Theorem chpdifbndlem2 26902

Description: Lemma for chpdifbnd 26903. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdifbnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
chpdifbndlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑚,𝑐)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem chpdifbndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdifbnd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
2		chpdifbnd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		chpdifbnd.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4		1rp 12919	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 12937	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
7	2, 6	rpmulcld 12973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
9		2rp 12920	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpmulcl 12938	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
11	9, 3, 10	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	3	relogcld 25978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	8, 14	readdcld 11184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
16	7	rpgt0d 12960	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝐴 + 1)))
17	11	rprege0d 12964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
18		log1 25941	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
19		chpdifbnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
20		logleb 25958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
21	4, 3, 20	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
22	19, 21	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
23	18, 22	eqbrtrrid 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
24		mulge0 11673	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) ∧ ((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝐴))) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
25	17, 13, 23, 24	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
26	8, 14, 16, 25	addgtge0d 11729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))))
27	15, 26	elrpd 12954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
28	1, 27	eqeltrid 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	19	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 1 ≤ 𝐴)
31	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32		chpdifbnd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
33	32	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
34		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
35		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))
36	29, 30, 31, 33, 1, 34, 35	chpdifbndlem1 26901	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
37	36	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
38		oveq1 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))
39	38	oveq2d 7373	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
40	39	breq2d 5117	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
41	40	2ralbidv 3212	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
42	41	rspcev 3581	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
43	28, 37, 42	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  ℝ⁺crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ⌊cfl 13695  abscabs 15119  Σcsu 15570  logclog 25910  Λcvma 26441  ψcchp 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-pc 16709  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-vma 26447  df-chp 26448

This theorem is referenced by:  chpdifbnd  26903