MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpdifbndlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpdifbndlem2 26114
Description: Lemma for chpdifbnd 26115. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
chpdifbnd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.1 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
Assertion
Ref Expression
chpdifbndlem2 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐   𝑧,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑚,𝑐)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem chpdifbndlem2
StepHypRef Expression
1 chpdifbnd.c . . 3 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
2 chpdifbnd.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 chpdifbnd.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
4 1rp 12370 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
5 rpaddcl 12388 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancl 588 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
72, 6rpmulcld 12424 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ+)
87rpred 12408 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
9 2rp 12371 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
10 rpmulcl 12389 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
119, 3, 10sylancr 589 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
1211rpred 12408 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
133relogcld 25190 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1412, 13remulcld 10647 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
158, 14readdcld 10646 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
167rpgt0d 12411 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝐴 + 1)))
1711rprege0d 12415 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
18 log1 25153 . . . . . . 7 (log‘1) = 0
19 chpdifbnd.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
20 logleb 25170 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
214, 3, 20sylancr 589 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
2219, 21mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
2318, 22eqbrtrrid 5076 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
24 mulge0 11134 . . . . . 6 ((((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) ∧ ((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝐴))) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
2517, 13, 23, 24syl12anc 834 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
268, 14, 16, 25addgtge0d 11190 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))))
2715, 26elrpd 12405 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
281, 27eqeltrid 2915 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
293adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3019adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 1 ≤ 𝐴)
312adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32 chpdifbnd.2 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
3332adantr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
34 simprl 769 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
35 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))
3629, 30, 31, 33, 1, 34, 35chpdifbndlem1 26113 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
3736ralrimivva 3178 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
38 oveq1 7138 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))
3938oveq2d 7147 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4039breq2d 5052 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
41402ralbidv 3186 . . 3 (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
4241rspcev 3602 . 2 ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
4328, 37, 42syl2anc 586 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126   class class class wbr 5040  cfv 6329  (class class class)co 7131  cr 10512  0cc0 10513  1c1 10514   + caddc 10516   · cmul 10518  +∞cpnf 10648  cle 10652  cmin 10846   / cdiv 11273  2c2 11669  +crp 12366  (,)cioo 12715  [,)cico 12717  [,]cicc 12718  ...cfz 12874  cfl 13142  abscabs 14571  Σcsu 15020  logclog 25122  Λcvma 25653  ψcchp 25654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592  ax-mulf 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-iin 4896  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-supp 7807  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-pm 8385  df-ixp 8438  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-9 11684  df-n0 11875  df-z 11959  df-dec 12076  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xneg 12484  df-xadd 12485  df-xmul 12486  df-ioo 12719  df-ioc 12720  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-mod 13220  df-seq 13352  df-exp 13413  df-fac 13617  df-bc 13646  df-hash 13674  df-shft 14404  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-limsup 14806  df-clim 14823  df-rlim 14824  df-sum 15021  df-ef 15399  df-sin 15401  df-cos 15402  df-pi 15404  df-dvds 15586  df-gcd 15820  df-prm 15992  df-pc 16150  df-struct 16461  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-starv 16556  df-sca 16557  df-vsca 16558  df-ip 16559  df-tset 16560  df-ple 16561  df-ds 16563  df-unif 16564  df-hom 16565  df-cco 16566  df-rest 16672  df-topn 16673  df-0g 16691  df-gsum 16692  df-topgen 16693  df-pt 16694  df-prds 16697  df-xrs 16751  df-qtop 16756  df-imas 16757  df-xps 16759  df-mre 16833  df-mrc 16834  df-acs 16836  df-mgm 17828  df-sgrp 17877  df-mnd 17888  df-submnd 17933  df-mulg 18201  df-cntz 18423  df-cmn 18884  df-psmet 20510  df-xmet 20511  df-met 20512  df-bl 20513  df-mopn 20514  df-fbas 20515  df-fg 20516  df-cnfld 20519  df-top 21475  df-topon 21492  df-topsp 21514  df-bases 21527  df-cld 21600  df-ntr 21601  df-cls 21602  df-nei 21679  df-lp 21717  df-perf 21718  df-cn 21808  df-cnp 21809  df-haus 21896  df-tx 22143  df-hmeo 22336  df-fil 22427  df-fm 22519  df-flim 22520  df-flf 22521  df-xms 22903  df-ms 22904  df-tms 22905  df-cncf 23459  df-limc 24445  df-dv 24446  df-log 25124  df-vma 25659  df-chp 25660
This theorem is referenced by:  chpdifbnd  26115
  Copyright terms: Public domain W3C validator