Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 15603
 Description: Lemma for sqrt2irr 15604. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 11714 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
21sqsqrtd 14801 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
43oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
52, 4eqtr3d 2861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76zcnd 12087 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nncnd 11652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
108nnne0d 11686 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
117, 9, 10sqdivd 13530 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
125, 11eqtrd 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1312oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
147sqcld 13515 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
158nnsqcld 13612 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1615nncnd 11652 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1715nnne0d 11686 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1814, 16, 17divcan1d 11417 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
1913, 18eqtrd 2859 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2019oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21 2ne0 11740 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2316, 1, 22divcan3d 11421 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2420, 23eqtr3d 2861 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2524, 15eqeltrd 2916 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2625nnzd 12085 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27 zesq 13594 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
2926, 28mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
301sqvald 13514 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
3130oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
327, 1, 22sqdivd 13530 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 11447 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2869 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3524oveq1d 7166 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3634, 35eqtrd 2859 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37 zsqcl 13501 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3936, 38eqeltrrd 2917 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4015nnrpd 12428 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4140rphalfcld 12442 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4241rpgt0d 12433 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43 elnnz 11990 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45 nnesq 13595 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
468, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4744, 46mpbird 260 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
4829, 47jca 515 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5053  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  0cc0 10537   · cmul 10542   < clt 10675   / cdiv 11297  ℕcn 11636  2c2 11691  ℤcz 11980  ↑cexp 13436  √csqrt 14594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-seq 13376  df-exp 13437  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597 This theorem is referenced by:  sqrt2irr  15604
 Copyright terms: Public domain W3C validator