Theorem sqrt2irrlem 16263

Description: Lemma for sqrt2irr 16264. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2	1	sqsqrtd 15452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
4	3	oveq1d 7407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
5	2, 4	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8	nnne0d 12260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 9, 10	sqdivd 14169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
12	5, 11	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
13	12	oveq1d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
14	7	sqcld 14154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15	8	nnsqcld 14254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12223	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
18	14, 16, 17	divcan1d 11965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
19	13, 18	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21		2ne0 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
23	16, 1, 22	divcan3d 11969	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
24	20, 23	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
25	24, 15	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12591	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27		zesq 14236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
29	26, 28	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
30	1	sqvald 14153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
31	30	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
32	7, 1, 22	sqdivd 14169	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
33	14, 1, 1, 22, 22	divdiv1d 11995	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
35	24	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
36	34, 35	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37		zsqcl 14139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
38	29, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
39	36, 38	eqeltrrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
40	15	nnrpd 13032	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
41	40	rphalfcld 13046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
42	41	rpgt0d 13037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43		elnnz 12575	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
44	39, 42, 43	sylanbrc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45		nnesq 14237	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
46	8, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
47	44, 46	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
48	29, 47	jca 519	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070   · cmul 11075   < clt 11213   / cdiv 11841  ℕcn 12207  2c2 12269  ℤcz 12565  ↑cexp 14071  √csqrt 15243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16264