Theorem pntibnd 27953

Description: Lemma for pnt 27974. Establish smallness of 𝑅 on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntibnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑦   𝑢,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝑐,𝑘,𝑙,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntibnd

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑣 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 27924	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑
3	1	pntpbnd 27948	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)
4		reeanv 3238	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)))
5		2rp 13155	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6		rpmulcl 13175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
7	5, 6	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
8		2re 12447	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		1lt2 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		rplogcl 26965	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
12		rpaddcl 13174	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ (log‘2) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
13	7, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
14	13	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
15		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
16		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) = ((1 / 4) / (𝑑 + 3))
17	1, 15, 16	pntibndlem1 27949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
19		elioore 13536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
20		eliooord 13566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
21	20	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑒)
22	19, 21	elrpd 13191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpred 13194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
25	23	rpgt0d 13197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < (𝑒 / 2))
26		1red 11339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27		rphalflt 13181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) < 𝑒)
28	22, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 𝑒)
29	20	simprd 501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 < 1)
30	24, 19, 26, 28, 29	lttrd 11501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 1)
31		0xr 11386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
32		1xr 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
33		elioo2 13547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1)))
34	31, 32, 33	mp2an 705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1))
35	24, 25, 30, 34	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
36	35	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
37		oveq2 7454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (𝑏 / 𝑓) = (𝑏 / (𝑒 / 2)))
38	37	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (exp‘(𝑏 / 𝑓)) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))))
39	38	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞) = ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞))
40		breq2 5110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
41	40	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
42	41	rexbidv 3190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
43	42	ralbidv 3189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
44	39, 43	raleqbidv 3338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
45	44	rexbidv 3190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
46	45	rspcv 3576	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
47	36, 46	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
48		simp-4l 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
49		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑)
50		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℝ+)
51	50	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
52		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))
53		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑏) + (log‘2)) = ((2 · 𝑏) + (log‘2))
54		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
55		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
56		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
57	1, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56	pntibndlem3 27952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
58	57	rexlimdvaa 3168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
59	47, 58	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
60	59	ralrimdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
61	60	impr 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
62		fvoveq1 7469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒)))
63	62	oveq1d 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞))
64	63	raleqdv 3323	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
65	64	rexbidv 3190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
66	65	ralbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
67		oveq1 7453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑙 · 𝑒) = (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒))
68	67	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (1 + (𝑙 · 𝑒)) = (1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)))
69	68	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))
70	69	breq1d 5116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
71	70	anbi2d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
72	69	oveq2d 7462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧)))
73	72	raleqdv 3323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
74	71, 73	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
75	74	rexbidv 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
76	75	ralbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
77	76	rexralbidv 3232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
78	77	ralbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
79	66, 78	rspc2ev 3592	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+ ∧ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
80	14, 18, 61, 79	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
81	80	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
82	81	rexlimivv 3208	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
83	4, 82	sylbir 238	. 2 ⊢ ((∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
84	2, 3, 83	mp2an 705	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235  +∞cpnf 11370  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374   − cmin 11571   / cdiv 12003  ℕcn 12365  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  ℝ⁺crp 13150  (,)cioo 13506  [,)cico 13508  [,]cicc 13509  abscabs 15433  expce 16259  logclog 26915  ψcchp 27453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-dju 10012  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-xnn0 12710  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-o1 15689  df-lo1 15690  df-sum 15886  df-ef 16265  df-e 16266  df-sin 16267  df-cos 16268  df-tan 16269  df-pi 16270  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-prm 16879  df-pc 17047  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-cmp 23738  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-ulm 26737  df-log 26917  df-cxp 26918  df-atan 27228  df-em 27353  df-cht 27457  df-vma 27458  df-chp 27459  df-ppi 27460  df-mu 27461

This theorem is used by:  pnt3  27972