MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 16219
Description: Lemma for sqrt2irr 16220. This is the core of the proof: if ๐ด / ๐ต = โˆš(2), then ๐ด and ๐ต are even, so ๐ด / 2 and ๐ต / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
sqrt2irrlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
sqrt2irrlem.3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜2) = (๐ด / ๐ต))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 12315 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
21sqsqrtd 15413 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜2) = (๐ด / ๐ต))
43oveq1d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘2) = ((๐ด / ๐ต)โ†‘2))
52, 4eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 = ((๐ด / ๐ต)โ†‘2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76zcnd 12692 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
98nncnd 12253 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108nnne0d 12287 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
117, 9, 10sqdivd 14150 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
125, 11eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
1312oveq1d 7428 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)))
147sqcld 14135 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
158nnsqcld 14233 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12253 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1715nnne0d 12287 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰  0)
1814, 16, 17divcan1d 12016 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
1913, 18eqtrd 2765 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
2019oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / 2) = ((๐ดโ†‘2) / 2))
21 2ne0 12341 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2316, 1, 22divcan3d 12020 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / 2) = (๐ตโ†‘2))
2420, 23eqtr3d 2767 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
2524, 15eqeltrd 2825 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12610 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
27 zesq 14215 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
286, 27syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
2926, 28mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„ค)
301sqvald 14134 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
3130oveq2d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) / (2 ยท 2)))
327, 1, 22sqdivd 14150 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (2โ†‘2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 12046 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) / (2 ยท 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2))
3524oveq1d 7428 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ตโ†‘2) / 2))
3634, 35eqtrd 2765 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / 2))
37 zsqcl 14120 . . . . . 6 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3936, 38eqeltrrd 2826 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
4015nnrpd 13041 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4140rphalfcld 13055 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„+)
4241rpgt0d 13046 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) / 2))
43 elnnz 12593 . . . 4 (((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„• โ†” (((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐ตโ†‘2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 581 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•)
45 nnesq 14216 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•))
468, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•))
4744, 46mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)
4829, 47jca 510 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5144  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  0cc0 11133   ยท cmul 11138   < clt 11273   / cdiv 11896  โ„•cn 12237  2c2 12292  โ„คcz 12583  โ†‘cexp 14053  โˆšcsqrt 15207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16220
  Copyright terms: Public domain W3C validator