MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibnd 27476
Description: Lemma for pnt 27497. Establish smallness of ๐‘… on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
Assertion
Ref Expression
pntibnd โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐‘,๐‘˜,๐‘™,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘’,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables ๐‘› ๐‘š ๐‘ฃ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
21pntrmax 27447 . 2 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘
31pntpbnd 27471 . 2 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)
4 reeanv 3220 . . 3 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)))
5 2rp 12982 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
6 rpmulcl 13000 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
75, 6mpan 687 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
8 2re 12287 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
9 1lt2 12384 . . . . . . . . 9 1 < 2
10 rplogcl 26488 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„+)
118, 9, 10mp2an 689 . . . . . . . 8 (logโ€˜2) โˆˆ โ„+
12 rpaddcl 12999 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
137, 11, 12sylancl 585 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
1413ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
15 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3))
171, 15, 16pntibndlem1 27472 . . . . . . 7 (๐‘‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1))
1817ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1))
19 elioore 13357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„)
20 eliooord 13386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐‘’ โˆง ๐‘’ < 1))
2120simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < ๐‘’)
2219, 21elrpd 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„+)
2322rphalfcld 13031 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ โ„+)
2423rpred 13019 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ โ„)
2523rpgt0d 13022 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < (๐‘’ / 2))
26 1red 11216 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
27 rphalflt 13006 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘’ / 2) < ๐‘’)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) < ๐‘’)
2920simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ < 1)
3024, 19, 26, 28, 29lttrd 11376 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) < 1)
31 0xr 11262 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„*
32 1xr 11274 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„*
33 elioo2 13368 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((๐‘’ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘’ / 2) โˆง (๐‘’ / 2) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 689 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((๐‘’ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘’ / 2) โˆง (๐‘’ / 2) < 1))
3524, 25, 30, 34syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1))
37 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (๐‘ / ๐‘“) = (๐‘ / (๐‘’ / 2)))
3837fveq2d 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (expโ€˜(๐‘ / ๐‘“)) = (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2))))
3938oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž) = ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž))
40 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))
4140anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4241rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4342ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4439, 43raleqbidv 3336 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4544rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4645rspcv 3602 . . . . . . . . . 10 ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4736, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
48 simp-4l 780 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
49 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘)
50 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5150ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
52 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2))) = (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))
53 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2))
54 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ (0(,)1))
55 simprl 768 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„+)
56 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))
571, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56pntibndlem3 27475 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
5857rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
5947, 58syld 47 . . . . . . . 8 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6059ralrimdva 3148 . . . . . . 7 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6160impr 454 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
62 fvoveq1 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ / ๐‘’)) = (expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’)))
6362oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž) = ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž))
6463raleqdv 3319 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6564rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6665ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
67 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (๐‘™ ยท ๐‘’) = (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’))
6867oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) = (1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)))
6968oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))
7069breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)))
7170anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ))))
7269oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)))
7372raleqdv 3319 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7574rexbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7675ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7776rexralbidv 3214 . . . . . . . 8 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7877ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7966, 78rspc2ev 3619 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+ โˆง ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
8014, 18, 61, 79syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
8180ex 412 . . . 4 ((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
8281rexlimivv 3193 . . 3 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
834, 82sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
842, 3, 83mp2an 689 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  +โˆžcpnf 11246  โ„*cxr 11248   < clt 11249   โ‰ค cle 11250   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  2c2 12268  3c3 12269  4c4 12270  โ„+crp 12977  (,)cioo 13327  [,)cico 13329  [,]cicc 13330  abscabs 15184  expce 16008  logclog 26438  ฯˆcchp 26975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-o1 15437  df-lo1 15438  df-sum 15636  df-ef 16014  df-e 16015  df-sin 16016  df-cos 16017  df-tan 16018  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16776  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-ulm 26263  df-log 26440  df-cxp 26441  df-atan 26749  df-em 26875  df-cht 26979  df-vma 26980  df-chp 26981  df-ppi 26982  df-mu 26983
This theorem is referenced by:  pnt3  27495
  Copyright terms: Public domain W3C validator