Theorem pntibnd 27504

Description: Lemma for pnt 27525. Establish smallness of 𝑅 on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntibnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑦   𝑢,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝑐,𝑘,𝑙,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntibnd

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑣 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 27475	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑
3	1	pntpbnd 27499	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)
4		reeanv 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)))
5		2rp 12956	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6		rpmulcl 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
7	5, 6	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
8		2re 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		1lt2 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		rplogcl 26513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
12		rpaddcl 12975	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ (log‘2) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
13	7, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
16		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) = ((1 / 4) / (𝑑 + 3))
17	1, 15, 16	pntibndlem1 27500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
19		elioore 13336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
20		eliooord 13366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
21	20	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑒)
22	19, 21	elrpd 12992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpred 12995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
25	23	rpgt0d 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < (𝑒 / 2))
26		1red 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27		rphalflt 12982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) < 𝑒)
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 𝑒)
29	20	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 < 1)
30	24, 19, 26, 28, 29	lttrd 11335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 1)
31		0xr 11221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
32		1xr 11233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
33		elioo2 13347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1)))
34	31, 32, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1))
35	24, 25, 30, 34	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
37		oveq2 7395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (𝑏 / 𝑓) = (𝑏 / (𝑒 / 2)))
38	37	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (exp‘(𝑏 / 𝑓)) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))))
39	38	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞) = ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞))
40		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
41	40	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
42	41	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
43	42	ralbidv 3156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
44	39, 43	raleqbidv 3319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
45	44	rexbidv 3157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
46	45	rspcv 3584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
47	36, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
48		simp-4l 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
49		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑)
50		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℝ+)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
52		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))
53		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑏) + (log‘2)) = ((2 · 𝑏) + (log‘2))
54		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
55		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
56		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
57	1, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56	pntibndlem3 27503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
58	57	rexlimdvaa 3135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
59	47, 58	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
60	59	ralrimdva 3133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
61	60	impr 454	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
62		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒)))
63	62	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞))
64	63	raleqdv 3299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
65	64	rexbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
66	65	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
67		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑙 · 𝑒) = (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒))
68	67	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (1 + (𝑙 · 𝑒)) = (1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)))
69	68	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))
70	69	breq1d 5117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
71	70	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
72	69	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧)))
73	72	raleqdv 3299	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
74	71, 73	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
75	74	rexbidv 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
76	75	ralbidv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
77	76	rexralbidv 3203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
78	77	ralbidv 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
79	66, 78	rspc2ev 3601	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+ ∧ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
80	14, 18, 61, 79	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
81	80	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
82	81	rexlimivv 3179	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
83	4, 82	sylbir 235	. 2 ⊢ ((∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
84	2, 3, 83	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  ℝ⁺crp 12951  (,)cioo 13306  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  abscabs 15200  expce 16027  logclog 26463  ψcchp 27003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-o1 15456  df-lo1 15457  df-sum 15653  df-ef 16033  df-e 16034  df-sin 16035  df-cos 16036  df-tan 16037  df-pi 16038  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-pc 16808  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-cmp 23274  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-ulm 26286  df-log 26465  df-cxp 26466  df-atan 26777  df-em 26903  df-cht 27007  df-vma 27008  df-chp 27009  df-ppi 27010  df-mu 27011

This theorem is referenced by:  pnt3  27523