MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibnd 27637
Description: Lemma for pnt 27658. Establish smallness of 𝑅 on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntibnd 𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑦   𝑢,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝑐,𝑘,𝑙,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑣 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
21pntrmax 27608 . 2 𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑
31pntpbnd 27632 . 2 𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)
4 reeanv 3229 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)))
5 2rp 13039 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
6 rpmulcl 13058 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
75, 6mpan 690 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
8 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
9 1lt2 12437 . . . . . . . . 9 1 < 2
10 rplogcl 26646 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
118, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ ℝ+
12 rpaddcl 13057 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ (log‘2) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
137, 11, 12sylancl 586 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
1413ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
15 id 22 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)
16 eqid 2737 . . . . . . . 8 ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) = ((1 / 4) / (𝑑 + 3))
171, 15, 16pntibndlem1 27633 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
1817ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
19 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
20 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒𝑒 < 1))
2120simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑒)
2219, 21elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 13089 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
2423rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
2523rpgt0d 13080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < (𝑒 / 2))
26 1red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27 rphalflt 13064 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) < 𝑒)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 𝑒)
2920simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 < 1)
3024, 19, 26, 28, 29lttrd 11422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 1)
31 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
32 1xr 11320 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
33 elioo2 13428 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1))
3524, 25, 30, 34syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
3635adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
37 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (𝑏 / 𝑓) = (𝑏 / (𝑒 / 2)))
3837fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (exp‘(𝑏 / 𝑓)) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))))
3938oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞) = ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞))
40 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓 ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
4140anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4241rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4342ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4439, 43raleqbidv 3346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4544rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4645rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
4736, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
48 simp-4l 783 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
49 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑)
50 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℝ+)
5150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
52 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))
53 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑏) + (log‘2)) = ((2 · 𝑏) + (log‘2))
54 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
55 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
56 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
571, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56pntibndlem3 27636 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5857rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
5947, 58syld 47 . . . . . . . 8 ((((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6059ralrimdva 3154 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6160impr 454 . . . . . 6 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
62 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒)))
6362oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞))
6463raleqdv 3326 . . . . . . . . 9 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6564rexbidv 3179 . . . . . . . 8 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
6665ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
67 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑙 · 𝑒) = (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒))
6867oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (1 + (𝑙 · 𝑒)) = (1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)))
6968oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))
7069breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
7170anbi2d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
7269oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧)))
7372raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
7471, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7574rexbidv 3179 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7675ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7776rexralbidv 3223 . . . . . . . 8 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7877ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
7966, 78rspc2ev 3635 . . . . . 6 ((((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+ ∧ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
8014, 18, 61, 79syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
8180ex 412 . . . 4 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
8281rexlimivv 3201 . . 3 (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
834, 82sylbir 235 . 2 ((∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
842, 3, 83mp2an 692 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  abscabs 15273  expce 16097  logclog 26596  ψcchp 27136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910  df-em 27036  df-cht 27140  df-vma 27141  df-chp 27142  df-ppi 27143  df-mu 27144
This theorem is referenced by:  pnt3  27656
  Copyright terms: Public domain W3C validator