MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemq 26110
Description: Lemma for pntlemj 26112. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemq (𝜑𝐼𝑂)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝐽   𝑦,𝑢,𝑧,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑂   𝑧,𝑁   𝑢,𝑅,𝑦,𝑧   𝑢,𝑉   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑌   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemq
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
15 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlemb 26106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
1716simp1d 1136 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 26104 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1918simp2d 1137 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
20 pntlem1.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
21 elfzoelz 13033 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322peano2zd 12084 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
2419, 23rpexpcld 13603 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
2517, 24rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
2625rpred 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
2726flcld 13163 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ)
28 1rp 12388 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
291, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 26103 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
3029simp1d 1136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
3118simp1d 1136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 12442 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
33 rpaddcl 12406 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
3428, 32, 33sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
35 pntlem1.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
3634, 35rpmulcld 12442 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
3717, 36rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
3837rpred 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
3938flcld 13163 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ)
4036rpred 12426 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
4124rpred 12426 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
42 pntlem1.V . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4342simpld 495 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
4443simprd 496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
4519rpcnd 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4619, 22rpexpcld 13603 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
4746rpcnd 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
4845, 47mulcomd 10656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
49 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
50 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 49, 50pntlemg 26107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
5251simp1d 1136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elfzouz 13037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
5420, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluznn 12312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
5652, 54, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
5756nnnn0d 11949 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5845, 57expp1d 13506 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
5948, 58eqtr4d 2864 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6044, 59breqtrd 5089 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6140, 41, 60ltled 10782 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6236, 24, 17lediv2d 12450 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ↔ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6361, 62mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
64 flwordi 13177 . . . . . 6 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6526, 38, 63, 64syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
66 eluz2 12243 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
6727, 39, 65, 66syl3anbrc 1337 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))))
68 eluzp1p1 12264 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
69 fzss1 12941 . . . 4 (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)) → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7067, 68, 693syl 18 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7117, 35rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
7271rpred 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
7372flcld 13163 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ)
7417, 46rpdivcld 12443 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
7574rpred 12426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
7675flcld 13163 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ)
7746rpred 12426 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
7835rpred 12426 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
7943simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) < 𝑉)
8077, 78, 79ltled 10782 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐽) ≤ 𝑉)
8146, 35, 17lediv2d 12450 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐽) ≤ 𝑉 ↔ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))))
8280, 81mpbid 233 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
83 flwordi 13177 . . . . . 6 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
8472, 75, 82, 83syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
85 eluz2 12243 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8673, 76, 84, 85syl3anbrc 1337 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
87 fzss2 12942 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8886, 87syl 17 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8970, 88sstrd 3981 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
90 pntlem1.i . 2 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
91 pntlem1.o . 2 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
9289, 90, 913sstr4g 4016 1 (𝜑𝐼𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  wss 3940   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6354  (class class class)co 7150  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  cz 11975  cdc 12092  cuz 12237  +crp 12384  (,)cioo 12733  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  ...cfz 12887  ..^cfzo 13028  cfl 13155  cexp 13424  csqrt 14587  abscabs 14588  expce 15410  eceu 15411  logclog 25070  ψcchp 25603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-e 15417  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072
This theorem is referenced by:  pntlemj  26112
  Copyright terms: Public domain W3C validator