Theorem sqrt2irrlem 16185

Description: Lemma for sqrt2irr 16186. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2	1	sqsqrtd 15377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
4	3	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
5	2, 4	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8	nnne0d 12207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 9, 10	sqdivd 14094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
12	5, 11	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
13	12	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
14	7	sqcld 14079	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15	8	nnsqcld 14179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
18	14, 16, 17	divcan1d 11930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
19	13, 18	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21		2ne0 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
23	16, 1, 22	divcan3d 11934	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
24	20, 23	eqtr3d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
25	24, 15	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12526	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27		zesq 14161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
29	26, 28	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
30	1	sqvald 14078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
31	30	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
32	7, 1, 22	sqdivd 14094	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
33	14, 1, 1, 22, 22	divdiv1d 11960	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
35	24	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
36	34, 35	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37		zsqcl 14064	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
38	29, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
39	36, 38	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
40	15	nnrpd 12959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
41	40	rphalfcld 12973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
42	41	rpgt0d 12964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43		elnnz 12510	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
44	39, 42, 43	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45		nnesq 14162	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
46	8, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
47	44, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
48	29, 47	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11178   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ↑cexp 13996  √csqrt 15168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16186