MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqrt2irrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrt2irrlem 16228
Description: Lemma for sqrt2irr 16229. This is the core of the proof: if 𝐴 / 𝐵 = √(2), then 𝐴 and 𝐵 are even, so 𝐴 / 2 and 𝐵 / 2 are smaller representatives, which is absurd by the method of infinite descent (here implemented by strong induction). This is Metamath 100 proof #1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.) (Proof shortened by JV, 4-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
sqrt2irrlem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
sqrt2irrlem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
sqrt2irrlem.3 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
Assertion
Ref Expression
sqrt2irrlem (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem sqrt2irrlem
StepHypRef Expression
1 2cnd 12323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
21sqsqrtd 15422 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = 2)
3 sqrt2irrlem.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (√‘2) = (𝐴 / 𝐵))
43oveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((√‘2)↑2) = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
52, 4eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 = ((𝐴 / 𝐵)↑2))
6 sqrt2irrlem.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
76zcnd 12700 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 sqrt2irrlem.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
98nncnd 12261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
108nnne0d 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ≠ 0)
117, 9, 10sqdivd 14159 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
125, 11eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 = ((𝐴↑2) / (𝐵↑2)))
1312oveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)))
147sqcld 14144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
158nnsqcld 14242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℕ)
1615nncnd 12261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
1715nnne0d 12295 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵↑2) ≠ 0)
1814, 16, 17divcan1d 12024 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴↑2) / (𝐵↑2)) · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
1913, 18eqtrd 2765 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝐵↑2)) = (𝐴↑2))
2019oveq1d 7434 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = ((𝐴↑2) / 2))
21 2ne0 12349 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2316, 1, 22divcan3d 12028 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · (𝐵↑2)) / 2) = (𝐵↑2))
2420, 23eqtr3d 2767 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) = (𝐵↑2))
2524, 15eqeltrd 2825 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℕ)
2625nnzd 12618 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ)
27 zesq 14224 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
286, 27syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝐴↑2) / 2) ∈ ℤ))
2926, 28mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℤ)
301sqvald 14143 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
3130oveq2d 7435 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴↑2) / (2↑2)) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
327, 1, 22sqdivd 14159 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐴↑2) / (2↑2)))
3314, 1, 1, 22, 22divdiv1d 12054 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐴↑2) / (2 · 2)))
3431, 32, 333eqtr4d 2775 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = (((𝐴↑2) / 2) / 2))
3524oveq1d 7434 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴↑2) / 2) / 2) = ((𝐵↑2) / 2))
3634, 35eqtrd 2765 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) = ((𝐵↑2) / 2))
37 zsqcl 14129 . . . . . 6 ((𝐴 / 2) ∈ ℤ → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3829, 37syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 2)↑2) ∈ ℤ)
3936, 38eqeltrrd 2826 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ)
4015nnrpd 13049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℝ+)
4140rphalfcld 13063 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℝ+)
4241rpgt0d 13054 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐵↑2) / 2))
43 elnnz 12601 . . . 4 (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝐵↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝐵↑2) / 2)))
4439, 42, 43sylanbrc 581 . . 3 (𝜑 → ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ)
45 nnesq 14225 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
468, 45syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝐵↑2) / 2) ∈ ℕ))
4744, 46mpbird 256 . 2 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℕ)
4829, 47jca 510 1 (𝜑 → ((𝐴 / 2) ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  0cc0 11140   · cmul 11145   < clt 11280   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  cz 12591  cexp 14062  csqrt 15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9467  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-seq 14003  df-exp 14063  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219
This theorem is referenced by:  sqrt2irr  16229
  Copyright terms: Public domain W3C validator