Theorem emcllem5 26149

Description: Lemma for emcl 26152. The partial sums of the series 𝑇, which is used in Definition df-em 26142, is in fact the same as 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
emcl.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
emcl.3	⊢ 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (log‘(1 + (1 / 𝑛))))
emcl.4	⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))

Assertion

Ref	Expression
emcllem5	⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑚,𝐻   𝑚,𝑛,𝑇

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem emcllem5

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑛) → 𝑚 ∈ ℕ)
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℂ)
4		1cnd 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 1 ∈ ℂ)
5	2	nnne0d 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ≠ 0)
6	3, 4, 3, 5	divdird 11789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)))
7	3, 5	dividd 11749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 / 𝑚) = 1)
8	7	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 / 𝑚) + (1 / 𝑚)) = (1 + (1 / 𝑚)))
9	6, 8	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = (1 + (1 / 𝑚)))
10	9	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
11		peano2nn 11985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
12	2, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
14	2	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
15	13, 14	relogdivd 25781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
16	10, 15	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) = ((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
17	16	sumeq2dv 15415	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)))
18		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → (log‘𝑥) = (log‘𝑚))
19		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑚 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑚 + 1)))
20		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (log‘𝑥) = (log‘1))
21		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑛 + 1) → (log‘𝑥) = (log‘(𝑛 + 1)))
22		nnz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
23		peano2nn 11985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
24		nnuz 12621	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrdi 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
26		elfznn 13285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1)) → 𝑥 ∈ ℕ)
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℕ)
28	27	nnrpd 12770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
29	28	relogcld 25778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
30	29	recnd 11003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑛 + 1))) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
31	18, 19, 20, 21, 22, 25, 30	telfsum2 15517	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((log‘(𝑚 + 1)) − (log‘𝑚)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)))
32		log1 25741	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘1) = 0
33	32	oveq2i 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = ((log‘(𝑛 + 1)) − 0)
34	23	nnrpd 12770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
35	34	relogcld 25778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
36	35	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (log‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
37	36	subid1d 11321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − 0) = (log‘(𝑛 + 1)))
38	33, 37	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((log‘(𝑛 + 1)) − (log‘1)) = (log‘(𝑛 + 1)))
39	17, 31, 38	3eqtrd 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚))) = (log‘(𝑛 + 1)))
40	39	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
41		fzfid 13693	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
42	2	nnrecred 12024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
43	42	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
44		1rp 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
45	14	rpreccld 12782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ+)
46		rpaddcl 12752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝑚) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
47	44, 45, 46	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (1 + (1 / 𝑚)) ∈ ℝ+)
48	47	relogcld 25778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℝ)
49	48	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (log‘(1 + (1 / 𝑚))) ∈ ℂ)
50	41, 43, 49	fsumsub 15500	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
51		oveq2 7283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
52	51	oveq2d 7291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 + (1 / 𝑛)) = (1 + (1 / 𝑚)))
53	52	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (log‘(1 + (1 / 𝑛))) = (log‘(1 + (1 / 𝑚))))
54	51, 53	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
55		emcl.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / 𝑛) − (log‘(1 + (1 / 𝑛)))))
56		ovex 7308	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ V
57	54, 55, 56	fvmpt 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑇‘𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
58	2, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → (𝑇‘𝑚) = ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))))
59		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
60	59, 24	eleqtrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ (ℤ≥‘1))
61	42, 48	resubcld 11403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℝ)
62	61	recnd 11003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑛)) → ((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) ∈ ℂ)
63	58, 60, 62	fsumser 15442	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)((1 / 𝑚) − (log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
64	50, 63	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(log‘(1 + (1 / 𝑚)))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
65	40, 64	eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
66	65	mpteq2ia 5177	. 2 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
67		emcl.2	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
68		1z 12350	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
69		seqfn 13733	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1))
70	68, 69	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1)
71	24	fneq2i 6531	. . . 4 ⊢ (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) Fn (ℤ≥‘1))
72	70, 71	mpbir 230	. . 3 ⊢ seq1( + , 𝑇) Fn ℕ
73		dffn5 6828	. . 3 ⊢ (seq1( + , 𝑇) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛)))
74	72, 73	mpbi 229	. 2 ⊢ seq1( + , 𝑇) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝑇)‘𝑛))
75	66, 67, 74	3eqtr4i 2776	1 ⊢ 𝐺 = seq1( + , 𝑇)

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5157   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ℝ⁺crp 12730  ...cfz 13239  seqcseq 13721  Σcsu 15397  logclog 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712

This theorem is referenced by:  emcllem6  26150