MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibnd 26957
Description: Lemma for pnt 26978. Establish smallness of ๐‘… on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
Assertion
Ref Expression
pntibnd โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐‘,๐‘˜,๐‘™,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘’,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables ๐‘› ๐‘š ๐‘ฃ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
21pntrmax 26928 . 2 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘
31pntpbnd 26952 . 2 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)
4 reeanv 3216 . . 3 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)))
5 2rp 12925 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
6 rpmulcl 12943 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
75, 6mpan 689 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
8 2re 12232 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
9 1lt2 12329 . . . . . . . . 9 1 < 2
10 rplogcl 25975 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„+)
118, 9, 10mp2an 691 . . . . . . . 8 (logโ€˜2) โˆˆ โ„+
12 rpaddcl 12942 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
137, 11, 12sylancl 587 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
1413ad2antlr 726 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
15 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3))
171, 15, 16pntibndlem1 26953 . . . . . . 7 (๐‘‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1))
1817ad2antrr 725 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1))
19 elioore 13300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„)
20 eliooord 13329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐‘’ โˆง ๐‘’ < 1))
2120simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < ๐‘’)
2219, 21elrpd 12959 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„+)
2322rphalfcld 12974 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ โ„+)
2423rpred 12962 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ โ„)
2523rpgt0d 12965 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < (๐‘’ / 2))
26 1red 11161 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
27 rphalflt 12949 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘’ / 2) < ๐‘’)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) < ๐‘’)
2920simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ < 1)
3024, 19, 26, 28, 29lttrd 11321 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) < 1)
31 0xr 11207 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„*
32 1xr 11219 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„*
33 elioo2 13311 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((๐‘’ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘’ / 2) โˆง (๐‘’ / 2) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 691 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((๐‘’ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘’ / 2) โˆง (๐‘’ / 2) < 1))
3524, 25, 30, 34syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1))
3635adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1))
37 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (๐‘ / ๐‘“) = (๐‘ / (๐‘’ / 2)))
3837fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (expโ€˜(๐‘ / ๐‘“)) = (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2))))
3938oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž) = ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž))
40 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))
4140anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4241rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4342ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4439, 43raleqbidv 3318 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4544rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4645rspcv 3576 . . . . . . . . . 10 ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4736, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
48 simp-4l 782 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
49 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘)
50 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
52 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2))) = (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))
53 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2))
54 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ (0(,)1))
55 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„+)
56 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))
571, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56pntibndlem3 26956 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
5857rexlimdvaa 3150 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
5947, 58syld 47 . . . . . . . 8 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6059ralrimdva 3148 . . . . . . 7 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6160impr 456 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
62 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ / ๐‘’)) = (expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’)))
6362oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž) = ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž))
6463raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6564rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6665ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
67 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (๐‘™ ยท ๐‘’) = (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) = (1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)))
6968oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))
7069breq1d 5116 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)))
7170anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ))))
7269oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)))
7372raleqdv 3312 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
7471, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7574rexbidv 3172 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7675ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7776rexralbidv 3211 . . . . . . . 8 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7877ralbidv 3171 . . . . . . 7 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7966, 78rspc2ev 3591 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+ โˆง ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
8014, 18, 61, 79syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
8180ex 414 . . . 4 ((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
8281rexlimivv 3193 . . 3 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
834, 82sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
842, 3, 83mp2an 691 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191  โ„*cxr 11193   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  4c4 12215  โ„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272  [,]cicc 13273  abscabs 15125  expce 15949  logclog 25926  ฯˆcchp 26458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-o1 15378  df-lo1 15379  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-tan 15959  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  pnt3  26976
  Copyright terms: Public domain W3C validator