Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem2 46748
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
smfmullem2.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
smfmullem2.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem2.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem2.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
smfmullem2.p (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
smfmullem2.r (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
smfmullem2.s (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
smfmullem2.z (𝜑𝑍 ∈ ℚ)
smfmullem2.p2 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
smfmullem2.42 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
smfmullem2.w2 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
smfmullem2.z2 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
smfmullem2.x 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem2.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
Assertion
Ref Expression
smfmullem2 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝑃,𝑞,𝑢,𝑣   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞,𝑢,𝑣   𝑈,𝑞   𝑉,𝑞   𝑍,𝑞,𝑢,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝑈(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑉(𝑣,𝑢)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem2
StepHypRef Expression
1 smfmullem2.p . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
2 smfmullem2.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℚ)
3 smfmullem2.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ ℚ)
4 smfmullem2.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℚ)
51, 2, 3, 4s4cld 14909 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ)
6 s4len 14935 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4)
85, 7jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (♯‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4))
9 qex 13001 . . . . . . . 8 ℚ ∈ V
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℚ ∈ V)
11 4nn0 12543 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℕ0)
13 wrdmap 14581 . . . . . . 7 ((ℚ ∈ V ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (♯‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4) ↔ ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑m (0..^4))))
1410, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ Word ℚ ∧ (♯‘⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩) = 4) ↔ ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑m (0..^4))))
158, 14mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑m (0..^4)))
16 3z 12648 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
17 fzval3 13770 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℤ → (0...3) = (0..^(3 + 1)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0...3) = (0..^(3 + 1))
19 3p1e4 12409 . . . . . . . . . 10 (3 + 1) = 4
2019oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (0..^(3 + 1)) = (0..^4)
2118, 20eqtri 2763 . . . . . . . 8 (0...3) = (0..^4)
2221eqcomi 2744 . . . . . . 7 (0..^4) = (0...3)
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^4) = (0...3))
2423oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (ℚ ↑m (0..^4)) = (ℚ ↑m (0...3)))
2515, 24eleqtrd 2841 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑m (0...3)))
26 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → 𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
27 s4fv0 14931 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0) = 𝑃)
281, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0) = 𝑃)
29 s4fv1 14932 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1) = 𝑅)
302, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1) = 𝑅)
3128, 30oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) = (𝑃(,)𝑅))
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) = (𝑃(,)𝑅))
3326, 32eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → 𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅))
34 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
35 s4fv2 14933 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2) = 𝑆)
363, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2) = 𝑆)
37 s4fv3 14934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑍 ∈ ℚ → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3) = 𝑍)
384, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3) = 𝑍)
3936, 38oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)) = (𝑆(,)𝑍))
4039adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)) = (𝑆(,)𝑍))
4134, 40eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
42 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
4341, 42syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
4443adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
45 smfmullem2.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4645ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝐴 ∈ ℝ)
47 smfmullem2.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑈 ∈ ℝ)
49 smfmullem2.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
5049ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑉 ∈ ℝ)
51 smfmullem2.l . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
5251ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → (𝑈 · 𝑉) < 𝐴)
53 smfmullem2.x . . . . . . . . 9 𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
54 smfmullem2.y . . . . . . . . 9 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
55 smfmullem2.p2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
5655ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
57 smfmullem2.42 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
59 smfmullem2.w2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
6059ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
61 smfmullem2.z2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6261ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅))
64 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍))
6546, 48, 50, 52, 53, 54, 56, 58, 60, 62, 63, 64smfmullem1 46747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑆(,)𝑍)) → (𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6644, 65syldan 591 . . . . . . 7 (((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) ∧ 𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))) → (𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6766ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ∈ (𝑃(,)𝑅)) → ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6833, 67syldan 591 . . . . 5 ((𝜑𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))) → ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
6968ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴)
7025, 69jca 511 . . 3 (𝜑 → (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
71 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘0) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0))
72 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘1) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))
7371, 72oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
7473raleqdv 3324 . . . . 5 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
75 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘2) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2))
76 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑞‘3) = (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))
7775, 76oveq12d 7449 . . . . . . 7 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
7877raleqdv 3324 . . . . . 6 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
7978ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
8074, 79bitrd 279 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
81 smfmullem2.k . . . 4 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
8280, 81elrab2 3698 . . 3 (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾 ↔ (⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))∀𝑣 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴))
8370, 82sylibr 234 . 2 (𝜑 → ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾)
84 qssre 12999 . . . . . . 7 ℚ ⊆ ℝ
8584, 1sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℝ)
8685rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℝ*)
8784, 2sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
8887rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
8954a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
90 1rp 13036 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
9190a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
9253a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 = ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
9347, 49remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
94 difrp 13071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
9593, 45, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝐴 ↔ (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
9651, 95mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
97 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9847recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
9998abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10049recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
101100abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
10299, 101readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
10397, 102readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
104 0re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
10691rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < 1)
10798absge0d 15480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
108100absge0d 15480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
10999, 101addge01d 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
110108, 109mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
111105, 99, 102, 107, 110letrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
11297, 102addge01d 11849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
113111, 112mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
114105, 97, 103, 106, 113ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
115103, 114elrpd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
11696, 115rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
11792, 116eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
11891, 117ifcld 4577 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
11989, 118eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
120119rpred 13075 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
12147, 120resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
122121rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
12347rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
124 iooltub 45463 . . . . . 6 (((𝑈𝑌) ∈ ℝ*𝑈 ∈ ℝ*𝑃 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → 𝑃 < 𝑈)
125122, 123, 55, 124syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑃 < 𝑈)
12647, 120readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
127126rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
128 ioogtlb 45448 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ* ∧ (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑅 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝑈 < 𝑅)
129123, 127, 57, 128syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑅)
13086, 88, 47, 125, 129eliood 45451 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (𝑃(,)𝑅))
13131eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝑃(,)𝑅) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
132130, 131eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)))
13384, 3sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
134133rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ℝ*)
13584, 4sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
136135rexrd 11309 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ ℝ*)
13749, 120resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
138137rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
13949rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
140 iooltub 45463 . . . . . 6 (((𝑉𝑌) ∈ ℝ*𝑉 ∈ ℝ*𝑆 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → 𝑆 < 𝑉)
141138, 139, 59, 140syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑆 < 𝑉)
14249, 120readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
143142rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
144 ioogtlb 45448 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ ℝ* ∧ (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*𝑍 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 < 𝑍)
145139, 143, 61, 144syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑𝑉 < 𝑍)
146134, 136, 49, 141, 145eliood 45451 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ (𝑆(,)𝑍))
14739eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑 → (𝑆(,)𝑍) = ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
148146, 147eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
149132, 148jca 511 . 2 (𝜑 → (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))))
150 nfv 1912 . . 3 𝑞(𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))
151 nfcv 2903 . . 3 𝑞⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩
152 nfrab1 3454 . . . 4 𝑞{𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝐴}
15381, 152nfcxfr 2901 . . 3 𝑞𝐾
15473eleq2d 2825 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ↔ 𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1))))
15577eleq2d 2825 . . . 4 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → (𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ↔ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3))))
156154, 155anbi12d 632 . . 3 (𝑞 = ⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ → ((𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) ↔ (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))))
157150, 151, 153, 156rspcef 45012 . 2 ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩ ∈ 𝐾 ∧ (𝑈 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘0)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘2)(,)(⟨“𝑃𝑅𝑆𝑍”⟩‘3)))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
15883, 149, 157syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611  cq 12988  +crp 13032  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs4 14879  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  smfmullem3  46749
  Copyright terms: Public domain W3C validator