Theorem logdifbnd 25848

Description: Bound on the difference of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logdifbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))

Proof of Theorem logdifbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12579	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
3		rpne0 12585	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 1, 3	divdird 11629	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
5	1, 3	dividd 11589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 𝐴) = 1)
6	5	oveq1d 7217	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 / 𝐴) + (1 / 𝐴)) = (1 + (1 / 𝐴)))
7	4, 6	eqtr2d 2775	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) = ((𝐴 + 1) / 𝐴))
8	7	fveq2d 6710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) = (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)))
9		1rp 12573	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpaddcl 12591	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12		relogdiv 25453	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
13	11, 12	mpancom 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
14	8, 13	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
15		rpreccl 12595	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
16		rpaddcl 12591	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
17	9, 15, 16	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
18	17	reeflogd 25484	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) = (1 + (1 / 𝐴)))
19	17	rpred 12611	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
20	15	rpred 12611	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	reefcld 15630	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
22		efgt1p 15657	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
23	15, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
24	19, 21, 23	ltled 10963	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
25	18, 24	eqbrtrd 5065	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
26		relogcl 25436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
28		relogcl 25436	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
29	27, 28	resubcld 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) ∈ ℝ)
31		efle 15660	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴))))
32	30, 20, 31	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴))))
33	25, 32	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴))
34	14, 33	eqbrtrrd 5067	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℝcr 10711  1c1 10713   + caddc 10715   < clt 10850   ≤ cle 10851   − cmin 11045   / cdiv 11472  ℝ⁺crp 12569  expce 15604  logclog 25415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790  ax-addf 10791  ax-mulf 10792

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-supp 7893  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-ixp 8568  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-fsupp 8975  df-fi 9016  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-4 11878  df-5 11879  df-6 11880  df-7 11881  df-8 11882  df-9 11883  df-n0 12074  df-z 12160  df-dec 12277  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xneg 12687  df-xadd 12688  df-xmul 12689  df-ioo 12922  df-ioc 12923  df-ico 12924  df-icc 12925  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-fl 13350  df-mod 13426  df-seq 13558  df-exp 13619  df-fac 13823  df-bc 13852  df-hash 13880  df-shft 14613  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-limsup 15015  df-clim 15032  df-rlim 15033  df-sum 15233  df-ef 15610  df-sin 15612  df-cos 15613  df-pi 15615  df-struct 16686  df-ndx 16687  df-slot 16688  df-base 16690  df-sets 16691  df-ress 16692  df-plusg 16780  df-mulr 16781  df-starv 16782  df-sca 16783  df-vsca 16784  df-ip 16785  df-tset 16786  df-ple 16787  df-ds 16789  df-unif 16790  df-hom 16791  df-cco 16792  df-rest 16899  df-topn 16900  df-0g 16918  df-gsum 16919  df-topgen 16920  df-pt 16921  df-prds 16924  df-xrs 16979  df-qtop 16984  df-imas 16985  df-xps 16987  df-mre 17061  df-mrc 17062  df-acs 17064  df-mgm 18086  df-sgrp 18135  df-mnd 18146  df-submnd 18191  df-mulg 18461  df-cntz 18683  df-cmn 19144  df-psmet 20327  df-xmet 20328  df-met 20329  df-bl 20330  df-mopn 20331  df-fbas 20332  df-fg 20333  df-cnfld 20336  df-top 21763  df-topon 21780  df-topsp 21802  df-bases 21815  df-cld 21888  df-ntr 21889  df-cls 21890  df-nei 21967  df-lp 22005  df-perf 22006  df-cn 22096  df-cnp 22097  df-haus 22184  df-tx 22431  df-hmeo 22624  df-fil 22715  df-fm 22807  df-flim 22808  df-flf 22809  df-xms 23190  df-ms 23191  df-tms 23192  df-cncf 23747  df-limc 24735  df-dv 24736  df-log 25417

This theorem is referenced by:  emcllem2  25851  lgamgulmlem3  25885  selberg2lem  26403  pntrlog2bndlem5  26434