Theorem logdifbnd 26735

Description: Bound on the difference of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logdifbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))

Proof of Theorem logdifbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12989	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
3		rpne0 12995	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 1, 3	divdird 12033	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
5	1, 3	dividd 11993	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 𝐴) = 1)
6	5	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 / 𝐴) + (1 / 𝐴)) = (1 + (1 / 𝐴)))
7	4, 6	eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) = ((𝐴 + 1) / 𝐴))
8	7	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) = (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)))
9		1rp 12983	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpaddcl 13001	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12		relogdiv 26338	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
13	11, 12	mpancom 685	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
14	8, 13	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
15		rpreccl 13005	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
16		rpaddcl 13001	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
17	9, 15, 16	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
18	17	reeflogd 26369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) = (1 + (1 / 𝐴)))
19	17	rpred 13021	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
20	15	rpred 13021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	reefcld 16036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
22		efgt1p 16063	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
23	15, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
24	19, 21, 23	ltled 11367	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
25	18, 24	eqbrtrd 5170	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
26		relogcl 26321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
28		relogcl 26321	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
29	27, 28	resubcld 11647	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) ∈ ℝ)
31		efle 16066	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴))))
32	30, 20, 31	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴))))
33	25, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴))
34	14, 33	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11113  1c1 11115   + caddc 11117   < clt 11253   ≤ cle 11254   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℝ⁺crp 12979  expce 16010  logclog 26300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302

This theorem is referenced by:  emcllem2  26738  lgamgulmlem3  26772  selberg2lem  27290  pntrlog2bndlem5  27321