Theorem nnesq 14272

Description: A positive integer is even iff its square is even. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnesq	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12641	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zesq 14271	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ))
4		nnrp 13053	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5	4	rphalfcld 13096	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
6	5	rpgt0d 13087	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 / 2))
7		nnsqcl 14174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
8	7	nnrpd 13082	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℝ+)
9	8	rphalfcld 13096	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℝ+)
10	9	rpgt0d 13087	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁↑2) / 2))
11	6, 10	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < (𝑁 / 2) ↔ 0 < ((𝑁↑2) / 2)))
12	3, 11	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)) ↔ (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑2) / 2))))
13		elnnz 12630	. 2 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑁 / 2)))
14		elnnz 12630	. 2 ⊢ (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁↑2) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁↑2) / 2)))
15	12, 13, 14	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁↑2) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5151  (class class class)co 7438  0cc0 11162   < clt 11302   / cdiv 11927  ℕcn 12273  2c2 12328  ℤcz 12620  ↑cexp 14108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-div 11928  df-nn 12274  df-2 12336  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-rp 13042  df-seq 14049  df-exp 14109

This theorem is referenced by:  sqrt2irrlem  16290