MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvgt0 26028
Description: A function on a closed interval with positive derivative is increasing. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvgt0.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvgt0.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvgt0.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
dvgt0.d (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+)
Assertion
Ref Expression
dvgt0 (𝜑𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))

Proof of Theorem dvgt0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvgt0.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 dvgt0.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 dvgt0.f . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
4 dvgt0.d . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ+)
5 ltso 11344 . 2 < Or ℝ
61, 2, 3, 4dvgt0lem1 26026 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)) ∈ ℝ+)
76rpgt0d 13073 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥)))
8 cncff 24904 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
93, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
109ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
11 simplrr 776 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1210, 11ffvelcdmd 7099 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
13 simplrl 775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1410, 13ffvelcdmd 7099 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1512, 14resubcld 11692 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
16 iccssre 13460 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
171, 2, 16syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1817ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1918, 11sseldd 3980 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
2018, 13sseldd 3980 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ∈ ℝ)
2119, 20resubcld 11692 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑦𝑥) ∈ ℝ)
22 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 < 𝑦)
2320, 19posdifd 11851 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝑥 < 𝑦 ↔ 0 < (𝑦𝑥)))
2422, 23mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < (𝑦𝑥))
25 gt0div 12132 . . . . 5 ((((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑦𝑥)) → (0 < ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) ↔ 0 < (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
2615, 21, 24, 25syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (0 < ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) ↔ 0 < (((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)) / (𝑦𝑥))))
277, 26mpbird 256 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → 0 < ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥)))
2814, 12posdifd 11851 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → ((𝐹𝑥) < (𝐹𝑦) ↔ 0 < ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑥))))
2927, 28mpbird 256 . 2 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑥 < 𝑦) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
301, 2, 3, 4, 5, 29dvgt0lem2 26027 1 (𝜑𝐹 Isom < , < ((𝐴[,]𝐵), ran 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5153  ran crn 5683  wf 6550  cfv 6554   Isom wiso 6555  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158   < clt 11298  cmin 11494   / cdiv 11921  +crp 13028  (,)cioo 13378  [,]cicc 13381  cnccncf 24887   D cdv 25883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887
This theorem is referenced by:  dvne0  26035
  Copyright terms: Public domain W3C validator