Theorem emcllem5 25139

Description: Lemma for emcl 25142. The partial sums of the series 𝑇, which is used in the definition df-em 25132, is in fact the same as 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem5	⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
2	1	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 11368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4		1cnd 10351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 1 ∈ ℂ)
5	2	nnne0d 11401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ≠ 0)
6	3, 4, 3, 5	divdird 11165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
7	3, 5	dividd 11125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
8	7	oveq1d 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
9	6, 8	eqtrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = (1 + (1 / 𝑚)))
10	9	fveq2d 6437	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
11		peano2nn 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
14	2	nnrpd 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
15	13, 14	relogdivd 24771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
16	10, 15	eqtr3d 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
17	16	sumeq2dv 14810	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
18		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (log‘𝑥) = (log‘𝑚))
19		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑚 + 1)))
20		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
21		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑛 + 1)))
22		nnz 11727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
23		peano2nn 11364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24		nnuz 12005	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	syl6eleq 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
26		elfznn 12663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
27	26	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 24768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	recnd 10385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
31	18, 19, 20, 21, 22, 25, 30	telfsum2 14911	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)))
32		log1 24731	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
33	32	oveq2i 6916	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − 0)
34	23	nnrpd 12154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
35	34	relogcld 24768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 10385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
37	36	subid1d 10702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − 0) = (log‘(𝑛 + 1)))
38	33, 37	syl5eq 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = (log‘(𝑛 + 1)))
39	17, 31, 38	3eqtrd 2865	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = (log‘(𝑛 + 1)))
40	39	oveq2d 6921	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41		fzfid 13067	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
42	2	nnrecred 11402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
44		1rp 12116	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
45	14	rpreccld 12166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
46		rpaddcl 12136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
47	44, 45, 46	sylancr 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
48	47	relogcld 24768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
49	48	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℂ)
50	41, 43, 49	fsumsub 14894	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
51		oveq2 6913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
52	51	oveq2d 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
53	52	fveq2d 6437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
54	51, 53	oveq12d 6923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
55		emcl.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
56		ovex 6937	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6529	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
58	2, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑇‘𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
59		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
60	59, 24	syl6eleq 2916	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
61	42, 48	resubcld 10782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 10385	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
63	58, 60, 62	fsumser 14838	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
64	50, 63	eqtr3d 2863	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
65	40, 64	eqtr3d 2863	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
66	65	mpteq2ia 4963	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
67		emcl.2	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
68		1z 11735	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
69		seqfn 13107	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1)
71	24	fneq2i 6219	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1))
72	70, 71	mpbir 223	. . 3 ⊢ seq1( + , 𝑇) Fn ℕ
73		dffn5 6488	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛)))
74	72, 73	mpbi 222	. 2 ⊢ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
75	66, 67, 74	3eqtr4i 2859	1 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)

Syntax hints:   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ↦ cmpt 4952   Fn wfn 6118  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   − cmin 10585   / cdiv 11009  ℕcn 11350  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  ℝ⁺crp 12112  ...cfz 12619  seqcseq 13095  Σcsu 14793  logclog 24700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-ioc 12468  df-ico 12469  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-bc 13383  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-cos 15173  df-pi 15175  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-rest 16436  df-topn 16437  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-topgen 16457  df-pt 16458  df-prds 16461  df-xrs 16515  df-qtop 16520  df-imas 16521  df-xps 16523  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-mulg 17895  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-fbas 20103  df-fg 20104  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-perf 21312  df-cn 21402  df-cnp 21403  df-haus 21490  df-tx 21736  df-hmeo 21929  df-fil 22020  df-fm 22112  df-flim 22113  df-flf 22114  df-xms 22495  df-ms 22496  df-tms 22497  df-cncf 23051  df-limc 24029  df-dv 24030  df-log 24702

This theorem is referenced by:  emcllem6  25140