Theorem pntibnd 27556

Description: Lemma for pnt 27577. Establish smallness of 𝑅 on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
pntibnd	⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝑦   𝑢,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝑐,𝑘,𝑙,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntibnd

Dummy variables 𝑛 𝑚 𝑣 𝑏 𝑑 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2	1	pntrmax 27527	. 2 ⊢ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑
3	1	pntpbnd 27551	. 2 ⊢ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)
4		reeanv 3213	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) ↔ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)))
5		2rp 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6		rpmulcl 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
7	5, 6	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → (2 · 𝑏) ∈ ℝ+)
8		2re 12314	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		1lt2 12411	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
10		rplogcl 26565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
11	8, 9, 10	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
12		rpaddcl 13031	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ (log‘2) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
13	7, 11, 12	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ+ → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+)
15		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
16		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) = ((1 / 4) / (𝑑 + 3))
17	1, 15, 16	pntibndlem1 27552	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1))
19		elioore 13392	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ)
20		eliooord 13422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑒 ∧ 𝑒 < 1))
21	20	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑒)
22	19, 21	elrpd 13048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 13063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ+)
24	23	rpred 13051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
25	23	rpgt0d 13054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 0 < (𝑒 / 2))
26		1red 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 1 ∈ ℝ)
27		rphalflt 13038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 2) < 𝑒)
28	22, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 𝑒)
29	20	simprd 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → 𝑒 < 1)
30	24, 19, 26, 28, 29	lttrd 11396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) < 1)
31		0xr 11282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ*
32		1xr 11294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ*
33		elioo2 13403	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1)))
34	31, 32, 33	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑒 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑒 / 2) ∧ (𝑒 / 2) < 1))
35	24, 25, 30, 34	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ (0(,)1) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (𝑒 / 2) ∈ (0(,)1))
37		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (𝑏 / 𝑓) = (𝑏 / (𝑒 / 2)))
38	37	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (exp‘(𝑏 / 𝑓)) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))))
39	38	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞) = ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞))
40		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → ((abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
41	40	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
42	41	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
43	42	ralbidv 3163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
44	39, 43	raleqbidv 3325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
45	44	rexbidv 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑒 / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
46	45	rspcv 3597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑒 / 2) ∈ (0(,)1) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
47	36, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2))))
48		simp-4l 782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
49		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑)
50		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → 𝑏 ∈ ℝ+)
51	50	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑏 ∈ ℝ+)
52		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2))) = (exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))
53		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝑏) + (log‘2)) = ((2 · 𝑏) + (log‘2))
54		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑒 ∈ (0(,)1))
55		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
56		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))
57	1, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56	pntibndlem3 27555	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
58	57	rexlimdvaa 3142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / (𝑒 / 2)))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝑒 / 2)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
59	47, 58	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) ∧ 𝑒 ∈ (0(,)1)) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
60	59	ralrimdva 3140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑) → (∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
61	60	impr 454	. . . . . 6 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
62		fvoveq1 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (exp‘(𝑐 / 𝑒)) = (exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒)))
63	62	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞) = ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞))
64	63	raleqdv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
65	64	rexbidv 3164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
66	65	ralbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ((2 · 𝑏) + (log‘2)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
67		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑙 · 𝑒) = (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒))
68	67	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (1 + (𝑙 · 𝑒)) = (1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)))
69	68	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) = ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))
70	69	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦) ↔ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)))
71	70	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ↔ (𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦))))
72	69	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧)) = (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧)))
73	72	raleqdv 3305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
74	71, 73	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
75	74	rexbidv 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
76	75	ralbidv 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
77	76	rexralbidv 3207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
78	77	ralbidv 3163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) → (∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒) ↔ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
79	66, 78	rspc2ev 3614	. . . . . 6 ⊢ ((((2 · 𝑏) + (log‘2)) ∈ ℝ+ ∧ ((1 / 4) / (𝑑 + 3)) ∈ (0(,)1) ∧ ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(((2 · 𝑏) + (log‘2)) / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (((1 / 4) / (𝑑 + 3)) · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
80	14, 18, 61, 79	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) ∧ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓))) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
81	80	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℝ+) → ((∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)))
82	81	rexlimivv 3186	. . 3 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∃𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
83	4, 82	sylbir 235	. 2 ⊢ ((∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝑑 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ (0(,)1)∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑚 ∈ ((exp‘(𝑏 / 𝑓))[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑔(,)+∞)∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ 𝑓)) → ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
84	2, 3, 83	mp2an 692	1 ⊢ ∃𝑐 ∈ ℝ+ ∃𝑙 ∈ (0(,)1)∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝑐 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝑙 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466   / cdiv 11894  ℕcn 12240  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  ℝ⁺crp 13008  (,)cioo 13362  [,)cico 13364  [,]cicc 13365  abscabs 15253  expce 16077  logclog 26515  ψcchp 27055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-o1 15506  df-lo1 15507  df-sum 15703  df-ef 16083  df-e 16084  df-sin 16085  df-cos 16086  df-tan 16087  df-pi 16088  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-pc 16857  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-limc 25819  df-dv 25820  df-ulm 26338  df-log 26517  df-cxp 26518  df-atan 26829  df-em 26955  df-cht 27059  df-vma 27060  df-chp 27061  df-ppi 27062  df-mu 27063

This theorem is referenced by:  pnt3  27575