MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibnd 27546
Description: Lemma for pnt 27567. Establish smallness of ๐‘… on an interval. Lemma 10.6.2 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntlem1.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
Assertion
Ref Expression
pntibnd โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฆ   ๐‘ข,๐‘˜,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘’,๐‘,๐‘˜,๐‘™,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘’,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   ๐‘…(๐‘Ž)

Proof of Theorem pntibnd
Dummy variables ๐‘› ๐‘š ๐‘ฃ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘“ ๐‘” are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . 3 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
21pntrmax 27517 . 2 โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘
31pntpbnd 27541 . 2 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)
4 reeanv 3224 . . 3 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†” (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)))
5 2rp 13019 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„+
6 rpmulcl 13037 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
75, 6mpan 688 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
8 2re 12324 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„
9 1lt2 12421 . . . . . . . . 9 1 < 2
10 rplogcl 26558 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„+)
118, 9, 10mp2an 690 . . . . . . . 8 (logโ€˜2) โˆˆ โ„+
12 rpaddcl 13036 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
137, 11, 12sylancl 584 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
1413ad2antlr 725 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+)
15 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
16 eqid 2728 . . . . . . . 8 ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3))
171, 15, 16pntibndlem1 27542 . . . . . . 7 (๐‘‘ โˆˆ โ„+ โ†’ ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1))
1817ad2antrr 724 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1))
19 elioore 13394 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„)
20 eliooord 13423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐‘’ โˆง ๐‘’ < 1))
2120simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < ๐‘’)
2219, 21elrpd 13053 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ โˆˆ โ„+)
2322rphalfcld 13068 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ โ„+)
2423rpred 13056 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ โ„)
2523rpgt0d 13059 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 0 < (๐‘’ / 2))
26 1red 11253 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
27 rphalflt 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘’ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘’ / 2) < ๐‘’)
2822, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) < ๐‘’)
2920simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ ๐‘’ < 1)
3024, 19, 26, 28, 29lttrd 11413 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) < 1)
31 0xr 11299 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„*
32 1xr 11311 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„*
33 elioo2 13405 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„* โˆง 1 โˆˆ โ„*) โ†’ ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((๐‘’ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘’ / 2) โˆง (๐‘’ / 2) < 1)))
3431, 32, 33mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†” ((๐‘’ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘’ / 2) โˆง (๐‘’ / 2) < 1))
3524, 25, 30, 34syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 (๐‘’ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1))
3635adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1))
37 oveq2 7434 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (๐‘ / ๐‘“) = (๐‘ / (๐‘’ / 2)))
3837fveq2d 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (expโ€˜(๐‘ / ๐‘“)) = (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2))))
3938oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž) = ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž))
40 breq2 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“ โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))
4140anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4241rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4342ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4439, 43raleqbidv 3340 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4544rexbidv 3176 . . . . . . . . . . 11 (๐‘“ = (๐‘’ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4645rspcv 3607 . . . . . . . . . 10 ((๐‘’ / 2) โˆˆ (0(,)1) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
4736, 46syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2))))
48 simp-4l 781 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„+)
49 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘)
50 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
52 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2))) = (expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))
53 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2))
54 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘’ โˆˆ (0(,)1))
55 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ ๐‘” โˆˆ โ„+)
56 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))
571, 48, 16, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56pntibndlem3 27545 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โˆง (๐‘” โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
5857rexlimdvaa 3153 . . . . . . . . 9 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / (๐‘’ / 2)))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘’ / 2)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
5947, 58syld 47 . . . . . . . 8 ((((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โˆง ๐‘’ โˆˆ (0(,)1)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6059ralrimdva 3151 . . . . . . 7 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6160impr 453 . . . . . 6 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
62 fvoveq1 7449 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ / ๐‘’)) = (expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’)))
6362oveq1d 7441 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž) = ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž))
6463raleqdv 3323 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6564rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
6665ralbidv 3175 . . . . . . 7 (๐‘ = ((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
67 oveq1 7433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (๐‘™ ยท ๐‘’) = (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’))
6867oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) = (1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)))
6968oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) = ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))
7069breq1d 5162 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ) โ†” ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)))
7170anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ))))
7269oveq2d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)) = (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง)))
7372raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’ โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
7471, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7574rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7675ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7776rexralbidv 3218 . . . . . . . 8 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7877ralbidv 3175 . . . . . . 7 (๐‘™ = ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โ†’ (โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’) โ†” โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
7966, 78rspc2ev 3624 . . . . . 6 ((((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„+ โˆง ((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) โˆˆ (0(,)1) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(((2 ยท ๐‘) + (logโ€˜2)) / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (((1 / 4) / (๐‘‘ + 3)) ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
8014, 18, 61, 79syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โˆง (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
8180ex 411 . . . 4 ((๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)))
8281rexlimivv 3197 . . 3 (โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
834, 82sylbir 234 . 2 ((โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐‘‘ โˆง โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘“ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘” โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘š โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘“))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘”(,)+โˆž)โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’))
842, 3, 83mp2an 690 1 โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„+ โˆƒ๐‘™ โˆˆ (0(,)1)โˆ€๐‘’ โˆˆ (0(,)1)โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐‘ / ๐‘’))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐‘™ ยท ๐‘’)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐‘’)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  โˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   ยท cmul 11151  +โˆžcpnf 11283  โ„*cxr 11285   < clt 11286   โ‰ค cle 11287   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  โ„+crp 13014  (,)cioo 13364  [,)cico 13366  [,]cicc 13367  abscabs 15221  expce 16045  logclog 26508  ฯˆcchp 27045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-o1 15474  df-lo1 15475  df-sum 15673  df-ef 16051  df-e 16052  df-sin 16053  df-cos 16054  df-tan 16055  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-pc 16813  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-ulm 26333  df-log 26510  df-cxp 26511  df-atan 26819  df-em 26945  df-cht 27049  df-vma 27050  df-chp 27051  df-ppi 27052  df-mu 27053
This theorem is referenced by:  pnt3  27565
  Copyright terms: Public domain W3C validator