Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irrapxlem4 41239
Description: Lemma for irrapx1 41242. Eliminate ranges, use positivity of the input to force positivity of the output by increasing ๐ต as needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ

Proof of Theorem irrapxlem4
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13495 . . . 4 (๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
21ad3antlr 729 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
3 nn0z 12548 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43ad2antlr 725 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
5 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
65ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
76rpred 12981 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
82nnred 12192 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„)
97, 8remulcld 11209 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
10 nn0re 12446 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
129, 11resubcld 11607 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„)
1312recnd 11207 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1413abscld 15348 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) โˆˆ โ„)
155rpreccld 12991 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
1615rprege0d 12988 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)))
17 flge0nn0 13750 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (1 / ๐ด)) โ†’ (โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„•0)
18 nn0p1nn 12476 . . . . . . . . . . . 12 ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„•)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„•)
2019ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„•)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2221ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2320, 22ifcld 4552 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„•)
2423nnrecred 12228 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โˆˆ โ„)
25 0red 11182 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
269, 25resubcld 11607 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0) โˆˆ โ„)
27 simpr 485 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)))
2820nnrecred 12228 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)) โˆˆ โ„)
2922nnred 12192 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
306rprecred 12992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
3130flcld 13728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
3231zred 12631 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
33 peano2re 11352 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„)
35 max2 13131 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
3629, 34, 35syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
3720nngt0d 12226 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))
3823nnred 12192 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„)
3923nngt0d 12226 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
40 lerec 12062 . . . . . . . . . . . 12 (((((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)) โˆง (if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โ†” (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))))
4134, 37, 38, 39, 40syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โ†” (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))))
4236, 41mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)))
43 fllep1 13731 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โ†’ (1 / ๐ด) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))
4430, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / ๐ด) โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))
4520nncnd 12193 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„‚)
4620nnne0d 12227 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โ‰  0)
4745, 46recrecd 11952 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))) = ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))
4844, 47breqtrrd 5153 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / ๐ด) โ‰ค (1 / (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))))
4934, 37recgt0d 12113 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)))
506rpgt0d 12984 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
51 lerec 12062 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1))) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ ((1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)) โ‰ค ๐ด โ†” (1 / ๐ด) โ‰ค (1 / (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)))))
5228, 49, 7, 50, 51syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)) โ‰ค ๐ด โ†” (1 / ๐ด) โ‰ค (1 / (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)))))
5348, 52mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1)) โ‰ค ๐ด)
5424, 28, 7, 42, 53letrd 11336 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค ๐ด)
557recnd 11207 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
5655mulridd 11196 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
572nnge1d 12225 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘Ž)
58 1red 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5958, 8, 6lemul2d 13025 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘Ž โ†” (๐ด ยท 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐‘Ž)))
6057, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท 1) โ‰ค (๐ด ยท ๐‘Ž))
6156, 60eqbrtrrd 5149 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐‘Ž))
629recnd 11207 . . . . . . . . . . 11 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘Ž) โˆˆ โ„‚)
6362subid1d 11525 . . . . . . . . . 10 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0) = (๐ด ยท ๐‘Ž))
6461, 63breqtrrd 5153 . . . . . . . . 9 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ด โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0))
6524, 7, 26, 54, 64letrd 11336 . . . . . . . 8 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0))
6614, 24, 26, 27, 65ltletrd 11339 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0))
6712, 26absltd 15341 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0) โ†” (-((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0))))
6866, 67mpbid 231 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (-((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) โˆง ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0)))
6968simprd 496 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0))
7025, 11, 9ltsub2d 11789 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (0 < ๐‘ โ†” ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘) < ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ 0)))
7169, 70mpbird 256 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < ๐‘)
72 elnnz 12533 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†” (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐‘))
734, 71, 72sylanbrc 583 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7422, 2ifcld 4552 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โˆˆ โ„•)
7574nnrecred 12228 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž)) โˆˆ โ„)
76 elfzle2 13470 . . . . . . 7 (๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
7776ad3antlr 729 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐‘Ž โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
78 max1 13129 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
7929, 34, 78syl2anc 584 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ต โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
80 maxle 13135 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ (if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โ†” (๐‘Ž โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))))
818, 29, 38, 80syl3anc 1371 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โ†” (๐‘Ž โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆง ๐ต โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))))
8277, 79, 81mpbir2and 711 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))
8329, 8ifcld 4552 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โˆˆ โ„)
8422nngt0d 12226 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
85 max2 13131 . . . . . . . 8 ((๐‘Ž โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โ‰ค if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))
868, 29, 85syl2anc 584 . . . . . . 7 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ ๐ต โ‰ค if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))
8725, 29, 83, 84, 86ltletrd 11339 . . . . . 6 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ 0 < if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))
88 lerec 12062 . . . . . 6 (((if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โˆˆ โ„ โˆง 0 < if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž)) โˆง (if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 < if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โ†” (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))))
8983, 87, 38, 39, 88syl22anc 837 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž) โ‰ค if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โ†” (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))))
9082, 89mpbid 231 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)) โ‰ค (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž)))
9114, 24, 75, 27, 90ltletrd 11339 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž)))
92 oveq2 7385 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฅ) = (๐ด ยท ๐‘Ž))
9392fvoveq1d 7399 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ฆ)))
94 breq1 5128 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ โ‰ค ๐ต โ†” ๐‘Ž โ‰ค ๐ต))
95 id 22 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘Ž)
9694, 95ifbieq2d 4532 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ) = if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))
9796oveq2d 7393 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (1 / if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ)) = (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž)))
9893, 97breq12d 5138 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ)) โ†” (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))))
99 oveq2 7385 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ฆ) = ((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘))
10099fveq2d 6866 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ฆ)) = (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)))
101100breq1d 5135 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐‘ โ†’ ((absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž)) โ†” (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))))
10298, 101rspc2ev 3606 . . 3 ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐‘Ž โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘Ž))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ)))
1032, 73, 91, 102syl3anc 1371 . 2 (((((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ)))
10419, 21ifcld 4552 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„•)
105 irrapxlem3 41238 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต) โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)))
1065, 104, 105syl2anc 584 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ (1...if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต))โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„•0 (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘Ž) โˆ’ ๐‘)) < (1 / if(๐ต โ‰ค ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ((โŒŠโ€˜(1 / ๐ด)) + 1), ๐ต)))
107103, 106r19.29vva 3212 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„• (absโ€˜((๐ด ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘ฆ)) < (1 / if(๐‘ฅ โ‰ค ๐ต, ๐ต, ๐‘ฅ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3069  ifcif 4506   class class class wbr 5125  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  โ„cr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ยท cmul 11080   < clt 11213   โ‰ค cle 11214   โˆ’ cmin 11409  -cneg 11410   / cdiv 11836  โ„•cn 12177  โ„•0cn0 12437  โ„คcz 12523  โ„+crp 12939  ...cfz 13449  โŒŠcfl 13720  abscabs 15146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-sup 9402  df-inf 9403  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-rp 12940  df-ico 13295  df-fz 13450  df-fl 13722  df-mod 13800  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148
This theorem is referenced by:  irrapxlem5  41240
  Copyright terms: Public domain W3C validator