MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemq 26329
Description: Lemma for pntlemj 26331. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemq (𝜑𝐼𝑂)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝐽   𝑦,𝑢,𝑧,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑂   𝑧,𝑁   𝑢,𝑅,𝑦,𝑧   𝑢,𝑉   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑌   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemq
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
15 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlemb 26325 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
1716simp1d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 26323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1918simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
20 pntlem1.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
21 elfzoelz 13122 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322peano2zd 12164 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
2419, 23rpexpcld 13693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
2517, 24rpdivcld 12524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
2625rpred 12507 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
2726flcld 13252 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ)
28 1rp 12469 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
291, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 26322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
3029simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
3118simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 12523 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
33 rpaddcl 12487 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
3428, 32, 33sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
35 pntlem1.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
3634, 35rpmulcld 12523 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
3717, 36rpdivcld 12524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
3837rpred 12507 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
3938flcld 13252 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ)
4036rpred 12507 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
4124rpred 12507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
42 pntlem1.V . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4342simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
4443simprd 499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
4519rpcnd 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4619, 22rpexpcld 13693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
4746rpcnd 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
4845, 47mulcomd 10733 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
49 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
50 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 49, 50pntlemg 26326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
5251simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elfzouz 13126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
5420, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluznn 12393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
5652, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
5756nnnn0d 12029 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5845, 57expp1d 13596 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
5948, 58eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6044, 59breqtrd 5053 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6140, 41, 60ltled 10859 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6236, 24, 17lediv2d 12531 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ↔ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6361, 62mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
64 flwordi 13266 . . . . . 6 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6526, 38, 63, 64syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
66 eluz2 12323 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
6727, 39, 65, 66syl3anbrc 1344 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))))
68 eluzp1p1 12345 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
69 fzss1 13030 . . . 4 (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)) → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7067, 68, 693syl 18 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7117, 35rpdivcld 12524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
7271rpred 12507 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
7372flcld 13252 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ)
7417, 46rpdivcld 12524 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
7574rpred 12507 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
7675flcld 13252 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ)
7746rpred 12507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
7835rpred 12507 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
7943simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) < 𝑉)
8077, 78, 79ltled 10859 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐽) ≤ 𝑉)
8146, 35, 17lediv2d 12531 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐽) ≤ 𝑉 ↔ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))))
8280, 81mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
83 flwordi 13266 . . . . . 6 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
8472, 75, 82, 83syl3anc 1372 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
85 eluz2 12323 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8673, 76, 84, 85syl3anbrc 1344 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
87 fzss2 13031 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8886, 87syl 17 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8970, 88sstrd 3885 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
90 pntlem1.i . 2 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
91 pntlem1.o . 2 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
9289, 90, 913sstr4g 3920 1 (𝜑𝐼𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  wss 3841   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613  +∞cpnf 10743   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  3c3 11765  4c4 11766  cz 12055  cdc 12172  cuz 12317  +crp 12465  (,)cioo 12814  [,)cico 12816  [,]cicc 12817  ...cfz 12974  ..^cfzo 13117  cfl 13244  cexp 13514  csqrt 14675  abscabs 14676  expce 15500  eceu 15501  logclog 25290  ψcchp 25822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-e 15507  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292
This theorem is referenced by:  pntlemj  26331
  Copyright terms: Public domain W3C validator