MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 16137
Description: Lemma for sqrt2irr 16138. This is the core of the proof: if ๐ด / ๐ต = โˆš(2), then ๐ด and ๐ต are even, so ๐ด / 2 and ๐ต / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
sqrt2irrlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
sqrt2irrlem.3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜2) = (๐ด / ๐ต))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
21sqsqrtd 15331 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜2) = (๐ด / ๐ต))
43oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘2) = ((๐ด / ๐ต)โ†‘2))
52, 4eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 = ((๐ด / ๐ต)โ†‘2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
98nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
117, 9, 10sqdivd 14071 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
125, 11eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
1312oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)))
147sqcld 14056 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
158nnsqcld 14154 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12176 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1715nnne0d 12210 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰  0)
1814, 16, 17divcan1d 11939 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
1913, 18eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
2019oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / 2) = ((๐ดโ†‘2) / 2))
21 2ne0 12264 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2316, 1, 22divcan3d 11943 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / 2) = (๐ตโ†‘2))
2420, 23eqtr3d 2779 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
2524, 15eqeltrd 2838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12533 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
27 zesq 14136 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
286, 27syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
2926, 28mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„ค)
301sqvald 14055 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
3130oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) / (2 ยท 2)))
327, 1, 22sqdivd 14071 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (2โ†‘2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 11969 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) / (2 ยท 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2787 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2))
3524oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ตโ†‘2) / 2))
3634, 35eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / 2))
37 zsqcl 14041 . . . . . 6 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3936, 38eqeltrrd 2839 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
4015nnrpd 12962 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4140rphalfcld 12976 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„+)
4241rpgt0d 12967 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) / 2))
43 elnnz 12516 . . . 4 (((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„• โ†” (((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐ตโ†‘2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 584 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•)
45 nnesq 14137 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•))
468, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•))
4744, 46mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)
4829, 47jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058   ยท cmul 11063   < clt 11196   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974  โˆšcsqrt 15125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16138
  Copyright terms: Public domain W3C validator