclog 25910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912

This theorem is referenced by:  emcllem6  26350