Theorem chpdifbndlem2 27791

Description: Lemma for chpdifbnd 27792. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdifbnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
chpdifbndlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑚, 𝑐)   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑚)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑐)

Proof of Theorem chpdifbndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdifbnd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
2		chpdifbnd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		chpdifbnd.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4		1rp 13047	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 13067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
7	2, 6	rpmulcld 13103	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
9		2rp 13048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpmulcl 13068	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
11	9, 3, 10	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 13087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	3	relogcld 26861	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11264	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	8, 14	readdcld 11263	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
16	7	rpgt0d 13090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝐴 + 1)))
17	11	rprege0d 13094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
18		log1 26823	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
19		chpdifbnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
20		logleb 26841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
21	4, 3, 20	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
22	19, 21	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
23	18, 22	eqbrtrrid 5141	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
24		mulge0 11757	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) ∧ ((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝐴))) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
25	17, 13, 23, 24	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
26	8, 14, 16, 25	addgtge0d 11813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))))
27	15, 26	elrpd 13084	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
28	1, 27	eqeltrid 2864	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 1 ≤ 𝐴)
31	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32		chpdifbnd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
33	32	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
34		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
35		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))
36	29, 30, 31, 33, 1, 34, 35	chpdifbndlem1 27790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
37	36	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
38		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))
39	38	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
40	39	breq2d 5115	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
41	40	2ralbidv 3226	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
42	41	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
43	28, 37, 42	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   · cmul 11130  +∞cpnf 11265   ≤ cle 11269   − cmin 11466   / cdiv 11896  2c2 12320  ℝ⁺crp 13043  (,)cioo 13399  [,)cico 13401  [,]cicc 13402  ...cfz 13562  ⌊cfl 13852  abscabs 15322  Σcsu 15774  logclog 26792  Λcvma 27329  ψcchp 27330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-fi 9382  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-ioo 13403  df-ioc 13404  df-ico 13405  df-icc 13406  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-fl 13854  df-mod 13932  df-seq 14067  df-exp 14127  df-fac 14339  df-bc 14368  df-hash 14396  df-shft 15141  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-limsup 15559  df-clim 15576  df-rlim 15577  df-sum 15775  df-ef 16154  df-sin 16156  df-cos 16157  df-pi 16159  df-dvds 16344  df-gcd 16586  df-prm 16763  df-pc 16930  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-rest 17508  df-topn 17509  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-prds 17533  df-xrs 17589  df-qtop 17594  df-imas 17595  df-xps 17597  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-submnd 18893  df-mulg 19192  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-cld 23245  df-ntr 23246  df-cls 23247  df-nei 23324  df-lp 23362  df-perf 23363  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-haus 23541  df-tx 23789  df-hmeo 23982  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-xms 24547  df-ms 24548  df-tms 24549  df-cncf 25107  df-limc 26094  df-dv 26095  df-log 26794  df-vma 27335  df-chp 27336

This theorem is used by:  chpdifbnd  27792