Theorem chpdifbndlem2 27517

Description: Lemma for chpdifbnd 27518. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdifbnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
chpdifbndlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑚,𝑐)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem chpdifbndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdifbnd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
2		chpdifbnd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		chpdifbnd.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4		1rp 12946	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 12966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
7	2, 6	rpmulcld 13002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 12986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
9		2rp 12947	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpmulcl 12967	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
11	9, 3, 10	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 12986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	3	relogcld 26587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	8, 14	readdcld 11174	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
16	7	rpgt0d 12989	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝐴 + 1)))
17	11	rprege0d 12993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
18		log1 26549	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
19		chpdifbnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
20		logleb 26567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
21	4, 3, 20	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
23	18, 22	eqbrtrrid 5121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
24		mulge0 11668	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) ∧ ((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝐴))) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
25	17, 13, 23, 24	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
26	8, 14, 16, 25	addgtge0d 11724	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))))
27	15, 26	elrpd 12983	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
28	1, 27	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 1 ≤ 𝐴)
31	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32		chpdifbnd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
34		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
35		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))
36	29, 30, 31, 33, 1, 34, 35	chpdifbndlem1 27516	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
37	36	ralrimivva 3180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
38		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))
39	38	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
40	39	breq2d 5097	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
41	40	2ralbidv 3201	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
42	41	rspcev 3564	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
43	28, 37, 42	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  +∞cpnf 11176   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  [,)cico 13300  [,]cicc 13301  ...cfz 13461  ⌊cfl 13749  abscabs 15196  Σcsu 15648  logclog 26518  Λcvma 27055  ψcchp 27056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-prm 16641  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-vma 27061  df-chp 27062

This theorem is referenced by:  chpdifbnd  27518