MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemq 27660
Description: Lemma for pntlemj 27662. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemq (𝜑𝐼𝑂)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝐽   𝑦,𝑢,𝑧,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑂   𝑧,𝑁   𝑢,𝑅,𝑦,𝑧   𝑢,𝑉   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑌   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemq
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
15 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlemb 27656 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
1716simp1d 1141 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 27654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1918simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
20 pntlem1.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
21 elfzoelz 13696 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322peano2zd 12723 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
2419, 23rpexpcld 14283 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
2517, 24rpdivcld 13092 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
2625rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
2726flcld 13835 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ)
28 1rp 13036 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
291, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 27653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
3029simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
3118simp1d 1141 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 13091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
33 rpaddcl 13055 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
3428, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
35 pntlem1.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
3634, 35rpmulcld 13091 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
3717, 36rpdivcld 13092 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
3837rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
3938flcld 13835 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ)
4036rpred 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
4124rpred 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
42 pntlem1.V . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4342simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
4443simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
4519rpcnd 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4619, 22rpexpcld 14283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
4746rpcnd 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
4845, 47mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
49 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
50 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 49, 50pntlemg 27657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
5251simp1d 1141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elfzouz 13700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
5420, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluznn 12958 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
5652, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
5756nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5845, 57expp1d 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
5948, 58eqtr4d 2778 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6044, 59breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6140, 41, 60ltled 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6236, 24, 17lediv2d 13099 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ↔ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6361, 62mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
64 flwordi 13849 . . . . . 6 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6526, 38, 63, 64syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
66 eluz2 12882 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
6727, 39, 65, 66syl3anbrc 1342 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))))
68 eluzp1p1 12904 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
69 fzss1 13600 . . . 4 (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)) → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7067, 68, 693syl 18 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7117, 35rpdivcld 13092 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
7271rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
7372flcld 13835 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ)
7417, 46rpdivcld 13092 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
7574rpred 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
7675flcld 13835 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ)
7746rpred 13075 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
7835rpred 13075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
7943simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) < 𝑉)
8077, 78, 79ltled 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐽) ≤ 𝑉)
8146, 35, 17lediv2d 13099 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐽) ≤ 𝑉 ↔ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))))
8280, 81mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
83 flwordi 13849 . . . . . 6 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
8472, 75, 82, 83syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
85 eluz2 12882 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8673, 76, 84, 85syl3anbrc 1342 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
87 fzss2 13601 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8886, 87syl 17 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8970, 88sstrd 4006 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
90 pntlem1.i . 2 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
91 pntlem1.o . 2 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
9289, 90, 913sstr4g 4041 1 (𝜑𝐼𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  cz 12611  cdc 12731  cuz 12876  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  cfl 13827  cexp 14099  csqrt 15269  abscabs 15270  expce 16094  eceu 16095  logclog 26611  ψcchp 27151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-e 16101  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  pntlemj  27662
  Copyright terms: Public domain W3C validator