Theorem sqrt2irrlem 16216

Description: Lemma for sqrt2irr 16217. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqrt2irrlem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3	⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
sqrt2irrlem	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnd 12264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2	1	sqsqrtd 15408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3		sqrt2irrlem.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
4	3	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
5	2, 4	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6		sqrt2irrlem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
7	6	zcnd 12639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		sqrt2irrlem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
9	8	nncnd 12202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
10	8	nnne0d 12236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	7, 9, 10	sqdivd 14124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
12	5, 11	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
13	12	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
14	7	sqcld 14109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
15	8	nnsqcld 14209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
16	15	nncnd 12202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
17	15	nnne0d 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
18	14, 16, 17	divcan1d 11959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
19	13, 18	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
20	19	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21		2ne0 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
23	16, 1, 22	divcan3d 11963	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
24	20, 23	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
25	24, 15	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12556	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27		zesq 14191	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
28	6, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
29	26, 28	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
30	1	sqvald 14108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
31	30	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
32	7, 1, 22	sqdivd 14124	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
33	14, 1, 1, 22, 22	divdiv1d 11989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
34	31, 32, 33	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
35	24	oveq1d 7402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
36	34, 35	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37		zsqcl 14094	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
38	29, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
39	36, 38	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
40	15	nnrpd 12993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
41	40	rphalfcld 13007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
42	41	rpgt0d 12998	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43		elnnz 12539	. . . 4 ⊢ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
44	39, 42, 43	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45		nnesq 14192	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
46	8, 45	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
47	44, 46	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
48	29, 47	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208   / cdiv 11835  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ↑cexp 14026  √csqrt 15199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202

This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16217