MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 16210
Description: Lemma for sqrt2irr 16211. This is the core of the proof: if ๐ด / ๐ต = โˆš(2), then ๐ด and ๐ต are even, so ๐ด / 2 and ๐ต / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
sqrt2irrlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
sqrt2irrlem.3 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜2) = (๐ด / ๐ต))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 12306 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
21sqsqrtd 15404 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โˆšโ€˜2) = (๐ด / ๐ต))
43oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((โˆšโ€˜2)โ†‘2) = ((๐ด / ๐ต)โ†‘2))
52, 4eqtr3d 2769 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ 2 = ((๐ด / ๐ต)โ†‘2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
76zcnd 12683 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
98nncnd 12244 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
108nnne0d 12278 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰  0)
117, 9, 10sqdivd 14141 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
125, 11eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 2 = ((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)))
1312oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘2)) = (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)))
147sqcld 14126 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
158nnsqcld 14224 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„•)
1615nncnd 12244 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1715nnne0d 12278 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โ‰  0)
1814, 16, 17divcan1d 12007 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / (๐ตโ†‘2)) ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
1913, 18eqtrd 2767 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ตโ†‘2)) = (๐ดโ†‘2))
2019oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / 2) = ((๐ดโ†‘2) / 2))
21 2ne0 12332 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
2316, 1, 22divcan3d 12011 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (๐ตโ†‘2)) / 2) = (๐ตโ†‘2))
2420, 23eqtr3d 2769 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) = (๐ตโ†‘2))
2524, 15eqeltrd 2828 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•)
2625nnzd 12601 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
27 zesq 14206 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
286, 27syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐ดโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค))
2926, 28mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„ค)
301sqvald 14125 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (2โ†‘2) = (2 ยท 2))
3130oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘2) / (2โ†‘2)) = ((๐ดโ†‘2) / (2 ยท 2)))
327, 1, 22sqdivd 14141 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = ((๐ดโ†‘2) / (2โ†‘2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 12037 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ดโ†‘2) / (2 ยท 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2))
3524oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((๐ดโ†‘2) / 2) / 2) = ((๐ตโ†‘2) / 2))
3634, 35eqtrd 2767 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) = ((๐ตโ†‘2) / 2))
37 zsqcl 14111 . . . . . 6 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2)โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3936, 38eqeltrrd 2829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค)
4015nnrpd 13032 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ตโ†‘2) โˆˆ โ„+)
4140rphalfcld 13046 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„+)
4241rpgt0d 13037 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 < ((๐ตโ†‘2) / 2))
43 elnnz 12584 . . . 4 (((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„• โ†” (((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ((๐ตโ†‘2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•)
45 nnesq 14207 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ((๐ต / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•))
468, 45syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / 2) โˆˆ โ„• โ†” ((๐ตโ†‘2) / 2) โˆˆ โ„•))
4744, 46mpbird 257 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / 2) โˆˆ โ„•)
4829, 47jca 511 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / 2) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต / 2) โˆˆ โ„•))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11124   ยท cmul 11129   < clt 11264   / cdiv 11887  โ„•cn 12228  2c2 12283  โ„คcz 12574  โ†‘cexp 14044  โˆšcsqrt 15198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-seq 13985  df-exp 14045  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16211
  Copyright terms: Public domain W3C validator