MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 16284
Description: Lemma for sqrt2irr 16285. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
21sqsqrtd 15478 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
43oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
52, 4eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nncnd 12282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
108nnne0d 12316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
117, 9, 10sqdivd 14199 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
125, 11eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1312oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
147sqcld 14184 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
158nnsqcld 14283 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1615nncnd 12282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1715nnne0d 12316 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1814, 16, 17divcan1d 12044 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
1913, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2019oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21 2ne0 12370 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2316, 1, 22divcan3d 12048 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2420, 23eqtr3d 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2524, 15eqeltrd 2841 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2625nnzd 12640 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27 zesq 14265 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
2926, 28mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
301sqvald 14183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
3130oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
327, 1, 22sqdivd 14199 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 12074 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2787 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3524oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3634, 35eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37 zsqcl 14169 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3936, 38eqeltrrd 2842 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4015nnrpd 13075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4140rphalfcld 13089 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4241rpgt0d 13080 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43 elnnz 12623 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45 nnesq 14266 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
468, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4744, 46mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
4829, 47jca 511 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   · cmul 11160   < clt 11295   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cexp 14102  csqrt 15272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16285
  Copyright terms: Public domain W3C validator