Theorem nnesq 14371

Description: A positive integer is even iff its square is even. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnesq	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12714	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zesq 14370	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))
4		nnrp 13132	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 13176	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
6	5	rpgt0d 13167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 / 2))
7		nnsqcl 14271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13162	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
9	8	rphalfcld 13176	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℝ+)
10	9	rpgt0d 13167	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁↑2) / 2))
11	6, 10	2thd 268	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (𝑁 / 2) ↔ 0 < ((𝑁↑2) / 2)))
12	3, 11	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)) ↔ (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑2) / 2))))
13		elnnz 12703	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)))
14		elnnz 12703	. 2 ⊢ (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑2) / 2)))
15	12, 13, 14	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℕ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  0cc0 11200   < clt 11343   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693  ↑cexp 14204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-seq 14145  df-exp 14205

This theorem is used by:  sqrt2irrlem  16416