Theorem logdifbnd 25267

Description: Bound on the difference of logs. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logdifbnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))

Proof of Theorem logdifbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12210	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10428	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
3		rpne0 12216	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 1, 3	divdird 11249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 + 1) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
5	1, 3	dividd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 𝐴) = 1)
6	5	oveq1d 6985	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((𝐴 / 𝐴) + (1 / 𝐴)) = (1 + (1 / 𝐴)))
7	4, 6	eqtr2d 2809	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) = ((𝐴 + 1) / 𝐴))
8	7	fveq2d 6497	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) = (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)))
9		1rp 12202	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpaddcl 12222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ+)
12		relogdiv 24871	. . . 4 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
13	11, 12	mpancom 675	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((𝐴 + 1) / 𝐴)) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
14	8, 13	eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) = ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)))
15		rpreccl 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
16		rpaddcl 12222	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ+) → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
17	9, 15, 16	sylancr 578	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
18	17	reeflogd 24902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) = (1 + (1 / 𝐴)))
19	17	rpred 12242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
20	15	rpred 12242	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
21	20	reefcld 15295	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
22		efgt1p 15322	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
23	15, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
24	19, 21, 23	ltled 10582	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
25	18, 24	eqbrtrd 4945	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
26		relogcl 24854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
27	11, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
28		relogcl 24854	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
29	27, 28	resubcld 10863	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
30	14, 29	eqeltrd 2860	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) ∈ ℝ)
31		efle 15325	. . . 4 ⊢ (((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → ((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴))))
32	30, 20, 31	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (exp‘(log‘(1 + (1 / 𝐴)))) ≤ (exp‘(1 / 𝐴))))
33	25, 32	mpbird 249	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(1 + (1 / 𝐴))) ≤ (1 / 𝐴))
34	14, 33	eqbrtrrd 4947	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘(𝐴 + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4923  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  ℝcr 10328  1c1 10330   + caddc 10332   < clt 10468   ≤ cle 10469   − cmin 10664   / cdiv 11092  ℝ⁺crp 12198  expce 15269  logclog 24833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8892  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406  ax-pre-sup 10407  ax-addf 10408  ax-mulf 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-se 5361  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-supp 7628  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-1o 7899  df-2o 7900  df-oadd 7903  df-er 8083  df-map 8202  df-pm 8203  df-ixp 8254  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-fin 8304  df-fsupp 8623  df-fi 8664  df-sup 8695  df-inf 8696  df-oi 8763  df-card 9156  df-cda 9382  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-div 11093  df-nn 11434  df-2 11497  df-3 11498  df-4 11499  df-5 11500  df-6 11501  df-7 11502  df-8 11503  df-9 11504  df-n0 11702  df-z 11788  df-dec 11906  df-uz 12053  df-q 12157  df-rp 12199  df-xneg 12318  df-xadd 12319  df-xmul 12320  df-ioo 12552  df-ioc 12553  df-ico 12554  df-icc 12555  df-fz 12703  df-fzo 12844  df-fl 12971  df-mod 13047  df-seq 13179  df-exp 13239  df-fac 13443  df-bc 13472  df-hash 13500  df-shft 14281  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-limsup 14683  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-ef 15275  df-sin 15277  df-cos 15278  df-pi 15280  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-fbas 20238  df-fg 20239  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cld 21325  df-ntr 21326  df-cls 21327  df-nei 21404  df-lp 21442  df-perf 21443  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-haus 21621  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-fil 22152  df-fm 22244  df-flim 22245  df-flf 22246  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cncf 23183  df-limc 24161  df-dv 24162  df-log 24835

This theorem is referenced by:  emcllem2  25270  lgamgulmlem3  25304  selberg2lem  25822  pntrlog2bndlem5  25853