Theorem chpdifbndlem2 27613

Description: Lemma for chpdifbnd 27614. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpdifbnd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.1	⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
chpdifbnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
chpdifbnd.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
chpdifbnd.c	⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))

Assertion

Ref	Expression
chpdifbndlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑥,𝑦,𝑧,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝐴,𝑐   𝑧,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑚,𝑐)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑚)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑚,𝑐)

Proof of Theorem chpdifbndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpdifbnd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
2		chpdifbnd.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		chpdifbnd.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4		1rp 13036	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5		rpaddcl 13055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
7	2, 6	rpmulcld 13091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ+)
8	7	rpred 13075	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
9		2rp 13037	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
10		rpmulcl 13056	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
11	9, 3, 10	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ+)
12	11	rpred 13075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	3	relogcld 26680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
15	8, 14	readdcld 11288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ)
16	7	rpgt0d 13078	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 · (𝐴 + 1)))
17	11	rprege0d 13082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)))
18		log1 26642	. . . . . . 7 ⊢ (log‘1) = 0
19		chpdifbnd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
20		logleb 26660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
21	4, 3, 20	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝐴 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐴)))
22	19, 21	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘1) ≤ (log‘𝐴))
23	18, 22	eqbrtrrid 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (log‘𝐴))
24		mulge0 11779	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · 𝐴)) ∧ ((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘𝐴))) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
25	17, 13, 23, 24	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴)))
26	8, 14, 16, 25	addgtge0d 11835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))))
27	15, 26	elrpd 13072	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 · (𝐴 + 1)) + ((2 · 𝐴) · (log‘𝐴))) ∈ ℝ+)
28	1, 27	eqeltrid 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
29	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
30	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 1 ≤ 𝐴)
31	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
32		chpdifbnd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ∀𝑧 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((((ψ‘𝑧) · (log‘𝑧)) + Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑧))((Λ‘𝑚) · (ψ‘(𝑧 / 𝑚)))) / 𝑧) − (2 · (log‘𝑧)))) ≤ 𝐵)
34		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑥 ∈ (1(,)+∞))
35		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))
36	29, 30, 31, 33, 1, 34, 35	chpdifbndlem1 27612	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥)))) → ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
37	36	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
38		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥))) = (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))
39	38	oveq2d 7447	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) = ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
40	39	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
41	40	2ralbidv 3219	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))) ↔ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))))
42	41	rspcev 3622	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝐶 · (𝑥 / (log‘𝑥))))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))
43	28, 37, 42	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ (1(,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥[,](𝐴 · 𝑥))((ψ‘𝑦) − (ψ‘𝑥)) ≤ ((2 · (𝑦 − 𝑥)) + (𝑐 · (𝑥 / (log‘𝑥)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  ℝ⁺crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ⌊cfl 13827  abscabs 15270  Σcsu 15719  logclog 26611  Λcvma 27150  ψcchp 27151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-vma 27156  df-chp 27157

This theorem is referenced by:  chpdifbnd  27614