MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdifbndlem2 27474
Description: Lemma for chpdifbnd 27475. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
chpdifbnd.1 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
chpdifbnd.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
chpdifbnd.2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜(((((ฯˆโ€˜๐‘ง) ยท (logโ€˜๐‘ง)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ง))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ง / ๐‘š)))) / ๐‘ง) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค ๐ต)
chpdifbnd.c ๐ถ = ((๐ต ยท (๐ด + 1)) + ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)))
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ถ   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ด,๐‘   ๐‘ง,๐ต
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ง,๐‘š,๐‘)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘š)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘š,๐‘)

Proof of Theorem chpdifbndlem2
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.c . . 3 ๐ถ = ((๐ต ยท (๐ด + 1)) + ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)))
2 chpdifbnd.b . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
3 chpdifbnd.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
4 1rp 13002 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
5 rpaddcl 13020 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง 1 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
63, 4, 5sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„+)
72, 6rpmulcld 13056 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„+)
87rpred 13040 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„)
9 2rp 13003 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
10 rpmulcl 13021 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
119, 3, 10sylancr 586 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„+)
1211rpred 13040 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
133relogcld 26544 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1412, 13remulcld 11266 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
158, 14readdcld 11265 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท (๐ด + 1)) + ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
167rpgt0d 13043 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต ยท (๐ด + 1)))
1711rprege0d 13047 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐ด)))
18 log1 26506 . . . . . . 7 (logโ€˜1) = 0
19 chpdifbnd.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
20 logleb 26524 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐ด โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
214, 3, 20sylancr 586 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 โ‰ค ๐ด โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐ด)))
2219, 21mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐ด))
2318, 22eqbrtrrid 5178 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐ด))
24 mulge0 11754 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท ๐ด)) โˆง ((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (logโ€˜๐ด))) โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)))
2517, 13, 23, 24syl12anc 836 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด)))
268, 14, 16, 25addgtge0d 11810 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ต ยท (๐ด + 1)) + ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด))))
2715, 26elrpd 13037 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต ยท (๐ด + 1)) + ((2 ยท ๐ด) ยท (logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
281, 27eqeltrid 2832 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
293adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
3019adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ 1 โ‰ค ๐ด)
312adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
32 chpdifbnd.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜(((((ฯˆโ€˜๐‘ง) ยท (logโ€˜๐‘ง)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ง))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ง / ๐‘š)))) / ๐‘ง) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค ๐ต)
3332adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (1[,)+โˆž)(absโ€˜(((((ฯˆโ€˜๐‘ง) ยท (logโ€˜๐‘ง)) + ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ง))((ฮ›โ€˜๐‘š) ยท (ฯˆโ€˜(๐‘ง / ๐‘š)))) / ๐‘ง) โˆ’ (2 ยท (logโ€˜๐‘ง)))) โ‰ค ๐ต)
34 simprl 770 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž))
35 simprr 772 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))
3629, 30, 31, 33, 1, 34, 35chpdifbndlem1 27473 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ)))) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
3736ralrimivva 3195 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
38 oveq1 7421 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))) = (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))
3938oveq2d 7430 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))) = ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
4039breq2d 5154 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ†” ((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))))
41402ralbidv 3213 . . 3 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))))
4241rspcev 3607 . 2 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐ถ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ))))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
4328, 37, 42syl2anc 583 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ[,](๐ด ยท ๐‘ฅ))((ฯˆโ€˜๐‘ฆ) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ฅ)) + (๐‘ ยท (๐‘ฅ / (logโ€˜๐‘ฅ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135  +โˆžcpnf 11267   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  2c2 12289  โ„+crp 12998  (,)cioo 13348  [,)cico 13350  [,]cicc 13351  ...cfz 13508  โŒŠcfl 13779  abscabs 15205  ฮฃcsu 15656  logclog 26475  ฮ›cvma 27011  ฯˆcchp 27012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-vma 27017  df-chp 27018
This theorem is referenced by:  chpdifbnd  27475
  Copyright terms: Public domain W3C validator